河南省开封四中2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

开封市2015届高三数学上学期期中试题（文科有解析） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合 A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}时，A∩B=（）‎ ‎ A． {x|x≥﹣3} B． {x|1＜x≤3} C． {x|x＞1} D． ∅‎ ‎2．（5分）已知复数，则的值为（）‎ ‎ A． 0 B． C． 2 D． ﹣2‎ ‎3．（5分）设a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）‎ ‎ A． 若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B． 若α⊥β，a∥β，则a⊥α ‎ C． 若a⊥α，a⊥b，a∥β，则b∥β D． 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b ‎4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ ‎5．（5分）若‎2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）‎ ‎ A． 直线x+y=1的左下方 B． 直线x+y=1的右上方 ‎ C． 直线x+2y=1的左下方 D． 直线x+2y=1的右上方 ‎6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）‎ - 24 -‎ ‎ A． 64﹣ B． 64﹣ C． 64﹣16π D． 64﹣‎ ‎7．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象（）‎ ‎ A． 关于直线x=0对称 B． 关于直线对称 ‎ C． 关于点对称 D． 关于点对称 ‎8．（5分）函数的图象大致为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若a2﹣c2=2b，=3，则b等于（）‎ ‎ A． 3 B． ‎4 ‎C． 6 D． 7‎ ‎10．（5分）对实数a和b，定义运算“*”：a*b=，设函数f（x）=（x2+1）*（x+2），若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（）‎ ‎ A． （2，4）∪（5，+∞） B． （1，2]∪（4，5] C． （﹣∞，1）∪（4，5] D． ‎ - 24 -‎ ‎11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 6 D． 8‎ ‎12．（5分）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2ex的解集为（）‎ ‎ A． {x∈R|x＞1} B． {x∈R|0＜x＜1} C． {x∈R|x＜0} D． {x∈R|x＞0}‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，，则的值为．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足条件：a1=，an+1=，则对n≤20的正整数，an+an+1=的概率为．‎ ‎15．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．‎ ‎16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题是（把所有正确的命题的选项都填上）．‎ ‎①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．‎ ‎②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）＞0成立．‎ ‎③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6‎ ‎⑤已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ - 24 -‎ ‎17．（12分）等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），a‎1a3=4，且a3+1是a2和a4的等差中项，若bn=log2an+1．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{cn}满足cn=an+1+，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过‎50kg为肥胖．‎ ‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 ‎ 不肥胖 18 ‎ 合计 30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；‎ ‎（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P（K2＞k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001‎ k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）‎ ‎19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．‎ ‎（Ⅰ） 证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．‎ ‎20．（12分）如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．‎ - 24 -‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+mx在上至少存在一个x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．‎ ‎（Ⅰ）求证：FA∥BE：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．‎ - 24 -‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．‎ 河南省开封四中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合 A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}时，A∩B=（）‎ ‎ A． {x|x≥﹣3} B． {x|1＜x≤3} C． {x|x＞1} D． ∅‎ 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；交集及其运算． ‎ 专题： 函数的性质及应用；集合．‎ 分析： 求出函数y=的定义域可得集合A，求出函数y=2x，x＞0的值域，可得集合B，进而结合集合交集的定义，得到答案．‎ 解答： 解：∵集合 A={x|y=}={x|﹣3≤x≤3}，‎ B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，‎ 故A∩B={x|1＜x≤3}，‎ 故选：B 点评： 本题考查的知识点是函数的定义域和值域，集合的交集运算，是函数和集合的综合应用，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知复数，则的值为（）‎ ‎ A． 0 B． C． 2 D． ﹣2‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用复数的除法运算化简复数z，求出其共轭，则的值可求．