郑州四2015届高三数学上学期期中试题(文科含解析)
一、选择题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.(5分)已知复数z=,则z的虚部是()
A. B. ﹣ C. ﹣i D. ﹣
2.(5分)下列命题中的假命题是()
A. ∀x∈R,21﹣x>0
B. ∀x∈(0,+∞),2x>
C. ∃x0∈R,当x>x0时,恒有1.1x<x4
D. ∃α∈R,使函数 y=xα的图象关于y轴对称
3.(5分)已知A={x||x﹣1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.(5分)若向量||=,||=2,(﹣)⊥,则、的夹角是()
A. B. C. D.
5.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)(n∈N*)均在函数y=x+的图象上,则a2014=()
A. 2014 B. 2013 C. 1012 D. 1011
6.(5分)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
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8.(5分)函数f(x)=的图象大致是()
A. B. C. D.
9.(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1•am﹣1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m﹣1=512,则m的值为()
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10.(5分)已知函数f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ,(x∈R),(z∈R)其中φ为实数,且f(x)≤f()对任意实数R恒成立,记p=f(),q=f(),r=f(),则p、q、r的大小关系是()
A. r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r
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11.(5分)已知函数f(x)=,且g(x)=f(x)﹣mx﹣m在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()
A. (﹣,﹣2]∪(0,] B. (﹣,﹣2]∪(0,] C. (﹣,﹣2]∪(0,] D. (﹣,﹣2]∪(0,]
12.(5分)已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=(c)=0,现给出如下结论:
①f(0)=f(3);
②f(0)f(1)<0;
③f(1)f(3)<0;
④a2+b2+c2=18.
其中正确结论个数为()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题本大题共四小题,每小题5分.
13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.
14.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.
15.(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是.
16.(5分)已知函数f(x)的定义域为,部分对应值如下表.
x ﹣1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示:
下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)在是减函数;
③如果当x∈时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;
⑤函数y=f(x)﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是.
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三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(11分)已知函数f(x)的定义域为(﹣2,2),函数g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
18.(10分)已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S3=2S2+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),且{bn}的前n项和Tn.求证:Tn≥2.
19.(11分)已知向量=(cosx+sinx,2cosx),=(cosx﹣sinx,﹣sinx).
(1)求f(x)=•的最小正周期和单调减区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若f()=0,g(B)=,b=2,求a的值.
20.(16分)已知命题:“∃x∈{x|﹣1<x<1},使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题,
(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x﹣a)(x+a﹣2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.
21.(12分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
22.(10分)如图,⊙O和⊙O′都经过A,B两点,AC是⊙O′的切线,交⊙O于点C,AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证:AB2=BC•BD.
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23.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+)=a,曲线C2的参数方程为,(θ为参数,0≤θ≤π).
(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.
24.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
河南省郑州四十七中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.(5分)已知复数z=,则z的虚部是()
A. B. ﹣ C. ﹣i D. ﹣
考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 由复数代数形式的除法运算化简复数z,从而求得复数z的虚部.
解答: 解:由=,
则复数z的虚部是.
故选:B.
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点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数z的虚部的求法,是基础题.
2.(5分)下列命题中的假命题是()
A. ∀x∈R,21﹣x>0
B. ∀x∈(0,+∞),2x>
C. ∃x0∈R,当x>x0时,恒有1.1x<x4
D. ∃α∈R,使函数 y=xα的图象关于y轴对称
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 简易逻辑.
分析: 由指数函数的定义域和值域判断A;对x分类讨论判断B;由指数函数爆炸性判断C;举例说明D正确.
解答: 解:由指数函数的定义域和值域可知,∀x∈R,21﹣x>0,选项A为真命题;
当0<x<1时,2x>1,,有.当x=1时,.当x>1时,.
∴∀x∈(0,+∞),2x>,命题B为真命题;
∵y=1.1x为底数大于1的指数函数,y=x4为幂函数,
∴∃x0∈R,当x>x0时,恒有1.1x>x4,选项C为假命题;
当α为偶数时,函数y=xα是偶函数,其图象关于y轴对称,选项D为真命题.
