株洲三中2015届高三数学上学期期中试题(理科含解析)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)已知集合M={x|(x﹣1)2<4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则M∩N=()
A. {0,1,2} B. {﹣1,0,1,2} C. {﹣1,0,2,3} D. {0,1,2,3}
2.(5分)已知,其中i为虚数单位,则a+b=()
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
3.(5分)下列命题中真命题是()
A. B. ∃x∈(﹣∞,0),2x>1
C. ∀x∈R,x2≥x﹣1 D. ∀x∈(0,π),sinx>cosx
4.(5分)设函数f(x)=,则函数g(x)=f(x)﹣log2x的零点个数为()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.(5分)函数y=的图象大致是()
A. B. C. D.
6.(5分)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 16 -
7.(5分)若函数f(x)=,则f(f(10))=()
A. lg101 B. 2 C. 1 D. 0
8.(5分)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是()
A. (﹣∞,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) D. (﹣1,+∞)
9.(5分)已知函数,则不等式f(2﹣x2)+f(2x+1)>0的解集是()
A. B.
C. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) D. (﹣1,3)
10.(5分)若函数在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上
()
A. 有最大值5 B. 有最小值5 C. 有最大值3 D. 有最大值9
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共25分)(11、12、13任选两小题作答,若三道题都作答,则取前两题计分)
11.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.
12.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于.
13.在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为.
14.(5分)曲线f(x)=x2+alnx在点(1,f(1))处的切线斜率为4,则a=.
15.(5分)函数f(x)=的定义域为.
16.(5分)已知f(x)=,θ∈,则f′(1)取值范围为.
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三、解答题(本大题共6个小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)计算:
(1)2++﹣;
(2)log22•log3•log5.
18.(12分)已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0},
(1)当a=3时,求A∩B,A∪(∁RB);
(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(9),f(27)的值
(2)解不等式f(x)+f(x﹣8)<2.
20.(13分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG.
21.(13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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22.(13分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
湖南省株洲三中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)已知集合M={x|(x﹣1)2<4,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则M∩N=()
A. {0,1,2} B. {﹣1,0,1,2} C. {﹣1,0,2,3} D. {0,1,2,3}
考点: 交集及其运算;一元二次不等式的解法.
专题: 计算题.
分析: 求出集合M中不等式的解集,确定出M,找出M与N的公共元素,即可确定出两集合的交集.
解答: 解:由(x﹣1)2<4,解得:﹣1<x<3,即M={x|﹣1<x<3},
∵N={﹣1,0,1,2,3},
∴M∩N={0,1,2}.
故选A
点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.(5分)已知,其中i为虚数单位,则a+b=()
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
考点: 复数代数形式的混合运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 先化简复数,再利用复数相等,解出a、b,可得结果.
解答: 解:由得a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知a=﹣1,b=2,所以a+b=1
另解:由得﹣ai+2=b+i(a,b∈R),则﹣a=1,b=2,a+b=1.
故选B.
点评: 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题.
3.(5分)下列命题中真命题是()
A. B. ∃x∈(﹣∞,0),2x>1
C. ∀x∈R,x2≥x﹣1 D. ∀x∈(0,π),sinx>cosx
考点: 命题的真假判断与应用.
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专题: 常规题型.
分析: 根据倍角公式及三角函数的值域,我们可以判断A的正误,根据指数函数的性质,我们可以判断B的真假,解一元二次不等式,可以判断C的正误,根据三角函数的性质,我们可判断D的对错,进而得到答案.
解答: 解:∵sinxcosx=sin2x,若sinxcosx=,则sin2x=>1,故A错误;
∵当x∈(﹣∞,0),2x<1恒成立,故B错误;
∵方程x2﹣x+1=0的△=1﹣4=﹣3<0,函数y=x2﹣x+1的图象为开口朝上的抛物线,故x2﹣x+1≥0恒成立,即∀x∈R,x2≥x﹣1,故C正确;
∵当x=∈∈(0,π),sinx=cosx,故∀x∈(0,π),sinx>cosx,故D错误;
故选C
点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中利用函数的性质,逐一分析四个结论的正误是解答本题的关键.
