河南省郑州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

郑州市2014-2015高二数学上学期期末试卷（理科带解析） ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）‎ ‎ A． ∀x≥0，x2≤0 B． ∃x≥0，x2≤‎0 ‎C． ∀x＜0，x2≤0 D． ∃x≥0，x2≤0‎ ‎2．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）‎ ‎ A． ﹣1 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ ‎3．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），则m的值为（）‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． 4 D． 8‎ ‎5．（5分）已知=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）‎ ‎ A． ﹣3或1 B． 3或﹣‎1 ‎C． ﹣3 D． 1‎ ‎6．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）‎ ‎ A． α，a，b B． α，β，a C． a，b，γ D． α，β，b ‎7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎7 ‎C． 8 D． 23‎ ‎8．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）‎ ‎ A． 一定是锐角三角形 ‎ B． 一定是直角三角形 ‎ C． 一定是钝角三角形 ‎ D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 - 17 -‎ ‎9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． ﹣4＜a＜9 B． ﹣9＜a＜‎4 ‎C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．（5分）已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则‎2a7+a11的最小值为（）‎ ‎ A． 16 B． ‎8 ‎C． D． 4‎ ‎12．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）‎ ‎ A． x﹣2y+1=0 B． 2x﹣y﹣1=‎0 ‎C． 2x+y﹣3=0 D． x+2y﹣3=0‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=．‎ ‎14．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=．‎ ‎16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB ‎（1）求角C的大小；‎ - 17 -‎ ‎（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．‎ ‎19．（12分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为‎40000m2‎的矩形鱼塘，其四周都留有宽‎3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．‎ ‎20．（12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动 ‎（1）证明：A1D⊥平面D1EC1；‎ ‎（2）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．‎ - 17 -‎ 河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）‎ ‎ A． ∀x≥0，x2≤0 B． ∃x≥0，x2≤‎0 ‎C． ∀x＜0，x2≤0 D． ∃x≥0，x2≤0‎ 考点： 命题的否定． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．‎ 解答： 解：已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是：∀x＜0，x2≤0，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了命题的否定，将命题的否定和否命题区分开，本题属于基础题．‎ ‎2．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）‎ ‎ A． ﹣1 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ 考点： 等差数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a2的值，进而可得公差d．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，‎ ‎∴S3=a1+a2+a3=‎3a2=6，∴a2=2，‎ ‎∴公差d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2‎ 故选：D 点评： 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．‎ ‎3．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ 解答： 解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b2＞0不成立．‎ 若（a﹣b）b2＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，‎ ‎∴a＞b成立．‎ 即a＞b是（a﹣b）b2＞0的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎4．（5分）已知抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），则m的值为（）‎ - 17 -‎ ‎ A． B． ‎2 ‎C． 4 D． 8‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），结合条件可得=2，即可求得m的值．‎ 解答： 解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），‎ 又抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），‎ 即有=2，‎ 解得m=8．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．‎ ‎5．（5分）已知=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）‎ ‎ A． ﹣3或1 B． 3或﹣‎1 ‎C． ﹣3 D． 1‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 计算题；空间向量及应用．‎ 分析： 运用向量的模的公式，可得x，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得y，进而得到x+y的值．‎ 解答： 解：由=（2，4，x），||=6，‎ 则=6，解得x=±4，‎ 又=（2，y，2），且⊥，‎ 则=0，即有4+4y+2x=0，‎ 即y=﹣．‎ 当x=4时，y=﹣3，有x+y=1；‎ 当x=﹣4时，y=1，有x+y=﹣3．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查空间向量的数量积的性质，考查向量的模的公式，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ - 17 -‎ ‎6．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）‎ ‎ A． α，a，b B． α，β，a C． a，b，γ D． α，β，b 考点： 解三角形的实际应用． ‎ 专题： 应用题；解三角形．