故选:C.
点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了学生对教材基础知识的掌握程度,是基础题.
3.(5分)已知A={x||x﹣1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 计算题.
分析: 利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法,我们易求出集合A,B,然后判断集合A,B的包含关系,再结合“谁小谁充分,谁大谁必要”的原则,即可得到“x∈A”是“x∈B”的什么条件.
解答: 解:∵A={x||x﹣1|≥1,x∈R}
={x|x﹣1≥1或x﹣1≤﹣1}
={x|x≥2或x≤0},
B={x|log2x>1,x∈R}
={x|log2x>log22,x∈R}
={x|x>2},
∵B⊊A
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∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件
故选:B
点评: 本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,其中利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法,求出集合A,B,是解答本题的关键.
4.(5分)若向量||=,||=2,(﹣)⊥,则、的夹角是()
A. B. C. D.
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 利用数量积的定义、向量垂直与数量积的关系即可得出.
解答: 解:∵向量||=,||=2,(﹣)⊥,设向量与的夹角是θ.
∴=﹣=2﹣2cosθ=0,
∴cosθ=.
∵θ∈,∴θ=.
故选:D.
点评: 本题考查了数量积的定义、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.
5.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)(n∈N*)均在函数y=x+的图象上,则a2014=()
A. 2014 B. 2013 C. 1012 D. 1011
考点: 数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 由已知得Sn=,从而a2014=S2014﹣S2013,由此能求出结果.
解答: 解:设数列{an}的前n项和为Sn,
点(n,)(n∈N*)均在函数y=x+的图象上,
∴=,
∴Sn=,
∴a2014=S2014﹣S2013=﹣()
=2014.
故选:A.
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点评: 本题考查数列的第2014项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数列的性质的合理运用.
6.(5分)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考点: 简单线性规划.
专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用.
分析: 首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出k.
解答: 解:作出其平面区域如右图:
A(1,2),B(1,﹣1),C(3,0),
∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0,
∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得;
∴①若在A上取得,则k﹣2=0,则k=2,此时,
z=2x﹣y在C点有最大值,z=2×3﹣0=6,成立;
②若在B上取得,则k+1=0,则k=﹣1,
此时,z=﹣x﹣y,在B点取得的应是最大值,
故不成立,
故选B.
点评: 本题考查了简单线性规划的应用,要注意分类讨论,属于基础题.
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7.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 将原代数式中的x替换成﹣x,再结合着f(x)和g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x),再令x=1即可.
解答: 解:由f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,将所有x替换成﹣x,得
f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x3+x2+1,
根据f(x)=f(﹣x),g(﹣x)=﹣g(x),得
f(x)+g(x)=﹣x3+x2+1,再令x=1,计算得,
f(1)+g(1)=1.
故选:C.
点评: 本题属于容易题,是对函数奇偶性的考查,在2015届高考中,函数奇偶性的考查一般相对比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍.本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果.
8.(5分)函数f(x)=的图象大致是()
A. B.
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C. D.
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由于函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除C、D,利用极限思想(如x→0+,y→+∞)可排除B,从而得到答案A.
解答: 解:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
f(x)=,==f(x),
∴f(﹣x)=f(x),f(x)为偶函数,.
∴其图象关于y轴对称,可排除C,D;
又当x→0时,cos(πx)→1,x2→0,
∴f(x)→+∞.故可排除B;
而A均满足以上分析.
故选A.
点评: 本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于中档题.
9.(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1•am﹣1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m﹣1=512,则m的值为()
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
考点: 等比数列的前n项和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 由已知条件推导出am=2,从而Tn=2n,由T2m﹣1=512,得22m﹣1=512=29,由此能求出结果.
解答: 解:设数列{an}公比为q
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am﹣1=,am+1=am•q,
∵am+1•am﹣1=2am,∴,
∴,
解得am=2,或am=0(舍),
∴Tn=2n,
∵T2m﹣1=512,∴22m﹣1=512=29,
∴2m﹣1=9,解得m=5.
