长沙市2014-2015高二数学上学期期末试卷(理科有解析)
一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)复数=()
A. B. C. D.
2.(3分)已知p:x2﹣6x﹣27≤0,q:|x﹣1|≤m(m>0),若q是p的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是()
A. m≤4 B. m<4 C. m≥8 D. m>8
3.(3分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
4.(3分)甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3:1的比分获胜的概率为()
A. B. C. D.
5.(3分)若=1,则f′(x0)等于()
A. 2 B. ﹣2 C. D.
6.(3分)把下面在平面内成立的结论:
(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交
(2)如果两条直线同时与第三条直线平行,则这两条直线平行
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条垂直
(4)如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行
类比地推广到空间,且结论也正确的是()
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)
7.(3分)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4
- 19 -
8.(3分)三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,∠CAD=60°,则=()
A. ﹣2 B. 2 C. D.
9.(3分)曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为()
A. 2ln2 B. 2﹣ln2 C. 4﹣ln2 D. 4﹣2ln2
10.(3分)已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于()
A. B. C. 2 D.
11.(3分)若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2)2+a3(x﹣2)3,则a2的值为()
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
12.(3分)下列选项中,说法正确的是()
A. 命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题
B. 设是向量,命题“若,则||=||”的否命题是真命题
C. 命题“p∪q”为真命题,则命题p和q均为真命题
D. 命题∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x≤0”.
13.(3分)f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0且f(﹣1)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集为()
A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣1,0)∪(0,1) C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1)
14.(3分)椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()
- 19 -
A. B. C. D.
15.(3分)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()
A. 60条 B. 62条 C. 71条 D. 80条
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.)
16.(3分)平面内有10个点,其中5个点在一条直线上,此外再没有三点共线,则共可确定个三角形.
17.(3分)已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=.
18.(3分)设的展开式中的常数项等于.
19.(3分)已知函数y=f(x)的图象在M(1,f(1))处的切线方程是+2,f(1)+f′(1)=.
20.(3分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=;f(n)=.
三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
21.(8分)已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线=1的离心率e∈().若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
- 19 -
22.(8分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
23.(8分)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD=1.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
24.(8分)已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A,B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过原点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
25.(8分)已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)复数=()
A. B. C. D.
考点: 复数代数形式的混合运算.
专题: 计算题.
- 19 -
分析: 利用i的幂的运算法则,化简分子,然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可.
解答: 解:复数====
故选C
点评: 题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,是基础题.
2.(3分)已知p:x2﹣6x﹣27≤0,q:|x﹣1|≤m(m>0),若q是p的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是()
A. m≤4 B. m<4 C. m≥8 D. m>8
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据不等式的性质求出p,q对应的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论.
解答: 解:由x2﹣6x﹣27≤0,得﹣3≤x≤9,即p:﹣3≤x≤9,
由|x﹣1|≤m(m>0),得1﹣m≤x≤1+m,即q:1﹣m≤x≤1+m,
若q是p的必要而不充分条件,
则,
即,解得m≥8,
即实数m的取值范围是m≥8,
故选:C
点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,求出命题的等价条件是解决本题的关键.
3.(3分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值.
解答: 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=﹣1,
∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点
∴|AB|=x1+x2+2,
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故选C.
点评: 本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等,由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度.
- 19 -
4.(3分)甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3:1的比分获胜的概率为()
A. B. C. D.
考点: n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 以甲3胜1败而结束比赛,甲只能在1、2、3次中失败1次,第4次胜,即可得出结论.
解答: 解:甲以3:1的比分获胜,甲只能在1、2、3次中失败1次,第4次胜,
因此所求概率为:P==.
故选:A.
点评: 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率,等可能事件的概率,属于基础题.
5.(3分)若=1,则f′(x0)等于()
A. 2 B. ﹣2 C. D.
考点: 极限及其运算;变化的快慢与变化率.
专题: 计算题.
分析: 先将 进行化简变形,转化成导数的定义式,即可解得.
解答: 解:根据导数的定义可得,=
故选C
点评: 本题主要考查了导数的定义的简单应用,以及极限及其运算,属于基础题.
6.(3分)把下面在平面内成立的结论:
(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交
(2)如果两条直线同时与第三条直线平行,则这两条直线平行
- 19 -
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条垂直
(4)如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行
类比地推广到空间,且结论也正确的是()
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)
考点: 类比推理.
专题: 综合题;推理和证明.
分析: 对4个命题分别进行判断,即可得出结论.
