湖南省株洲二中2015届高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

株洲二中2015届高三数学上学期期末试题（文科附解析） ‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）‎ ‎ A． D． （﹣1，0]‎ ‎2．（5分）质检部门对某超市56种食用油（分别编号为1～56）进行抽样检查，用系统抽样的方法抽取了4种食用油，已知7号，35号被抽取到，那么另两种被抽取到的食用油编号是（）‎ ‎ A． 22号与49号 B． 21号与49号 C． 28号与42号 D． 21号与50号 ‎3．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）‎ ‎ A． 2，﹣ B． 2，﹣ C． 4，﹣ D． 4，‎ ‎5．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，a2+a4+a6=12，则S8的值是（）‎ ‎ A． 21 B． ‎24 ‎C． 36 D． 7‎ ‎6．（5分）下列命题说法错误的是（）‎ ‎ A． 若“p∧q”为真命题，则p，q均为真命题 ‎ B． 若命题p：∃x∈R，x2≥0，则￢p：∀x∈R，x2＜0‎ ‎ C． “x＞‎2”‎是“x≥‎0”‎的充分不必要条件 ‎ D． “x=”是“sinx=”的必要不充分条件 - 17 -‎ ‎7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的正视图面积为（）‎ ‎ A． 2+3π B． 2+ C． 4+ D． 4+π ‎8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）‎ ‎ A． 6，64 B． 8，‎16 ‎C． 16，256 D． 30，512‎ ‎9．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）‎ ‎ A． 2 B． ‎2‎ C． 4 D． 4‎ - 17 -‎ ‎10．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则•的最小值为（）‎ ‎ A． 1+2 B． ﹣1﹣‎2‎ C． 1﹣ D． 1﹣2‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）复数z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应点在第象限．‎ ‎12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=．‎ ‎13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的最大值为．‎ ‎14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为．‎ ‎15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．‎ ‎（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为；‎ ‎（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是．‎ 三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ - 17 -‎ ‎（Ⅱ）设△ABC的内角A， B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．‎ ‎17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．‎ ‎18．（12分）‎2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：‎ 区间 ‎ 人数 25 a b ‎ ‎（1）求正整数a，b，N的值；‎ ‎（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ ‎19．（13分）已知数列{an}中，a1=，且an+1=an，正项数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．‎ - 17 -‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an•bn，且数列{cn}的前n项和为Tn，求证：．‎ ‎20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点 ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）‎ ‎（1）当a=时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．‎ 湖南省株洲二中2015届高三上学期期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）‎ ‎ A． D． （﹣1，0]‎ 考点： 交集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．‎ 解答： 解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，‎ 解得：0≤x≤1，即N=，‎ ‎∵M=（﹣1，1），‎ ‎∴M∩N=‎ ‎8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）‎ - 17 -‎ ‎ A． 6，64 B． 8，‎16 ‎C． 16，256 D． 30，512‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 图表型；算法和程序框图．‎ 分析： 模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，依次代入各个选项中的数值即可判断．‎ 解答： 解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，‎ 当x=8时，8＜10，有y=28=256‎ 当x=16时，10＜16＜30，有y=162=256‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序，正确得到序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎9．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）‎ ‎ A． 2 B． ‎2‎ C． 4 D． 4‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．‎ - 17 -‎ 解答： 解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，‎ ‎∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，‎ 则c=‎2a，b=，‎ ‎∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，‎ ‎∴d=，‎ 即，‎ 解得c=2，‎ 则焦距为‎2c=4，‎ 故选：C 点评： 本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎10．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则•的最小值为（）‎ ‎ A． 1+2 B． ﹣1﹣‎2‎ C． 1﹣ D． 1﹣2‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 建立坐标系，利用向量的数量积运算、三角函数的单调性即可得出．‎ 解答： 解：如图所示，‎ A（0，﹣2），C（2，0），设E（cosθ，sinθ），θ∈‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ 解答： 解：复数z==﹣3﹣i，则复数z在复平面内所对应点（﹣3，﹣1）在第三象限．