故选:B.
点评: 本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
10.(5分)已知函数f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ,(x∈R),(z∈R)其中φ为实数,且f(x)≤f()对任意实数R恒成立,记p=f(),q=f(),r=f(),则p、q、r的大小关系是()
A. r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r
考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 根据两角和的正弦公式化简得f(x)=sin(2x+φ),结合题意可得f()=sin(+φ)=1达到f(x)的最大值,从而算出φ=,可得f(x)=sin(2x+).由此利用三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性加以计算,即可得出p、q、r的大小关系.
解答: 解:由题意,得f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ),
∵f(x)≤f()对任意实数R恒成立,
∴f()是函数f(x)的最大值,即f()=sin(2×+φ)=1,
可得+φ=+2kπ(k∈Z),取k=0得φ=,
∴f(x)=sin(2x+),
由此可得p=f()=sin,q=f()=sin,r=f()=sin,
∵sin=sin(π+)=﹣sin,sin=sin(π+)=﹣sin=﹣sin,
sin=sin(2π+)=sin,
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∴sin<sin<0<sin,即p<q<r.
故选:C
点评: 本题已知正弦型三角函数的最大值对应的x值,比较几个函数值的大小关系.着重考查了三角函数的诱导公式、正弦函数的图象与性质等知识,属于中档题.
11.(5分)已知函数f(x)=,且g(x)=f(x)﹣mx﹣m在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()
A. (﹣,﹣2]∪(0,] B. (﹣,﹣2]∪(0,] C. (﹣,﹣2]∪(0,] D. (﹣,﹣2]∪(0,]
考点: 分段函数的应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即f(x)=m(x+1),作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论.
解答: 解:由g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即f(x)=m(x+1),
分别作出函数f(x)和y=h(x)=m(x+1)的图象如图:
由图象可知f(1)=1,h(x)表示过定点A(﹣1,0)的直线,
当h(x)过(1,1)时,m=此时两个函数有两个交点,此时满足条件的m的取值范围是0<m≤,
当h(x)过(0,﹣2)时,h(0)=﹣2,解得m=﹣2,此时两个函数有两个交点,
当h(x)与f(x)相切时,两个函数只有一个交点,
此时,
即m(x+1)2+3(x+1)﹣1=0,
当m=0时,x=,只有1解,
当m≠0,由△=9+4m=0得m=﹣,此时直线和f(x)相切,
∴要使函数有两个零点,
则﹣<m≤﹣2或0<m≤,
故选:A
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点评: 本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.
12.(5分)已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=(c)=0,现给出如下结论:
①f(0)=f(3);
②f(0)f(1)<0;
③f(1)f(3)<0;
④a2+b2+c2=18.
其中正确结论个数为()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点: 二次函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点及a、b、c的大小关系,由此可得结论
解答: 解:求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)
∴当1<x<3时,f'(x)<0;当x<1,或x>3时,f'(x)>0
所以f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1)和(3,+∞)单调递减区间为(1,3)
所以f(x)极大值=f(1)=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc,
f(x)极小值=f(3)=27﹣54+27﹣abc=﹣abc
要使f(x)=0有三个解a、b、c,那么结合函数f(x)草图可知:
a<1<b<3<c
及函数有个零点x=b在1~3之间,
所以f(1)=4﹣abc>0,且f(3)=﹣abc<0
所以0<abc<4
∵f(0)=﹣abc,
∴f(0)=f(3)
∴f(0)<0
∴f(0)f(1)<0,f(1)f(3)<0,
∵f(a)=f(b)=(c)=0,
∴x3﹣6x2+9x﹣abc
=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)
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=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc,
∴a+b+c=6①,ab+ac+bc=9②,
把②代入①2得:a2+b2+c2=18;
故答案为:①②③④
点评: 本题考查函数的零点、极值点,解不等式,综合性强,利用数形结合可以使本题直观.
二、填空题本大题共四小题,每小题5分.
13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=50.
考点: 等比数列的性质.