4.(5分)设函数f(x)=,则函数g(x)=f(x)﹣log2x的零点个数为()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 令g(x)=0,得到方程f(x)=log2x,然后分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象,观察交点的个数,即为函数g(x)的零点个数.
解答: 解:g(x)=0得f(x)=log2x,在同一坐标系下分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象,
如图:
由图象可知两个图象共有3个交点,
则函数g(x)=f(x)﹣log2x的零点个数为3个.
故选C.
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点评: 本题考查函数与方程问题,求解此类问题的基本方法是令g(x)=0,将函数分解为两个基本初等函数,然后在同一坐标系下,作出两函数的图象,则两函数图象的交点个数,即为函数零点的个数.
5.(5分)函数y=的图象大致是()
A. B. C. D.
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数的定义域排除C,再利用x=﹣1,排除A,再根据x趋向于正穷时,函数的值趋向于0,故排除D,问题得以解决.
解答: 解:因为函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),故排除C.
当x=﹣1时,y=﹣2,故排除A,
当x趋向于正穷时,函数的值趋向于0,故排除D,
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故选:B
点评: 本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质,选特殊的值时关键,属于基础题.
6.(5分)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.
解答: 解:∵¬p是q的必要而不充分条件,
∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,
其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,
则p是¬q的充分不必要条件.
故选A.
点评: 本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.
7.(5分)若函数f(x)=,则f(f(10))=()
A. lg101 B. 2 C. 1 D. 0
考点: 函数的值.
专题: 计算题.
分析: 通过分段函数,直接求出f(10),然后求出f(f(10)的值.
解答: 解:因为函数f(x)=,
所以f(10)=lg10=1;
f(f(10)=f(1)=2.
故选B.
点评: 本题考查分段函数的值的求法,考查计算能力.
8.(5分)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是()
A. (﹣∞,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) D. (﹣1,+∞)
考点: 其他不等式的解法;函数单调性的性质.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.
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解答: 解:因为2x(x﹣a)<1,所以,
函数y=是增函数,x>0,所以y>﹣1,即a>﹣1,
所以a的取值范围是(﹣1,+∞).
故选:D.
点评: 本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.
9.(5分)已知函数,则不等式f(2﹣x2)+f(2x+1)>0的解集是()
A. B.
C. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) D. (﹣1,3)
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 计算题.
分析: 注意函数在定义域内是奇函数且是单调增函数,将不等式等价转化后,利用单调性来解.
解答: 解:函数在定义域内是奇函数且是单调增函数,不等式即:f(2﹣x2)>f(﹣2x﹣1),
∴2﹣x2>﹣2x﹣1,即:x2﹣2x﹣3<0,
∴﹣1<x<3,
故答案选D.
点评: 本题中,函数表达式只说明函数是奇函数,且是增函数,没有必要根据f(x)的解析式求f(2﹣x2)和f(2x+1)得解析式.
10.(5分)若函数在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上
()
A. 有最大值5 B. 有最小值5 C. 有最大值3 D. 有最大值9
考点: 利用导数研究函数的单调性.
专题: 计算题;导数的综合应用.
分析: 先令g(x)=ax3+blog2(x+),判断其奇偶性,再由函数在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,得到函数g(x)在(﹣∞,0)上有最小值﹣7,从而有g(x)在(0,+∞)上有最大值7,则由f(x)=g(x)+2得到结论.
解答: 解:令g(x)=ax3+blog2(x+),
其定义域为R,
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又g(﹣x)=a(﹣x)3+blog2(﹣x+)
=﹣=﹣g(x)
所以g(x)是奇函数.
