湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理.doc

衡阳县2014-2015高二数学下学期期末试卷（理科有答案）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设随机变量，若，则等于 A.0.3 ‎B.‎0.4 ‎ C.0.6 D.0.7 ‎ ‎2．已知a,b均为非零实数，则“”是“”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3.设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则的值为 A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎4.设为实数，若复数，则 ‎5．已知递减的等差数列满足，则数列的前项和取最大值时，‎ ‎=（ ）‎ A.3 B. 4或‎5 C.4 D.5或6‎ ‎6. 阅读下图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果是(　　)‎ ‎ A．3 B．‎8 C．12 D．20‎ ‎7．如图，在△中，，，D是BC的中点，则（ ）．‎ A．3 B．‎4 C．5 D．不能确定 ‎8.‎2015年6月20日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是豆沙馅”，则（　　）‎ 9‎ A. B. C. D.‎ ‎9．若直线被圆所截得的弦长为6，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．函数在区间上可找到个不同数，，…，，使得，则的最大值等于（ ）‎ A. 8 B. ‎9 C. 10 D.11‎ ‎11．如图，已知双曲线：的右顶点为O为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点是平面区域内的动点，点，O为坐标原点，设的最小值为，若恒成立,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是 ．‎ ‎14．已知向量a，b满足，且，则与的夹角为 ．‎ ‎15．已知函数，对任意的，恒有成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ 9‎ ‎16．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共有70分，请写出必要的证明或计算过程）‎ ‎17.(本题满分12分) 等差数列中，.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ 设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题共12分）设向量 ‎(1)若，求x的值； (2)设函数,求的最大值.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为 ‎（Ⅰ）求甲获第一名且丙获第二名的概率：‎ ‎（Ⅱ）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。‎ 9‎ ‎20. (本题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，‎ AC⊥BC，D为AB的中点.‎ ‎( 1 )求证：AC1∥平面B1CD；‎ ‎( 2 )求二面角B－B‎1C－D的正弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数，‎ ‎ (1).若函数在处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎ (2).若存在使成立，求实数的范围；‎ ‎ (3).证明对于任意有：。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 ‎22.（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲 如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.‎ ‎ (1).求证:;‎ ‎ (2).求BC·BE＋AC·AD的值。‎ 9‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：垂直，根据(1)中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）解关于的不等式;‎ ‎（2）若的解集非空，求实数的取值范围. ‎ 9‎ 高二期末考试数学参考答案 一、选择题：DADAB-------BBACCBC 二、填空题： 13． 14． 15． 16．-21‎ ‎17.解：（1）…………6分 ‎（2）………….12分 ‎18.‎ ‎19. 解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，‎ ‎∴甲获第一的概率为 ……………2分 ‎ 丙获第二，则丙胜乙，其概率为 …………4分 ‎∴甲获第一名且丙获第二名的概率为 ……………6分 ‎(2)ξ可能取的值为O、3、6…………………………7分 ‎ 甲两场比赛皆输的概率为 ‎ ……8分 ‎ 甲两场只胜一场的概率为 9‎ ‎ ………9分 ‎ 甲两场皆胜的概率为 ‎ ……………l0分 ‎∴ξ的分布列为 ‎ ‎ ξ ‎0‎ ‎3 ‎ ‎6‎ P ‎ …………l2分 ‎20. 解：(1)证明：如图，连接BC1交B‎1C于点E，‎ 则E为BC1的中点.‎ ‎∵D为AB的中点，∴在△ABC1中，AC1∥DE 又AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，‎ ‎∴AC1∥平面B1CD ‎(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，‎ ‎∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB‎1A1，‎ ‎∴CD⊥平面ABB‎1A1.‎ ‎∴平面B1CD⊥平面B1BD，‎ 过点B作BH⊥B1D，垂足为H，则BH⊥平面B1CD，‎ 连接EH，‎ ‎∵B‎1C⊥BE，B‎1C⊥EH，‎ ‎∴∠BEH为二面角B－B‎1C－D的平面角.‎ 在Rt△BHE中，BE＝，BH＝＝，‎ 则sin∠BEH＝＝.‎ 即二面角B－B‎1C－D的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎21.解（1)..由已知：，∴由题知，解得，‎ ‎(2).由已知，‎ 9‎ 当时，，所以在单调递增,，一定符合题意；‎ 当时，,所以单调递增区间为，单调递减区间为。,由题意知，‎ 只需满足综上：.‎ ‎（3）要证明 ‎ 只需证(n∈N*，n≥2)．‎ 只需证，‎ 只需证．‎ ‎ 由（1）当时，，f(x)为减函数，‎ ‎ 即，∴ 当n≥2时，，‎ ‎，‎ ‎