专题: 计算题;等差数列与等比数列.
分析: 直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案.
解答: 解:∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,
∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10
=ln(e5)10=lne50=50.
故答案为:50.
点评: 本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题.
14.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 由条件利用正弦定理求得a=c,b=c.再由余弦定理可得cosA= 的值.
解答: 解:在△ABC中,∵b﹣c=a,2sinB=3sinC,利用正弦定理可得2b=3c,求得a=c,b=c.
再由余弦定理可得 cosA==,
故答案为:.
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点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题.
15.(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是(﹣∞,2].
考点: 复合三角函数的单调性.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
分析: 利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.
解答: 解:由f(x)=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1,
令t=sinx,
则原函数化为y=﹣2t2+at+1.
∵x∈(,)时f(x)为减函数,
则y=﹣2t2+at+1在t∈(,1)上为减函数,
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=.
∴,解得:a≤2.
∴a的取值范围是(﹣∞,2].
故答案为:(﹣∞,2].
点评: 本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.
16.(5分)已知函数f(x)的定义域为,部分对应值如下表.
x ﹣1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示:
下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)在是减函数;
③如果当x∈时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;
⑤函数y=f(x)﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是②⑤.
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考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的周期性;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.
专题: 阅读型.
分析: 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象,再借助与图象和导函数的图象,对五个命题,一一进行验证,对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案.
解答: 解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象可由以下两种代表形式,如图:
由图得:①为假命题.函数f(x)不能断定为是周期函数.
②为真命题,因为在上导函数为负,故原函数递减;
③为假命题,当t=5时,也满足x∈时,f(x)的最大值是2;
④为假命题,当a离1非常接近时,对于第二个图,y=f(x)﹣a有2个零点,也可以是3个零点.
⑤为真命题,动直线y=a与y=f(x)图象交点个数可以为0、1、2、3、4个,故函数y=f(x)﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
综上得:真命题只有②⑤.
故答案为:②⑤
点评: 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(11分)已知函数f(x)的定义域为(﹣2,2),函数g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
考点: 函数的定义域及其求法;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)由题意知,,解此不等式组得出函数g(x)的定义域.
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(2)等式g(x)≤0,即 f(x﹣1)≤﹣f(3﹣2x)=f(2x﹣3),有,解此不等式组,
可得结果.
解答: 解:(1)∵数f(x)的定义域为(﹣2,2),函数g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x).
∴,∴<x<,函数g(x)的定义域(,).
(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式g(x)≤0,
∴f(x﹣1)≤﹣f(3﹣2x)=f(2x﹣3),∴,∴<x≤2,
故不等式g(x)≤0的解集是 (,2].
点评: 本题考查函数的定义域的求法,利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于基础题.
18.(10分)已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S3=2S2+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),且{bn}的前n项和Tn.求证:Tn≥2.
考点: 数列与不等式的综合;数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: (1)设公比为q,由题意1+q+q2=2(1+q)+1,由此能求出.
(2)由bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1,=n2+2n﹣1,由此能证明Tn≥2.
解答: (1)解:设公比为q,由题意:q>1,a1=1,
则a2=q,,
∵S3=2S2+1,∴a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,…(2分)
则1+q+q2=2(1+q)+1,
解得:q=2或q=﹣1(舍去),
∴.…(4分)
(2)证明:bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1,…(6分)
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=+
=n2+2n﹣1.…(8分)
又∵在,k∈z
(2)∵将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
∴g(x)=cosx,∵f()=0,g(B)=,b=2,∴sin(A+)=0,COSB=,
∵在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,
∴A=,B=∵,b=2∴得:,即a=,
点评: 本题考查了向量在三角函数中的应用,结合正弦定理,三角函数的图象性质解决问题.
20.(16分)已知命题:“∃x∈{x|﹣1<x<1},使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题,
(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x﹣a)(x+a﹣2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.
考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.
专题: 计算题.