解答: 解:(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,与另一条不一定相交,也可能异面,在长方体中找.
(2)如果两条直线同时与第三条直线平行,根据平行公理,则这两条直线平行;
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则必与另一条垂直,符合异面直线所成角的定义;
(4)垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面,比如墙角上的三条垂直的直线.
故选B.
点评: 本题考查了线面的平行和垂直定理,借助于具体的事物有助于理解,还能培养立体感.
7.(3分)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4
考点: 数学归纳法.
专题: 阅读型.
分析: 由等式 ,当n=1时,n+3=4,而等式左边起始为1的连续的正整数的和,由此易得答案.
解答: 解:在等式 中,
当n=1时,n+3=4,
而等式左边起始为1的连续的正整数的和,
故n=1时,等式左边的项为:1+2+3+4
故选D.
点评: 本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,在数学归纳法中,第一步是论证n=1时结论是否成立,此时一定要分析等式两边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误.解此类问题时,注意n的取值范围.
8.(3分)三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,∠CAD=60°,则=()
- 19 -
A. ﹣2 B. 2 C. D.
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题.
分析: 根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差,进行数量积的运算,这样应用的边长和角都是已知的,得到结果.
解答: 解:=
=
=0﹣2×=﹣2
故选A.
点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,本题解题的关键是把未知量转化为已知量,用侧棱做基底表示未知向量.
9.(3分)曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为()
A. 2ln2 B. 2﹣ln2 C. 4﹣ln2 D. 4﹣2ln2
考点: 定积分.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 作出函数的图象,可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC,它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差,由此结合定积分计算公式和梯形面积公式,不难得到本题的答案.
解答: 解:令x=4,代入直线y=x﹣1得A(4,3),同理得C(4,)
由=x﹣1,解得x=2,所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B(2,1)
∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF
而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2
∵S梯形ABEF=(1+3)×2=4
∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2
- 19 -
故选D
点评: 本题利用定积分计算公式,求封闭曲边图形的面积,着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识,属于基础题.
10.(3分)已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于()
A. B. C. 2 D.
考点: 双曲线的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 设A(x1,y1),B(x2,y2),根据AB的中点P的坐标,表示出斜率,从而得到关于a、b的关系式,再求离心率.
解答: 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则﹣=1,①;
﹣=1,②,
①﹣②得=,
∵点P(2,1)是AB的中点,
∴x1+x2=4,y1+y2=2,
∵直线l的斜率为2,∴=2,
∴a2=b2,c2=2a2,
∴e=.
故选A.
点评: 本题考查了双曲线的简单性质,解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率.
- 19 -
11.(3分)若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2)2+a3(x﹣2)3,则a2的值为()
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
考点: 二项式定理的应用.
分析: 由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列,故可将x写为2+x﹣2,利用二项式定理的通项公式可求出a2的值.
解答: 解:x3=(2+x﹣2)3,故a2=C322=6
故选B
点评: 本题考查二项式定理及通项公式的运用,观察等式右侧的特点,将x3=(2+x﹣2)3是解题的关键.
12.(3分)下列选项中,说法正确的是()
A. 命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题
B. 设是向量,命题“若,则||=||”的否命题是真命题
C. 命题“p∪q”为真命题,则命题p和q均为真命题
D. 命题∃x∈R,x2﹣x>0”的否定是“∀x∈R,x2﹣x≤0”.
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 证明题.
分析: 要否定一个命题只要举出反例即可:对于A、B、C可举出反例;D根据全称命题p:“∃x0∈M,p(x0)”的否定¬p为:“∀x∈M,¬p(x)”即可判断出正确与否.
解答: 解:A.命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是“若a<b,则am2<bm2”,对于逆命题,取m=0时不成立;
B.设是向量,命题“若,则||=||”的否命题是“若,则||≠||”是假命题,若向量、的起点相同,其终点在同一个圆周上,则必有||≠||,故其逆命题是假命题;
C.只要p、q中有一个为真命题,则pVq即为真命题.由此可知:C为假命题;
D.根据:全称命题p:“∃x0∈M,p(x0)”的否定¬p为:“∀x∈M,¬p(x)”可知:D正确.
综上可知:正确答案为:D.
故选D.
点评: 掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键.
13.(3分)f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0且f(﹣1)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集为()
A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣1,0)∪(0,1) C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1)
考点: 导数的乘法与除法法则;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.
- 19 -
专题: 计算题.
