广东省肇庆市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

肇庆市2014-2015高二数学第一学期期末试卷（文科含解析） ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）‎ ‎ A． （1，0） B． （0，1） C． （2，0） D． （0，2）‎ ‎2．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜‎0”‎的逆否命题是（）‎ ‎ A． 若x＜﹣3，则x≤0 B． 若x＞﹣3，则x≥‎0 ‎C． 若x＜0，则x≤﹣3 D． 若x≥0，则x＞﹣3‎ ‎3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是（）‎ ‎ A． （0，﹣10），（0，10） B． （﹣10，0），（10，0） C． （﹣2，0），（2，0） D． （0，﹣2），（0，2）‎ ‎4．（5分）命题“∀x∈R，sinx＞‎0”‎的否定是（）‎ ‎ A． ∃x∈R，sinx≤0 B． ∀x∈R，sinx≤‎0 ‎C． ∃x∈R，sinx＜0 D． ∀x∈R，sinx＜0‎ ‎5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积等于（）‎ ‎ A． B． C． 1 D． 3‎ ‎6．（5分）直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（）‎ ‎ A． 1 B． C． 2 D． 4‎ ‎7．（5分）“x＞‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）已知直线a，b与平面α，则下列四个命题中假命题是（）‎ ‎ A． 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b B． 如果a⊥α，a∥b，那么b⊥α - 17 -‎ ‎ C． 如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α D． 如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b ‎9．（5分）过点A（﹣3，0）且离心率e=的椭圆的标准方程是（）‎ ‎ A． +=1‎ ‎ B． +=1‎ ‎ C． +=1或+=1‎ ‎ D． +=1或+=1‎ ‎10．（5分）直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）‎ ‎ A． 36 B． ‎48 ‎C． 56 D． 64‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎11．（5分）双曲线x2﹣y2=10的渐近线方程．‎ ‎12．（5分）如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积等于（几何体的接触面积可忽略不计）．‎ ‎13．（5分）点P在圆C1：x2+（y+3）2=1上，点Q在圆C2：（x﹣4）2+y2=4上，则|PQ|的最大值为．‎ ‎14．（5分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．若CE=1，CA=5，则BD=．‎ - 17 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎15．（12分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（﹣4，0），B（0，6），C（1，2）．‎ ‎（1）证明：A，B，C三点不共线；‎ ‎（2）求过A，B的中点且与直线x+y﹣2=0平行的直线方程；‎ ‎（3）求过C且与AB所在的直线垂直的直线方程．‎ ‎16．（13分）如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面α；‎ ‎（2）求证：平面MNQ∥平面α；‎ ‎（3）求证：BC⊥平面PAC．‎ ‎17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．‎ ‎18．（14分）已知圆心C在x轴上的圆过点A（2，2）和B（4，0）．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ - 17 -‎ ‎（2）求过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（3）已知线段PQ的端点Q的坐标为（3，5），端点P在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹．‎ ‎19．（14分）如图，已知点C是圆心为O半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点，AB是直径，CD=1，直线CD⊥平面ABC．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）在DB上是否存在一点M，使得OM∥平面DAC，若存在，请确定点M的位置，并证明之；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求点C到平面ABD的距离．‎ ‎20．（14分）已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若⊥，试求点M的坐标；‎ ‎（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．‎ 广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）‎ ‎ A． （1，0） B． （0，1） C． （2，0） D． （0，2）‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），即有p=2，即可得到焦点坐标．