‎ 分析： 给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．‎ 解答： 解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎7 ‎C． 8 D． 23‎ 考点： 简单线性规划的应用． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．‎ 解答： 解：画出不等式．表示的可行域，如图，‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，‎ 知在点B自目标函数取到最小值，‎ 解方程组得（2，1），‎ 所以zmin=4+3=7，‎ 故选B．‎ - 17 -‎ 点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎8．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）‎ ‎ A． 一定是锐角三角形 ‎ B． 一定是直角三角形 ‎ C． 一定是钝角三角形 ‎ D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 考点： 三角形的形状判断． ‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： 根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．‎ 解答： 解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，‎ ‎∴根据正弦定理，得‎6a=4b=‎3c，整理得a：b：c=4：6：8‎ 设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣‎ ‎∵C是三角形内角，得C∈（0，π），‎ ‎∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角 因此，△ABC是钝角三角形 故选：C 点评： 本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．‎ ‎9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． ﹣4＜a＜9 B． ﹣9＜a＜‎4 ‎C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4‎ 考点： 直线的斜率． ‎ 专题： 直线与圆．‎ - 17 -‎ 分析： 由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x﹣2y+a所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．‎ 解答： 解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，‎ ‎∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，‎ 即（a+4）（a﹣9）＜0．‎ 解得﹣4＜a＜9．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论．‎ 解答： 解：∵在双曲线﹣=1，‎ ‎∴a=4，b=3，c=5，‎ 即A，C是双曲线的两个焦点，‎ ‎∵顶点B在双曲线﹣=1，‎ ‎∴|BA﹣BC|=‎2a=8，AC=10，‎ 则由正弦定理得=，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键．‎ ‎11．（5分）已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则‎2a7+a11的最小值为（）‎ ‎ A． 16 B． ‎8 ‎C． D． 4‎ 考点： 等比数列的通项公式． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 由各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，知a4•a14=（2）2=8，故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出‎2a7+a11的最小值．‎ 解答： 解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，‎ ‎∴a4•a14=（2）2=8，‎ - 17 -‎ ‎∴a7•a11=8，‎ ‎∵a7＞0，a11＞0，‎ ‎∴‎2a7+a11≥2=2=8．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎12．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）‎ ‎ A． x﹣2y+1=0 B． 2x﹣y﹣1=‎0 ‎C． 2x+y﹣3=0 D． x+2y﹣3=0‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题设知（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程．‎ 解答： 解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，‎ s+t最小值是，‎ ‎∴（）（s+t）的最小值为4‎ ‎∴（）（s+t）=n+m+≥=，‎ 满足时取最小值，‎ 此时最小值为=2+2=4，‎ 得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．‎ 设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，‎ - 17 -‎ 把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得 ‎，‎ ‎①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴此弦所在的直线方程为，‎ 即x+2y﹣3=0．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=364．‎ 考点： 等比数列的性质． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．‎ 解答： 解：解方程x2﹣10x+9=0，得x1=1，x2=9．‎ ‎∵数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，‎ ‎∴a1=1，a3=9．‎ 设等比数列{an}的公比为q，则q2=9，所以q=3．‎ ‎∴S6==364．‎ 故答案为：364．‎ 点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，属于基础题．‎ ‎14．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9．‎ 考点： 基本不等式． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．‎ 解答： 解：∵x，y均为正数，且+=，‎ ‎∴=，整理可得xy=x+y+3，‎ - 17 -‎ 由基本不等式可得xy≥2+3，‎ 整理可得（）2﹣2﹣3≥0，‎ 解得≥3，或≤﹣1（舍去）‎ ‎∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，‎ 故答案为：9‎ 点评： 本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4．‎ 考点： 余弦定理；正弦定理． ‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： 利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结合a2﹣c2=2b，即可求b的值．‎ 解答： 解：∵sinAcosC=3cosAsinC，‎ ‎∴‎ ‎∴‎2c2=‎2a2﹣b2‎ ‎∵a2﹣c2=2b，‎ ‎∴b2=4b ‎∵b≠0‎ ‎∴b=4‎ 故答案为：4‎ 点评： 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而能求出k的值．