分析: (1)利用参数分离法将m用x表示,结合二次函数的性质求出m的取值范围,从而可求集合M;
(2)若x∈N是x∈M的必要条件,则M⊆N分类讨论①当a>2﹣a即a>1时,N={x|2﹣a<x<a},②当a<2﹣a即a<1时,N={x|a<x<2﹣a},③当a=2﹣a即a=1时,N=φ三种情况进行求解
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解答: 解:(1)由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=
∵﹣1<x<1
∴
M={m|}
(2)若x∈N是x∈M的必要条件,则M⊆N
①当a>2﹣a即a>1时,N={x|2﹣a<x<a},则即
②当a<2﹣a即a<1时,N={x|a<x<2﹣a},则即
③当a=2﹣a即a=1时,N=φ,此时不满足条件
综上可得
点评: 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解,集合之间包含关系的应用,体现了分类讨论思想的应用.
21.(12分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
专题: 导数的综合应用.
分析: (Ⅰ)由已知,,…可得用数学归纳法加以证明;
(Ⅱ)由已知得到ln(1+x)≥恒成立构造函数φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),利用导数求出函数的最小值即可;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中取a=1,可得,令则,n依次取1,2,3…,然后各式相加即得到不等式.
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解答: 解:由题设得,
(Ⅰ)由已知,
,
…
可得
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即,
那么n=k+1时,=即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),则φ′(x)=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减,
∴φ(a﹣1)<φ(0)=0
即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(﹣∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=,
n﹣f(n)=n﹣ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于,
在(Ⅱ)中取a=1,可得,
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令则
故有,
ln3﹣ln2,…
,
上述各式相加可得结论得证.
点评: 本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值,证明不等式,属于一道综合题.
22.(10分)如图,⊙O和⊙O′都经过A,B两点,AC是⊙O′的切线,交⊙O于点C,AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证:AB2=BC•BD.
考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 立体几何.
分析: 由已知条件得△ACB∽△DAB,由此能证明AB2=BC•BD.
解答: (本小题满分为8分)
证明:因为AC是⊙O的切线,AD是⊙O′的切线,
所以∠1=∠C,∠2=∠D,(3分)
所以△ACB∽△DAB,(4分)
故,(6分)
所以AB2=BC•BD.(8分)
点评: 本题考查AB2=BC•BD的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意三角形相似的性质的灵活运用.
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23.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+)=a,曲线C2的参数方程为,(θ为参数,0≤θ≤π).
(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.
考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: (Ⅰ)利用极坐标方程的定义即可求得;
(Ⅱ)数形结合:作出图象,根据图象即可求出有两交点时a的范围.
解答: 解:(Ⅰ)曲线C1的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=a,
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0.
(Ⅱ)曲线C2的直角坐标方程为(x+1)2+(y+1)2=1(﹣1≤y≤0),为半圆弧,
如图所示,曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线,
当直线C1过点P时,利用得a=﹣2±,
舍去a=﹣2﹣,则a=﹣2+,
当直线C1过点A、B两点时,a=﹣1,
∴由图可知,当﹣1≤a<﹣2+时,曲线C1与曲线C2有两个公共点.
点评: 本题考查参数方程化普通方程及直线与圆的位置关系,属基础题.
24.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
考点: 参数方程化成普通方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: (1)首先,对于曲线C:根据极坐标与直角坐标变换公式,方程ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以ρ,化成直角坐标方程,对于直线l:消去参数t即可得到普通方程;
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(2)首先,联立方程组,消去y整理,然后,设点M,N分别对应参数t1,t2,从而,得到|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|,然胡,结合一元二次方程根与系数的关系,建立含有a的关系式,求解a的取值.
解答: 解:(1)∵,
方程ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以ρ,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);
直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0.
(2)联立方程组
,
消去y并整理,得
t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0 (*)
△=8a(4+a)>0.
设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.
则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|.
由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,
即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有
(4+a)2﹣5(4+a)=0,得a=1,或a=﹣4.
∵a>0,
∴a=1.
点评: 本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,参数方程和普通方程的互化,直线与曲线的位置关系等知识,属于中档题.
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