‎ - 17 -‎ 解答： 解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），‎ 即有抛物线y2=4x的2p=4，即p=2，‎ 则焦点坐标为（1，0），‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．‎ ‎2．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜‎0”‎的逆否命题是（）‎ ‎ A． 若x＜﹣3，则x≤0 B． 若x＞﹣3，则x≥‎0 ‎C． 若x＜0，则x≤﹣3 D． 若x≥0，则x＞﹣3‎ 考点： 四种命题． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果．‎ 解答： 解：原命题“若x≤﹣3，则x＜‎‎0”‎ 则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3‎ 故选：D 点评： 本题考查的知识要点：四种命题的应用转换．属于基础题型．‎ ‎3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是（）‎ ‎ A． （0，﹣10），（0，10） B． （﹣10，0），（10，0） C． （﹣2，0），（2，0） D． （0，﹣2），（0，2）‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 求出双曲线的a，b，再由c=，计算即可得到双曲线的焦点坐标．‎ 解答： 解：双曲线﹣=1的a=6，b=8，‎ 则c==10，‎ 则双曲线的焦点分别为（﹣10，0），（10，0）．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查双曲线的方程和性质，掌握双曲线的a，b，c的关系是解题的关键．‎ ‎4．（5分）命题“∀x∈R，sinx＞‎0”‎的否定是（）‎ ‎ A． ∃x∈R，sinx≤0 B． ∀x∈R，sinx≤‎0 ‎C． ∃x∈R，sinx＜0 D． ∀x∈R，sinx＜0‎ 考点： 命题的否定． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 将全称量词改写为存在量词，再将命题否定，从而得到答案．‎ - 17 -‎ 解答： 解：命题“∀x∈R，sinx＞‎0”‎的否定是：∃x∈R，sinx≤0，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了命题的否定，要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题．‎ ‎5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积等于（）‎ ‎ A． B． C． 1 D． 3‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，从而求出它的体积．‎ 解答： 解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是底面为三角形，高为3的直三棱锥；‎ 且底面三角形的底边长为2，底边上的高是1；‎ ‎∴该三棱锥的体积为：‎ V=××2×1×3=1．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了体积计算公式的应用问题，是基础题目．‎ ‎6．（5分）直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（）‎ ‎ A． 1 B． C． 2 D． 4‎ 考点： 直线与圆相交的性质． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．‎ 解答： 解：圆心坐标为（1，2），半径R=3，‎ 圆心到直线的距离d==，‎ 则|AB|=2=2==4，‎ 故选：D - 17 -‎ 点评： 本题主要考查直线和圆相交的应用，利用弦长公式是解决本题的关键．‎ ‎7．（5分）“x＞‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 由x2﹣1＞0解得x＞1或x＜﹣1，即可判断出．‎ 解答： 解：由x2﹣1＞0解得x＞1或x＜﹣1，‎ ‎∴“x＞‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定，属于基础题．‎ ‎8．（5分）已知直线a，b与平面α，则下列四个命题中假命题是（）‎ ‎ A． 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b B． 如果a⊥α，a∥b，那么b⊥α ‎ C． 如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α D． 如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．‎ 解答： 解：对于A，如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b正确；‎ 对于B，如果a⊥α，a∥b，利用平行线的性质以及线面垂直的性质得到b⊥α；故B 正确；‎ 对于C，如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α或者b⊂α；故C 错误；‎ 对于D，如果a⊥α，b∥α，那么容易得到a垂直于b平行的直线，所以a⊥b；故D正确．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了线面垂直的性质、直线平行的性质以及线面垂直的判定，熟练运用定理是关键．‎ ‎9．（5分）过点A（﹣3，0）且离心率e=的椭圆的标准方程是（）‎ ‎ A． +=1‎ ‎ B． +=1‎ ‎ C． +=1或+=1‎ ‎ D． +=1或+=1‎ - 17 -‎ 考点： 椭圆的标准方程． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 分焦点在x轴和y轴分别设出椭圆的方程，然后结合已知条件及隐含条件a2=b2+c2求得b（a）的值，则椭圆的标准方程可求．