‎ 解答： 解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1‎ 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），‎ 过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，‎ 由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，‎ ‎∴点A为BP的中点．‎ 连接OA，则|OA|=|BF|，‎ ‎∴|OA|=|AF|，‎ - 17 -‎ ‎∴点A的横坐标为，‎ ‎∴点A的坐标为（，），‎ 把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），‎ 解得k=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ 考点： 复合命题的真假． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p真q假，p假q真，从而得到a的范围．‎ 解答： 解：设g（x）=x2+2ax+4，‎ 由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，‎ ‎∴△=‎4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2，‎ 又抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，‎ ‎∴a＜1，a≠0，‎ 又∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ ‎∴p和q一真一假，‎ 若p真q假，则1≤a＜2，或a=0，‎ 若p假q真，则a≤﹣2，‎ 综上，a的范围是：1≤a＜2或a≤﹣2或a=0．‎ 点评： 本题考查了复合命题的真假，考查了不等式以及抛物线的性质，是一道基础题．‎ ‎18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB ‎（1）求角C的大小；‎ - 17 -‎ ‎（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．‎ 考点： 余弦定理；正弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．‎ 解答： 解：（1）由正弦定理==，及b=2csinB，‎ 得：sinB=2sinCsinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinC=，‎ ‎∵C为锐角，‎ ‎∴C=60°；‎ ‎（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，‎ ‎∵c2=（a﹣b）2+6，‎ ‎∴ab=6，‎ 则S△ABC=absinC=．‎ 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎19．（12分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为‎40000m2‎的矩形鱼塘，其四周都留有宽‎3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．‎ 考点： 不等式的实际应用． ‎ 专题： 应用题；不等式的解法及应用．‎ 分析： 设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=‎40000m2‎，由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m2），由此利用均值不等式能求出农田的长为‎206米，宽为‎206米时，才能使占有农田的面积最小．‎ 解答： 解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=‎40000m2‎，‎ 由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，‎ 农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m2），‎ 由不等式a+b≥2，知当且仅当a=b时，a+b最小，即农田面积最小，‎ ‎∵ab=40000 所以a=b=‎200m．‎ 所以农田的长为‎206米，宽为‎206米时，才能使占有农田的面积最小．‎ 点评： 本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎20．（12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13‎ - 17 -‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ 考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且 解得d=2，q=2．‎ 所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，‎ 则===．‎ 点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．‎ ‎21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动 ‎（1）证明：A1D⊥平面D1EC1；‎ ‎（2）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ - 17 -‎ 考点： 直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． ‎ 专题： 空间向量及应用．‎ 分析： 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．‎ ‎（1）利用数量积只要判断A1D⊥D1E，A1D⊥D‎1C1，‎ ‎（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），利用法向量的特点求出x．‎ 解答： 证明（1）：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．‎ ‎=（﹣1，0，﹣1），=（1，x，﹣1），=（0，2，0），‎ 所以=0，=0，‎ 所以A1D⊥D1E，A1D⊥D‎1C1，‎ 所以A1D⊥平面D1EC1；‎ 解：（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），‎ ‎∴=（1，x﹣2，0），=（0，2，﹣1），=（0，0，1）．‎ 由．所以 令b=1，‎ ‎∴c=2，a=2﹣x．∴=（2﹣x，1，2）．‎ 依题意，cos==⇒．‎ 解得x1=2+（舍去），x1=2﹣‎ 所以AE=2﹣时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查了利用空间直角坐标系，判断线面垂直以及求解二面角，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为，得，由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．‎ 解答： （Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），‎ 则F到直线l的距离为，‎ 即，…（2分）‎ 因为F在圆C内，所以，故c=1；…（4分）‎ 因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2=3，‎ 椭圆方程为．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为，‎ 所以直线l与圆C相切，M是切点，‎ 故△AOM为直角三角形，‎ 所以，‎ 又，得，…（7分）‎ - 17 -‎ ‎，‎ 又，得，…（9分）‎ 所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）‎ 所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，‎ 即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．…（12分）‎ 点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用 - 17 -‎