‎ 解答： 解：由，‎ 得，‎ ‎∴==2．‎ 故选C．‎ - 24 -‎ 点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．‎ ‎3．（5分）设a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）‎ ‎ A． 若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B． 若α⊥β，a∥β，则a⊥α ‎ C． 若a⊥α，a⊥b，a∥β，则b∥β D． 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由面面平行的定义和性质可判断A；由面面垂直的性质和线面平行的性质定理，可判断B；由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，可判断C；由面面垂直的定义和线面垂直的性质和判定，即可判断D．‎ 解答： 解：A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a，b异面或平行，故A错；‎ B．若α⊥β，a∥β，则设α∩β=m，若a⊂α，由a∥β，则a∥m，即a⊂α可能成立，故B错；‎ C．若a⊥α，a⊥b，a∥β，则α，β相交，设交线为m，过a作一个平面γ，使γ∩β=c，‎ 由a∥β得a∥c，又a⊥α，则c⊥α，c⊂β，即β⊥α，由于a⊥b，故b⊂β，或b∥β，或b⊥β，故C错；‎ D．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a，b不平行，若a，b异面，则可将a，b平移至相交直线，并确定一平面γ，‎ 设γ∩α=m，γ∩β=n，α∩β=l．则可得到l⊥γ，l⊥m，l⊥n，由于α⊥β，则m⊥n，从而a⊥b，故D正确．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查两种重要的位置关系：平行和垂直，记熟常见的线面和面面平行或垂直的定理，是迅速解题的关键．‎ ‎4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ - 24 -‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T≥S，运行终止，输出n值．‎ 解答： 解：由程序框图知：第一次运行的结果是T=22=4，n=2+1=3，S=32=9；‎ 第二次运行的结果是T=23=8，n=3+1=4，S=42=16；‎ 第三次运行的结果是T=24=16，n=4+1=5，S=52=25；‎ 第四次运行的结果是T=25=32，n=5+1=6，S=62=36；‎ 第五次运行的结果是T=26=64，n=6+1=7，S=72=49，满足条件T≥S，运行终止，输出n=7．‎ 故选D．‎ 点评： 本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键．‎ ‎5．（5分）若‎2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）‎ ‎ A． 直线x+y=1的左下方 B． 直线x+y=1的右上方 ‎ C． 直线x+2y=1的左下方 D． 直线x+2y=1的右上方 考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由已知利用基本不等式得到m+n＜1，再由二元一次不等式表示的平面区域得答案．‎ 解答： 解：由‎2m+2n＜2，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 即m+n＜1．‎ ‎∴点（m，n）必在直线x+y=1的左下方．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本不等式的应用，考查了二元一次不等式表示的平面区域，是基础题．‎ ‎6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）‎ ‎ A． 64﹣ B． 64﹣ C． 64﹣16π D． 64﹣‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ - 24 -‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，根据三视图判断正方体的边长，圆锥的底面半径与高，代入正方体与圆锥的体积公式计算．‎ 解答： 解：由三视图知：、几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，‎ 两圆锥的顶点重合，‎ ‎∵正方体的边长为4，∴挖去两个圆锥的底面半径都为2，上圆锥的高为3，下圆锥的高为1，‎ ‎∴几何体的体积．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．‎ ‎7．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象（）‎ ‎ A． 关于直线x=0对称 B． 关于直线对称 ‎ C． 关于点对称 D． 关于点对称 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得f（x）=2sin（2x﹣）+2，再根据正弦函数的图象的对称性得出结论．‎ 解答： 解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=）=2sin=2sin（2x﹣）的图象；‎ 再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象．‎ 由于当x=时，sin（2x﹣）=0，可得函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象关于点对称，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎8．（5分）函数的图象大致为（）‎ - 24 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象与图象变化． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．‎ 解答： 解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ 且f（﹣x）==﹣=﹣f（x）‎ 故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误 由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；‎ 不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误 故选：D 点评： 本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若a2﹣c2=2b，=3，则b等于（）‎ ‎ A． 3 B． ‎4 ‎C． 6 D． 7‎ 考点： 余弦定理；正弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 由 =3=，可得sinB=4cosAsinC，再由正弦定理可得==4cosA=4×，化简可得 b2=2（b2+c2﹣a2）．再根据 a2﹣c2=2b 求得b的值．‎ 解答： 解：在△ABC中，∵=3=，∴sinAcosC=3cosAsinC，‎ ‎∴sin（A+C）=4cosAsinC，∴sinB=4cosAsinC，‎ - 24 -‎ ‎∴==4cosA=4×，化简可得 b2=2（b2+c2﹣a2）．‎ 再根据 a2﹣c2=2b，可得b2﹣4b=0，解得 b=4，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎10．