分析: 构造函数h(x)=f(x)g(x),由已知得到当x<0时,h′(x)<0,所以函数y=h(x)在(﹣∞,0)单调递减,又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得到函数y=h(x)为R上的奇函数,得到函数y=h(x)在(0,+∞)单调递减,画出函数h(x)的草图,结合图象得到不等式的解集.
解答: 解:设h(x)=f(x)g(x),
因为当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,
所以当x<0时,h′(x)<0,
所以函数y=h(x)在(﹣∞,0)单调递减,
又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以函数y=h(x)为R上的奇函数,
所以函数y=h(x)在(0,+∞)单调递减,
因为f(﹣1)=0,
所以函数y=h(x)的大致图象如下:
所以等式f(x)g(x)<0的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞)
故选A.
点评: 本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系;奇函数的单调性在对称区间上一致,属于基础题.
14.(3分)椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.
解答: 解:①当点P与短轴的顶点重合时,
- 19 -
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,即2c+2c>2a﹣2c,
由此得知3c>a.所以离心率e>.
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(,)∪(,1)
点评: 本题给出椭圆的焦点三角形中,共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
15.(3分)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()
A. 60条 B. 62条 C. 71条 D. 80条
考点: 排列、组合及简单计数问题.
专题: 综合题;压轴题.
分析: 方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,所以分b=﹣3,﹣2,1,2,3五种情况,利用列举法可解.
解答: 解:方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,所以分b=﹣3,﹣2,1,2,3五种情况:
(1)当b=﹣3时,a=﹣2,c=0,1,2,3或a=1,c=﹣2,0,2,3或a=2,c=﹣2,0,1,3或a=3,c=﹣2,0,1,2;
- 19 -
(2)当b=3时,a=﹣2,c=0,1,2,﹣3或a=1,c=﹣2,0,2,﹣3或a=2,c=﹣2,0,1,﹣3或a=﹣3,c=﹣2,0,1,2;
以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;
(3)同理当b=﹣2或b=2时,共有16+7=23条;
(4)当b=1时,a=﹣3,c=﹣2,0,2,3或a=﹣2,c=﹣3,0,2,3或a=2,c=﹣3,﹣2,0,3或a=3,c=﹣3,﹣2,0,2;
共有16条.
综上,共有23+23+16=62种
故选B.
点评: 此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的9条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.)
16.(3分)平面内有10个点,其中5个点在一条直线上,此外再没有三点共线,则共可确定110个三角形.
考点: 计数原理的应用.
专题: 排列组合.
分析: 先把10个点看作不共线的,此时能确定的最多三角形数求出来,再减去共线5点所确定的三角形数即可
解答: 解:先把10个点看作不共线的,此时能确定的最多三角形数求出来,再减去共线5点所确定的三角形数,故有﹣=110个三角形.
故答案为:110.
点评: 本题考查排列组合的基本问题,属于基础题.
17.(3分)已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=8.
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 运用椭圆的定义,可得三角形ABF2的周长为4a=20,再由周长,即可得到AB的长.
解答: 解:椭圆=1的a=5,
由题意的定义,可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,
则三角形ABF2的周长为4a=20,
若|F2A|+|F2B|=12,
则|AB|=20﹣12=8.
故答案为:8
点评: 本题考查椭圆的方程和定义,考查运算能力,属于基础题.
- 19 -
18.(3分)设的展开式中的常数项等于﹣160.
考点: 二项式定理的应用;定积分.
专题: 计算题.
分析: 在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.
解答: 解:∵=﹣(cosπ﹣cos0)=2,
则= 的展开式的通项公式为
Tr+1=••=•26﹣r•x3﹣r.
令 3﹣r=0,解得r=3,故展开式中的常数项等于﹣160,
故答案为﹣160.
点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.
19.(3分)已知函数y=f(x)的图象在M(1,f(1))处的切线方程是+2,f(1)+f′(1)=3.
考点: 导数的运算.
分析: 先将x=1代入切线方程可求出f(1),再由切点处的导数为切线斜率可求出f'(1)的值,最后相加即可.
解答: 解:由已知切点在切线上,所以f(1)=,切点处的导数为切线斜率,所以,
所以f(1)+f′(1)=3
故答案为:3
点评: 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率.
20.(3分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=37;f(n)=3n2﹣3n+1.
- 19 -
考点: 归纳推理.
专题: 规律型.
分析: 根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1),进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式.