‎ 解答： 解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，‎ 由题意得，，‎ ‎∴c=，则b2=a2﹣c2=9﹣5=4．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），‎ 则b=3，，‎ 又a2=b2+c2，解得：．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故椭圆方程为或．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．‎ ‎10．（5分）直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）‎ ‎ A． 36 B． ‎48 ‎C． 56 D． 64‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 依题意联立方程组消去y，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积．‎ 解答： 解：直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，‎ 过A，B两点向抛物线的准线：x=﹣1作垂线，垂足分别为P，Q，‎ 联立方程组得，‎ 消元得x2﹣10x+9=0，‎ - 17 -‎ 解得，和，‎ 即有A（9，6），B（1，﹣2），‎ 即有|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，‎ 梯形APQB的面积为×（10+2）×8=48，‎ 故选B．‎ 点评： 本题主要考查了抛物线与直线的关系．常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎11．（5分）双曲线x2﹣y2=10的渐近线方程y=±x．‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 求出双曲线的方程的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到．‎ 解答： 解：双曲线x2﹣y2=10即为 ‎﹣=1，‎ 则a=b=，‎ 即有渐近线方程为y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ 点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．‎ ‎12．（5分）如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积等于（几何体的接触面积可忽略不计）48π．‎ - 17 -‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．‎ 解答： 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，‎ 其表面为S=4π×22+π×22×2+2π×2×6=48π 故答案为：48π．‎ 点评： 本题考查三视图、组合体的表面积．考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力，中档题．‎ ‎13．（5分）点P在圆C1：x2+（y+3）2=1上，点Q在圆C2：（x﹣4）2+y2=4上，则|PQ|的最大值为8．‎ 考点： 圆与圆的位置关系及其判定． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 求出两圆的圆心距离，即可得到结论．‎ 解答： 解：圆心C1坐标为（0，﹣3），半径R=1，圆心C2坐标为（4，0），半径r=2，‎ 则|C‎1C2|=，‎ 则|PQ|的最大值为|C‎1C2|+R+r=5+1+2=8，‎ 故答案为：8‎ 点评： 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，求出圆心距离是解决本题的关键．‎ ‎14．（5分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．若CE=1，CA=5，则BD=．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 连结OD，AD，由已知条件推导出OD∥AC，AD⊥BC，从而得到△ABD∽△ADE，进而，由此能求出BD．‎ 解答： 解：连结OD，AD，‎ - 17 -‎ ‎∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，‎ ‎∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，‎ ‎∵O是AB中点，∴D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵DE是圆O的切线，∴∠ADE=∠ABD，‎ ‎∴△ABD∽△ADE，∴，‎ 又∵CE=1，CA=5，∴AD2=AB•AE=5×4=20，‎ ‎∴BD2=AB2﹣AD2=25﹣20=5，‎ ‎∴BD=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查与圆相关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理、弦切角定理、三角形相似等知识点的合理运用．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎15．（12分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（﹣4，0），B（0，6），C（1，2）．‎ ‎（1）证明：A，B，C三点不共线；‎ ‎（2）求过A，B的中点且与直线x+y﹣2=0平行的直线方程；‎ ‎（3）求过C且与AB所在的直线垂直的直线方程．