（5分）对实数a和b，定义运算“*”：a*b=，设函数f（x）=（x2+1）*（x+2），若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（）‎ ‎ A． （2，4）∪（5，+∞） B． （1，2]∪（4，5] C． （﹣∞，1）∪（4，5] D． ‎ 考点： 函数零点的判定定理． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，结合图象求得结果．‎ 解答： 解：当（x2+1）﹣（x+2）≤1时，f（x）=x2+1，（﹣1≤x≤2），‎ 当（x2+1）﹣（x+2）＞1时，f（x）=x+2，（x＞2或x＜﹣1），‎ 函数y=f（x）的图象如图所示：‎ 由图象得：1＜c≤2，4＜c≤5时，‎ 函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，‎ 即函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点；‎ 故答案选：B．‎ 点评： 本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．‎ - 24 -‎ ‎11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． 6 D． 8‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．‎ 解答： 解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，‎ ‎∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ‎∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，‎ 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，‎ ‎∴+=6，‎ ‎∴p=8，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎12．（5分）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2ex的解集为（）‎ ‎ A． {x∈R|x＞1} B． {x∈R|0＜x＜1} C． {x∈R|x＜0} D． {x∈R|x＞0}‎ 考点： 导数的运算． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．‎ 解答： 解：构造函数 ‎∵f'（x）＜f（x）+1，‎ ‎∴g'（x）＜0，‎ 故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2‎ 不等式f（x）+1＜2ex化为g（x）＜g（0），‎ 解得x＞0，‎ 故选D．‎ 点评： 本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ - 24 -‎ ‎13．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，，则的值为．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 将所求的向量分别利用，表示，结合已知求，计算即可．‎ 解答： 解：因为==‎ ‎=‎ ‎=×2×2cos120°﹣2+×2×2×cos120°‎ ‎=‎ ‎=；‎ 所以的值为；‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了平面向量加减运算以及数量积的定义运用，属于基础题．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足条件：a1=，an+1=，则对n≤20的正整数，an+an+1=的概率为．‎ 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；数列递推式． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 本题考查的知识点是数列的递推公式及等可能性事件的概率，关键是要根据，a1=，an+1=，推断出数列各项值的结果，找出规律，再根据等可能性事件概率的求法，进行求解．‎ 解答： 解：由a1=，an+1=，‎ 得a2=3，‎ - 24 -‎ a3=﹣2，a4=﹣，a5=，‎ 可知{an}是周期为4数列，且an+an+1∈{}，‎ 则对n≤20的正整数，an+an+1=的概率为 故答案为：‎ 点评： 解决等可能性事件的概率问题，关键是要弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．‎ ‎15．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．‎ 考点： 球内接多面体． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O‎1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．‎ 解答： 解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O‎1C、O1D、OD，‎ ‎∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，‎ ‎∴O1O⊥平面ABC，结合O‎1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O‎1C，‎ ‎∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，‎ ‎∴Rt△O1OC中，O‎1C==．‎ 又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O‎1C=．‎ ‎∴Rt△OO1D中，OD==．‎ ‎∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，‎ ‎∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．‎ 此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．‎ - 24 -‎ 故答案为：‎ 点评： 本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．‎ ‎16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题是①⑤（把所有正确的命题的选项都填上）．‎ ‎①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．‎ ‎②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）＞0成立．‎ ‎③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6‎ ‎⑤已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．‎ 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 对于①，令x﹣2=t，则2﹣x=﹣t，由y=f（t）和y=f（﹣t）的对称性，从而得到函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象的对称；‎ 对于②，可举反例，函数y=x3，即可判断；‎ 对于③，考虑侧面的一侧棱和底面的一底边相等，即可判断；‎ 对于④，讨论P的位置在左支上，还是在右支上，结合双曲线上的点到焦点距离的最小值，判断出P为右支上一点，再由双曲线的定义，即可求出|PF1|；‎ 对于⑤，由函数为偶函数，应用诱导公式得，θ=，再根据其图象与直线y=2的交点，求出ωx=2kπ，再根据|x1﹣x2|的最小值为π，取k=0，k=1，求出ω．