解答: 解:由于f(2)﹣f(1)=7﹣1=6,
f(3)﹣f(2)=19﹣7=2×6,
f(4)﹣f(3)=37﹣19=3×6,
f(5)﹣f(4)=61﹣37=4×6,…
因此,当n≥2时,有f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1),
所以f(n)=++…++f(1)=6+1=3n2﹣3n+1.
又f(1)=1=3×12﹣3×1+1,所以f(n)=3n2﹣3n+1.
当n=4时,f(4)=3×42﹣3×4+1=37.
故答案为:37;3n2﹣3n+1.
点评: 本题主要考查了数列的问题、归纳推理.属于基础题.
三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
21.(8分)已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线=1的离心率e∈().若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
考点: 椭圆的简单性质;复合命题的真假;双曲线的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 由p真与q真分别求得m的范围,利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围.
解答: 解:p真,则有9﹣m>2m>0,即0<m<3…2分
q真,则有m>0,且e2=1+=1+∈(,2),
即<m<5…4分
若p或q为真命题,p且q为假命题,则p、q一真一假.
①若p真、q假,则0<m<3,且m≥5或m≤,即0<m≤;…6分
②若p假、q真,则m≥3或m≤0,且<m<5,即3≤m<5…8分
- 19 -
故实数m的取值范围为0<m≤或3≤m<5…10分
点评: 本题考查椭圆与双曲线的简单性质,考查复合命题的真假判断,考查集合的交补运算,属于中档题.
22.(8分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.
专题: 概率与统计.
分析: (I)从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有,然后求出取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的结果数,代入古典概率的求解公式即可求解
(II)先判断随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值
解答: 解:(I)设取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片为事件A,则
P(A)==
所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为
(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4
P(X=1)=
P(X=2)=
P(X=3)==
P(X=4)==
X的分布列为
EX==
x 1 2 3 4
- 19 -
P
点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.
23.(8分)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD=1.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.
专题: 计算题;证明题;转化思想.
分析: (1)先将BF平移到CE,则∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角,在三角形CED中求出此角即可;
(2)设Q为CD的中点,连接PQ,EQ,易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角,在直角三角形EQP中求出此角即可
解答: 解:(1)由题设知,BF∥CE,
所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角.
设P为AD的中点,连接EP,PC.
因为FE=∥AP,所以FA=∥EP,同理AB=∥PC.
又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD.
而PC,AD都在平面ABCD内,
故EP⊥PC,EP⊥AD.由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,
则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a,故∠CED=60°.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)取CD的中点Q,连接PQ,EQ
由PC=PD,CE=DE
∴PQ⊥CD,EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角,
由ED=CD=a,在等边△ECD中EQ=a
在等腰Rt△CPD中,PQ=a
在Rt△EPQ中,cos∠EQP=.
- 19 -
故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为.
点评: 本小题考查线线垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力.
24.(8分)已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A,B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过原点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
考点: 双曲线的简单性质.
专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (1)联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得(3﹣k2)x2﹣2kx﹣2=0,由△>0,且3﹣k2≠0,解得即为k的范围;
(2)假设存在,则设A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意,x1x2+y1y2=0,利用韦达定理可得x1+x2=,x1x2=,从而可求得+1=0,继而可解得k的值.检验成立.
解答: 解:(1)由,得(3﹣k2)x2﹣2kx﹣2=0,
由△>0,且3﹣k2≠0,
得﹣<k<,且k≠±;
(2)假设存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过原点.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,
所以x1x2+y1y2=0,又x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴k2x1x2+k(x1+x2)+1+x1x2=0,
即++1+=0,
∴+1=0,解得k=±1.
- 19 -
经检验,k=±1满足题目条件,
则存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过原点.
点评: 本题考查双曲线的标准方程和性质,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,突出考查韦达定理的应用,考查转化思想与综合运算能力,属于中档题.
25.(8分)已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
专题: 综合题.
分析: (Ⅰ)求导函数,可得,由于分母恒正,故由分子的正负,确定函数的单调区间;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的讨论,分别可求得f(x)的最小值,根据f(x)的最小值为1,可确定a的取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)求导函数,可得,
∵x≥0,a>0,∴ax+1>0.
①当a≥2时,在区间(0,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞).
②当0<a<2时,由f'(x)>0解得,由f'(x)<0解得x<,
∴f(x)的单调减区间为,单调增区间为.
(Ⅱ)当a≥2,由(Ⅰ)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;
当0<a<2时,由(Ⅰ)②知,f(x)在处取得最小值<f(0)=1,
综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).
点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,合理分类是关键.
- 19 -