‎ 故答案为：三．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．‎ ‎12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=﹣1．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 首先，讲给定的直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后，根据直线关于圆的对称，得到该直线必过圆的圆心，建立等式，求解即可．‎ 解答： 解：∵直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），‎ ‎∴它的直角坐标方程为：x﹣y﹣a=0，‎ 曲线C的参数方程为，‎ 它的普通方程为：（x+1）2+y2=1，‎ ‎∵曲线C关于直线l对称，‎ 故该直线必过圆心（﹣1，0），‎ 代入，直线的直角坐标方程，得到 ‎﹣1﹣0﹣a=0，‎ ‎∴a=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，圆的参数方程和普通方程互化等知识，圆关于直线的对称问题等知识，属于中档题．‎ ‎13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的最大值为4．‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ 解答： 解：由z=x﹣3y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线y=，‎ 由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，‎ 此时z最大，‎ 由，解得，即A（﹣2，﹣2）．‎ - 17 -‎ 将A（﹣2，﹣2）代入目标函数z=x﹣3y，‎ 得z=﹣2﹣3×（﹣2）=4．‎ ‎∴目标函数z=x﹣3y的最大值是4．‎ 故答案为：4‎ 点评： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．‎ ‎14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 根据题意可得3﹣（﹣）=4，求得p=2，可得抛物线 C：y2=4x．把点A（3，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．‎ 解答： 解：由题意结合抛物线的定义可得A到准线的距离为4，‎ ‎∴3﹣（﹣）=4，求得p=2，∴抛物线 C：y2=4x．‎ 点A（3，m）代入抛物线 C：y2=4x，‎ 结合m＞0，可得m=2．‎ 再根据题意可得圆的半径为4，‎ 故所求的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，‎ 故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．‎ 点评： 本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．‎ ‎（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为0；‎ - 17 -‎ ‎（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是4．‎ 考点： 分段函数的应用． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）若f（x）=2x，则f2（x）=4x，令f2（x0）=x0，可得f（x）的2阶周期点的值；‎ ‎（2）根据f（x）=，分0≤2x≤，即0≤x≤时，当＜2x≤1，即＜x≤时，＜x≤1时，讨论f（x）的2阶周期点的个数，最后综合讨论结果可得答案．‎ 解答： 解：（1）∵f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，‎ 令f2（x）=x，‎ 解得：x=0．‎ ‎（2）当0≤2x≤，即0≤x≤时，‎ f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，‎ 令f2（x）=x，解得x=0，‎ 当＜2x≤1，即＜x≤时，‎ f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=2﹣2（2x）=2﹣4x，‎ 令f2（x）=x，解得x=，‎ 故0≤x≤时，f（x）的2阶周期点有两个，‎ 同理＜x≤1时，f（x）的2阶周期点也有两个，‎ 故f（x）的2阶周期点共有4个．‎ 故答案为：0，4‎ 点评： 本题考查的知识点是分段函数，其中正确理解f（x）的n阶周期点的定义，是解答的关键．‎ 三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理． ‎ 专题： 常规题型；三角函数的图像与性质；解三角形．‎ - 17 -‎ 分析： 第（Ⅰ）问求函数的单调区间，要先把函数化成标准形式，即化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式；第（Ⅱ）问根据f（A）=2求出角A，然后根据△ABC的面积为，结合余弦定理求出a的值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1‎ 令﹣，k∈Z 解得，kπ﹣，k∈Z ‎∴f（x）的递增区间为（k∈Z）‎ ‎（Ⅱ）由f（A）=2sin（‎2A+）+1=2，得A=‎ S△ABC=‎ ‎∴c=4，‎ 由余弦定理得a2=1+42﹣2×1×4×cos ‎∴a=．‎ 点评： 本题考查了求函数的单调区间，关键是化成标准形式；还考查了解三角形，注意根据条件选择适当的面积公式及正余弦定理．‎ ‎17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．‎ 考点： 直线与平面所成的角；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （1）四边形ABCD为菱形，从而AC⊥BD，证明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明PC⊥BD；‎ ‎（2）证明∠EDO就是DE与平面PAC所成的角，即可求得结论．‎ 解答： （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ ‎∵PA∩AC=A，‎ - 17 -‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∴PC⊥BD；‎ ‎（2）解：由底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，知BD=2，‎ ‎∴VP﹣ABCD=•AC•BD•PA=4，可得PA=2，‎ 由（1）知BD⊥平面PAC，‎ ‎∴DE在平面PAC的射影为OE，‎ ‎∴∠EDO就是DE与平面P所AC成的角，‎ ‎∵E是PC的中点，‎ ‎∴OE=PA=，‎ ‎∴在Rt△DOE中，tan∠EDO=，‎ ‎∴∠EDO=30°‎ 即DE与平面PAC所成的角为30°．‎ 点评： 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18．（12分）‎2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：‎ 区间 ‎ 人数 25 a b ‎ ‎（1）求正整数a，b，N的值；‎ ‎（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． ‎ - 17 -‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）根据频率分布直方图，知频数比等于高之比，由此可得a、b、N的值；‎ ‎（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．‎ 解答： 解：（1）由题可知，25=0.02×5×N，显然N=250，‎ a=25，b=0.08×5×250=100．