‎ 考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： （1）利用斜率计算公式分别计算出KAB，KAC，即可判断出；‎ ‎（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出；‎ ‎（3）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．‎ 解答： 解：（1）∵，，‎ ‎∴KAB≠KAC，‎ ‎∴A，B，C三点不共线．‎ ‎（2）∵A，B的中点坐标为M（﹣2，3），‎ 直线x+y﹣2=0的斜率k1=﹣1，‎ 所以满足条件的直线方程为y﹣3=﹣（x+2），即x+y﹣1=0为所求．‎ ‎（3）∵，∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为，‎ 所以满足条件的直线方程为，即2x+3y﹣8=0．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、三点共线与斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎16．（13分）如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面α；‎ ‎（2）求证：平面MNQ∥平面α；‎ ‎（3）求证：BC⊥平面PAC．‎ 考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定． ‎ 专题： 证明题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）由已知可证MN∥AC，又MN⊄α，AC⊂α，即可证明MN∥平面α．‎ ‎（2）由（1）知MN∥平面α，同理可证NQ∥平面α．由MN⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，且MN∩NQ=N，即可证明平面MNQ∥平面α．‎ ‎（3）由PA⊥平面α，BC⊂平面α，可证BC⊥PA，又由已知可证BC⊥AC，由PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，即可证明BC⊥平面PAC．‎ 解答： （本小题满分13分）‎ 证明：（1）∵M，N分别是PA，PC的中点，‎ ‎∴MN∥AC．（1分）‎ 又∵MN⊄α，AC⊂α，（2分）‎ ‎∴MN∥平面α．（4分）‎ ‎（2）由（1）知MN∥平面α，（5分）‎ 同理可证NQ∥平面α．（6分）‎ ‎∵MN⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，且MN∩NQ=N，（7分）‎ ‎∴平面MNQ∥平面α．（8分）‎ ‎（3）∵PA⊥平面α，BC⊂平面α，∴BC⊥PA．（10分）‎ - 17 -‎ 又∵AB是⊙O的直径，C为圆周上不同于A、B的任意一点，‎ ‎∴BC⊥AC．（11分）‎ ‎∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，（12分）‎ ‎∴BC⊥平面PAC．（13分）‎ 点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．‎ ‎17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）证明DC1⊥BC，DC1⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C1D⊥平面BDC；‎ ‎（2）利用VC﹣BC1D=VB﹣CC1D，求几何体C﹣BC1D的体积．‎ 解答： （1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC‎1A1．（2分）‎ 又∵DC1⊂平面ACC‎1A1，∴DC1⊥BC．（3分）‎ 由题设知，∴，即C1D⊥DC．（4分）‎ ‎∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．（6分）‎ ‎（2）解：∵AA1=2，D是棱AA1的中点，‎ ‎∴AC=BC=1，AD=1（7分）‎ ‎∴，（9分）‎ ‎∴Rt△CDC1的面积（10分）‎ ‎∴（11分）‎ ‎∴，即三棱锥C﹣BDC1的体积为．（13分）‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．‎ ‎18．（14分）已知圆心C在x轴上的圆过点A（2，2）和B（4，0）．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）求过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（3）已知线段PQ的端点Q的坐标为（3，5），端点P在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹．‎ 考点： 轨迹方程；圆的切线方程． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： （1）由已知求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，得x=2，即可求得圆心为C（2，0）．然后由两点间的距离公式求得圆的半径，则圆C的方程可求．或设出圆心为C（a，0），由|AC|=|BC|求得a，则圆心坐标可求，再由半径r=|BC|=|4﹣2|=2．则圆的方程可求；‎ ‎（2）由（1）知圆C的圆心坐标为C（2，0），半径r=2，然后分与圆C相切的直线的斜率不存在和斜率存在求得与圆C相切的直线方程；‎ ‎（3）设点N的坐标为（x，y），P点的坐标为（x0，y0）．由中点坐标公式把P的坐标用N的坐标表示，然后代入圆C的方程求得点N的轨迹方程．‎ 解答： 解：（1）线段AB的中点坐标为M（3，1），斜率为，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线方程为y﹣1=x﹣3，即为y=x﹣2．‎ 令y=0，得x=2，即圆心为C（2，0）．‎ 由两点间的距离公式，得．