‎ 解答： 解：对于①，令x﹣2=t，则2﹣x=﹣t，则y=f（t）和y=f（﹣t）关于直线t=0对称，即关于直线x=2对称，‎ 故①正确；‎ 对于②，在R上连续的函数f（x），若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）≥0成立，‎ 比如f（x）=x3，f′（x）≥0，故②错；‎ 对于③，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，故③错；‎ 对于④，若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，且|PF2|=4，若P在左支上，‎ - 24 -‎ 则|PF2|的最小值为＞4，故P在右支上，|PF1|﹣|PF2|=2，故|PF1|=6，故④错；‎ 对于⑤，函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，则由诱导公式得，θ=时，‎ y=2sin（）=2cos（ωx）为偶函数，又其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，‎ 即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=，若|x1﹣x2|的最小值为π则可取k=0，1，‎ 即有，ω=2，故⑤正确．‎ 故答案为：①⑤．‎ 点评： 本题以命题的真假为载体，考查两函数图象的对称和导数与单调性的关系，以及双曲线的定义及应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），a‎1a3=4，且a3+1是a2和a4的等差中项，若bn=log2an+1．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{cn}满足cn=an+1+，求数列{cn}的前n项和．‎ 考点： 数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）根据等比数列的性质求出a2，由等差中项和等比数列的通项公式求出公比q，求出an和bn；‎ ‎（2）由（1）和题意求出cn，利用分组求和法、裂项相消法、等比数列的前n项和公式求出数列{cn}的前n项和．‎ 解答： 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，‎ 在等比数列{an}中，由an＞0、a‎1a2=4得，a2=2，①‎ 又a3+1是a2和a4的等差中项，所以2（a3+1）=a2+a4，②‎ 把①代入②得，2（2q+1）=2+2q2，解得：q=2或q=0（舍去），‎ 所以an=a2qn﹣2=2n﹣1，‎ 则bn=log2an+1=log22n=n…（4分）‎ ‎（2）由（1）得，cn=an+1+=‎ ‎=，…（6分）‎ 所以数列{cn}的前n项和Sn=2+22+…+2n+‎ ‎=+= …（12）‎ 点评： 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、性质，等差中项的性质，对数的运算性质，以及数列求和的常用方法：分组求和法、裂项相消法．‎ - 24 -‎ ‎18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过‎50kg为肥胖．‎ ‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 ‎ 不肥胖 18 ‎ 合计 30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；‎ ‎（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P（K2＞k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001‎ k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）‎ 考点： 独立性检验的应用． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： （1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．‎ ‎（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．‎ ‎（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．‎ 解答： 解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x=6‎ ‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8‎ 不胖 4 18 22‎ 合计 10 20 30‎ ‎…（3分）‎ ‎（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879，‎ 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ - 24 -‎ 点评： 本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．‎ ‎19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．‎ ‎（Ⅰ） 证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．‎ 考点： 平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD∥平面CB1D1．同理可证，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD∥平面CD1B1 ．‎ ‎（Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O= 的值，再根据三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O，运算求得结果．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，‎ 由棱柱的性质可得BB1 和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．‎ 而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．‎ 同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．‎ 而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．‎ ‎（Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，‎ ‎∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．‎ 点评： 本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．‎ ‎20．（12分）如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．‎ - 24 -‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （Ⅰ）根据点A（1，）是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线BD的方程为y=x+m，代入椭圆方程，设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB=，由此能导出即kAD+kAB=0．