‎ ‎（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，‎ 利用分层抽样在150名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，‎ 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ‎ 设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，‎ 则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），‎ ‎（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），‎ ‎（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能． ‎ 其中2人年龄恰有1人在第3组的有：（A，C1），（A，C2），（A，C3），‎ ‎（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共8种可能，‎ 所以P=．‎ 故恰有1人在第3组的概率为．‎ 点评： 本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义．‎ ‎19．（13分）已知数列{an}中，a1=，且an+1=an，正项数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an•bn，且数列{cn}的前n项和为Tn，求证：．‎ 考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由已知得数列{an}是首项为，公比为的等比数列，{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．‎ ‎（2）由cn=an•bn==（n﹣）×（）n，利用错位相减法能证明．‎ 解答： （1）解：∵数列{an}中，a1=，且an+1=an，‎ - 17 -‎ ‎∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴an=（）n．‎ ‎∵正项数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项，‎ ‎∴4Sn=bn（bn+2）=，①‎ ‎，②，n≥2，‎ ‎①﹣②，得4bn=+2bn﹣2bn﹣1，n≥2‎ ‎∴（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，‎ ‎∵bn＞0，∴bn﹣bn﹣1=2，‎ 又，解得b1=1，‎ ‎∴{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎（2）证明：∵cn=an•bn==（n﹣）×（）n，‎ ‎∴Tn=+…+（n﹣）×，①‎ ‎+，②‎ ‎①﹣②，得：=‎ ‎=﹣（n﹣）×‎ ‎=，‎ ‎∴Tn=﹣，‎ ‎∵0＜≤=，‎ ‎∴．‎ 点评： 本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．‎ - 17 -‎ ‎20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点 ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）根据过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（，2），可得∴+=1，求出a2=9，b2=a2﹣c2=6，从而可得椭圆C的方程；‎ ‎（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．‎ 解答： 解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与 椭圆C在第一象限的交点为M（，2）．‎ ‎∴c=，b2=a2﹣c2=a2﹣3．‎ ‎∵点M（，2在椭圆上，‎ ‎∴+=1，‎ ‎∴‎3a2﹣9+‎4a2=a4﹣‎3a2‎ ‎∴a4﹣‎10a2+9=0，∴（a2﹣9）（a2﹣1）=0，‎ ‎∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．‎ ‎∴b2=a2﹣c2=6．‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（2）当l⊥x轴时，P（1，），Q（1，﹣），又A1（﹣3，0），A2（3，0）‎ A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），‎ 联立解得S（9，4）．‎ 当l过椭圆的上顶点时，y=﹣x，P（0，），Q（ ，﹣）‎ A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），联立解得S（9，4）．‎ 若定直线存在，则方程应是x=9．‎ 下面给予证明．‎ 把x=my+1代入椭圆方程，整理得（‎2m2‎+3）y2+4my﹣16=0，‎ ‎△＞0成立，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．‎ - 17 -‎ A1P：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），‎ 当x=9时，纵坐标y应相等，=，须=，‎ 须2y1（my2﹣2）=y2（my1+4），须my1y2=4（y1+y2）‎ ‎∵y1+y2=，y1y2=．‎ ‎∴m•=4•成立．‎ 综上，定直线方程为x=9．‎ 点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．‎ ‎21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）‎ ‎（1）当a=时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）把a=代入f（x）的解析式并求出定义域，求出函数的导数化简后求出单调区间，从而可求出函数的极值；‎ ‎（2）先由题意求出h（x），将不等式化简后构造函数k（x）=p（x）+x，根据恒成立和函数的单调性定义转化为：k′（x）≥0在 ‎（2）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=ax2﹣lnx﹣bx，‎ ‎∴函数p（x）=x=x（ax2﹣bx）=ax3﹣bx2，‎ - 17 -‎ ‎∵对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，‎ ‎∴p（x1）﹣p（x2）＞﹣x1+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，‎ 则p（x1）+x1＞p（x2）+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，‎ 设k（x）=p（x）+x=ax3﹣bx2+x，则k（x）在[4，+∞）上单调递增，‎ ‎∴k′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立，‎ ‎∴2bx≤ax2+1，则（），‎ 构造函数F（x）=（a＞0），x∈[4，+∞），‎ ‎∴F′（x）=a﹣=，‎ 由F′（x）=0得，x=或﹣（舍去），‎ ‎①当时，即，则在[4，+∞）上有F′（x）＞0，‎ ‎∴函数F（x）在[4，+∞）上单调递增，‎ ‎∴函数F（x）的最小值是F（4）=，则=；‎ ‎②当时，即，‎ 则在[4，）上F′（x）＜0，在（，+∞）上有F′（x）＞0，‎ ‎∴函数F（x）在[4，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ ‎∴函数F（x）的最小值是F（）=2，‎ 则=，‎ 综上可得，当时，b≤；当时，．‎ 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，构造函数法解决不等式问题，以及分类讨论思想、转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ - 17 -‎