‎ ‎∴适合题意的圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．‎ 或：设圆心为C（a，0），由|AC|=|BC|得 ，‎ 解得a=2，∴圆心为C（2，0）．‎ 又半径r=|BC|=|4﹣2|=2．‎ ‎∴适合题意的圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4；‎ ‎（2）由（1）知圆C的圆心坐标为C（2，0），半径r=2，‎ ‎（i）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为x=4．‎ ‎（ii）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率存在时，‎ 设为k，则切线方程为kx﹣y﹣4k+6=0．‎ 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，‎ - 17 -‎ ‎∴切线方程为，即4x﹣3y+2=0．‎ 因此，过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程为x=4或4x﹣3y+2=0；‎ ‎（3）设点N的坐标为（x，y），P点的坐标为（x0，y0）．‎ 由于Q点的坐标为（3，5）且N为PQ的中点，∴，‎ 于是有x0=2x﹣3，y0=2y﹣5 ①，‎ ‎∵P在圆C上运动，∴有，‎ 将①代入上式得（2x﹣3）2+（2y﹣5）2=4，即．‎ ‎∴点N的轨迹是以（，）为圆心，半径为1的圆．‎ 点评： 本题考查了圆的方程的求法，考查了圆的切线方程的求法，训练了利用代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．‎ ‎19．（14分）如图，已知点C是圆心为O半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点，AB是直径，CD=1，直线CD⊥平面ABC．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）在DB上是否存在一点M，使得OM∥平面DAC，若存在，请确定点M的位置，并证明之；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求点C到平面ABD的距离．‎ 考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）证明AC⊥平面BCD，即可证明AC⊥BD；‎ ‎（2）当M为棱DB中点时，OM∥平面DAC，利用线面平行的判定定理，即可证明；‎ ‎（3）利用VC﹣ABD=VD﹣ABC，求点C到平面ABD的距离．‎ 解答： （1）证明：∵CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴CD⊥AC．（1分）‎ ‎∵点C在圆O上，AB是直径，‎ ‎∴AC⊥BC．（2分）‎ 又∵CD∩BC=C，∴AC⊥平面BCD．（3分）‎ 又∵BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD．（4分）‎ - 17 -‎ ‎（2）当M为棱DB中点时，OM∥平面DAC．（5分）‎ 证明：∵M，O分别为DB，AB中点，∴OM∥AD，（6分）‎ 又AD⊂平面DAC，OM⊄平面DAC，∴OM∥平面DAC．（7分）‎ ‎（3）解：∵点C是圆心为O半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点，‎ ‎∴∠AOC=60°，而OA=OC=1，于是，AC=1，（8分）‎ ‎∵AB是直径，∴AC⊥BC，于是，．‎ ‎∵直线CD⊥平面ABC，所以，CD⊥AC，CD⊥BC，，．（9分）‎ ‎∵AB=2=BD，‎ 设点E是AD的中点，连接BE，则BE⊥AD ‎∴，（10分）‎ ‎，（11分）‎ ‎．（12分）‎ ‎∵VC﹣ABD=VD﹣ABC，（13分）‎ 设点C到平面ABD的距离为h，则有，即，‎ ‎∴，即点C到平面ABD的距离为．（14分）‎ 点评： 本题考查线面垂直、平行的判定与性质，考查点面距离的计算，正确运用线面垂直、平行的判定与性质是关键．‎ ‎20．（14分）已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若⊥，试求点M的坐标；‎ ‎（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ - 17 -‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；‎ ‎（2）通过设M（m，n），N（m，﹣n），利用，计算即得结论；‎ ‎（3）通过设M（m，n）、直线MA与直线NB交点为P（x0，y0），分别将点P代入直线MA、NB的方程，利用x1x2=2、m2=2﹣2n2，计算即得结论．‎ 解答： （1）解：依定义，椭圆的长轴长，‎ ‎∴‎4a2=8，即a2=2，‎ 又∵b2=a2﹣1=1，‎ ‎∴椭圆标准方程为；‎ ‎（2）解：设M（m，n），N（m，﹣n），‎ 则，，‎ ‎∵，∴，即（m+1）2﹣n2=0 ①‎ ‎∵点M（m，n）在椭圆上，‎ ‎∴ ②‎ 由①②解得，或，‎ ‎∴符合条件的点有（0，1）、（0，﹣1）、、；‎ ‎（3）结论：直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．‎ 证明如下：‎ 设M（m，n），则直线MA的方程为：y（m﹣x1）=n（x﹣x1） ③‎ 直线NB的方程为：y（m﹣x2）=﹣n（x﹣x2） ④‎ 设直线MA与直线NB交点为P（x0，y0），将其坐标代人③、④并整理，‎ 得：（y0﹣n）x1=my0﹣nx0 ⑤‎ ‎（y0+n）x2=my0+nx0 ⑥‎ ‎⑤与⑥相乘得： ⑦‎ 又x1x2=2，m2=2﹣2n2，代入⑦化简得：，‎ ‎∴直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．‎ 点评： 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ - 17 -‎