‎ 解答： 解：（1）由题意，可得e==，‎ 代入A（1，）得，‎ 又a2=b2+c2，…（2分）‎ 解得a=2，b=c=，‎ 所以椭圆C的方程．…（5分）‎ ‎（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，‎ 又A、B、D三点不重合，∴m≠0，‎ 设D（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由得4x2+2mx+m2﹣4=0‎ 所以△=﹣‎8m2‎+64＞0，‎ 所以﹣2＜m＜2．‎ x1+x2=﹣m，x1x2=﹣…（8分）‎ 设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，‎ 则kAD+kAB==2+m•‎ - 24 -‎ ‎=2+m•=2﹣2=0 （*） ‎ 所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．…（12分）‎ 点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+mx在上至少存在一个x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立，求实数k的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．‎ 分析： （1）求出函数的导数，求出切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；‎ ‎（2）求出导数，由条件g（x）在其定义域内为单调函数，则mx2+x﹣1≥0或者mx2+x﹣1≤0在上存在x0，使得F（x0）＞0，求实数k的取值范围．‎ 讨论k＞0，k≤0，运用导数判断单调性，即可得到．‎ 解答： 解：（1）函数f（x）=+lnx的导数 f′（x）=﹣，‎ 则在（2，f（2））处的切线斜率为：f′（2）==，‎ 切点为（2，ln2），‎ 则切线方程为：y﹣（ln2）=（x﹣2），‎ 即有；‎ ‎（2）g（x）=f（x）+mx=+lnx+mx，‎ - 24 -‎ g′（x）=﹣+m=，‎ ‎∵g（x）在其定义域内为单调函数，‎ ‎∴mx2+x﹣1≥0或者mx2+x﹣1≤0在上存在x0，使得F（x0）＞0，求实数k的取值范围．‎ ‎①当k≤0时，1≤x≤e，F（x）＜0在恒成立，‎ 则在上不存在x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立；‎ ‎②当k＞0，F′（x）=k+，‎ 由于1≤x≤e，则e﹣x＞0，则F′（x）＞0在恒成立．‎ 故F（x）在递增，F（x）max=F（e）=ke﹣3﹣，‎ 只要ke﹣3﹣＞0，解得k＞，‎ 综上，k的取值范围是（，+∞）．‎ 点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，求单调性和最值，考查构造函数，运用导数判断单调性，再求最值的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．‎ ‎（Ⅰ）求证：FA∥BE：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．‎ 考点： 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 立体几何．‎ 分析： （I）利用圆的性质、平行线的判定定理即可得出；‎ ‎（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；‎ ‎（III）利用割线定理可得AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论，及在Rt△FAP中，tan∠F=即可得出．‎ - 24 -‎ 解答： （I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，‎ ‎∴OA=OF．‎ ‎∴∠OAF=∠F．‎ ‎∵∠B=∠F，‎ ‎∴∠OAF=∠B．‎ ‎∴FA∥BE．‎ ‎（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，‎ ‎∴∠PAC=∠F．‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△APC∽△FAC．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴．‎ ‎（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），‎ ‎∵PF=AB=AC=2，‎ ‎∴CP（CP+2）=4．‎ 整理得CP2+2CP﹣4=0，‎ 解得CP=．‎ ‎∵CP＞0，∴‎ ‎∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．‎ ‎∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．‎ 由（2）中证得，‎ 在Rt△FAP中，tan∠F=．‎ ‎∴tan∠CPE=tan∠F=．‎ 点评： 本题考查了圆的性质、平行线的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质定理、圆的割线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．‎ - 24 -‎ 考点： 直线的参数方程；参数方程化成普通方程． ‎ 专题： 选作题；坐标系和参数方程．‎ 分析： （1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．‎ 解答： 解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），‎ 所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），‎ 所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（5分）‎ ‎（2）设z=x+y 由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4‎ 所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2‎ 将代入z=x+y得z=﹣t …（8分）‎ 又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，‎ 由题意有：﹣2≤t≤2‎ 所以﹣2≤t≤2‎ 即x+y的取值范围是．…（10分）‎ 点评： 本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．‎ 考点： 绝对值不等式． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，‎ ‎∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，‎ - 24 -‎ ‎∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）‎ 又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．‎ 故m的最小值为3．…（4分）‎ ‎（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3．‎ ‎∴或或 ‎∴或．…（7分）‎ 点评： 本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力．‎ - 24 -‎