由根据题意:在(﹣∞,0)上有最小值﹣5,
所以函数g(x)在(﹣∞,0)上有最小值﹣7,
由函数g(x)在(0,+∞)上有最大值7,
所以f(x)=g(x)+2在(0,+∞)上有最大值9.
故选D.
点评: 本题主要考查函数的构造进而研究性质,若看到x与﹣x这样的信息,一般与函数的奇偶性有关.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共25分)(11、12、13任选两小题作答,若三道题都作答,则取前两题计分)
11.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为5.
考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 直线与圆.
分析: 利用直角△ABC的边角关系即可得出BC,利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°.利用直角△BCD的边角关系即可得出CD,BD.再利用切割线定理可得CD2=DE•DB,即可得出DE.
解答: 解:在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,∴BC=AB•sin60°=.
∵CD是此圆的切线,∴∠BCD=∠A=60°.
在Rt△BCD中,CD=BC•cos60°=,BD=BC•sin60°=15.
由切割线定理可得CD2=DE•DB,∴,解得DE=5.
故答案为5.
点评: 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键.
12.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于.
考点: 简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: 直线ρsinθ=2化为y=2.即可得出.
解答: 解:直线ρsinθ=2化为y=2.
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∴点(2,)到直线ρsinθ=2的距离=.
故答案为:.
点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,属于基础题.
13.在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为.
考点: 绝对值不等式的解法.
专题: 选作题;不等式.
分析: 利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可.
解答: 解:不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集,就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集,也就是0≤|x﹣2|≤2的解集,
0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值,所以不等式的解为:0≤x≤4.
所以不等式的解集为.
故答案为:.
点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,注意不等式的等价转化是解题的关键.
14.(5分)曲线f(x)=x2+alnx在点(1,f(1))处的切线斜率为4,则a=2.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 由求导公式求导函数,由题意得求出f′(1)=4,代入求出a的值.
解答: 解:由题意得f(x)=x2+alnx,则f′(x)=2x+,
因为在点(1,f(1))处的切线斜率为4,
所以f′(1)=4,即2+a=4,解得a=2,
故答案为:2.
点评: 本题考查导数的几何意义,属于基础题.
15.(5分)函数f(x)=的定义域为(0,2].
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由二次根式的被开方数大于或等于0,且对数的真数大于0,可求出x的取值范围.
解答: 解:∵f(x)=,
∴1﹣2log4x≥0,
即log4x≤;
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解得0<x≤2,
∴f(x)的定义域是(0,2].
故答案为:(0,2].
点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,求函数的定义域,应使函数的解析式有意义,从而列出不等式(组),求出自变量的取值范围,通常是基础题.
16.(5分)已知f(x)=,θ∈,则f′(1)取值范围为.
考点: 导数的运算.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 由导数的运算和三角函数公式易得f′(1)=2sin(θ+),由θ的范围和三角函数的知识可得.
解答: 解:∵f(x)=,
∴f′(x)=sinθ•x2+cosθ•x
∴f′(1)=sinθ+cosθ
=2(sinθ+cosθ)=2sin(θ+),
∵θ∈,∴θ+∈,
∴sin(θ+)∈,∴2sin(θ+)∈,
∴f′(1)取值范围为:
故答案为:
点评: 本题考查导数的运算,涉及三角函数的值域,属基础题.
三、解答题(本大题共6个小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)计算:
(1)2++﹣;
(2)log22•log3•log5.
考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)化负指数为正指数,化0指数幂为1,然后直接利用有理指数幂的运算性质化简求值;
(2)直接利用对数的运算性质化简求值.
解答: 解:(1)2++﹣
- 16 -
=
=
=2;
(2)log22•log3•log5
=
=﹣4log32×(﹣2log53)
=8×
=8log52.
点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.
18.(12分)已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0},
(1)当a=3时,求A∩B,A∪(∁RB);
(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.
考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算.
专题: 计算题.
分析: (1)当a=3时,求出集合A,B,然后求出CRB,即可求A∩B,A∪(CRB);
(2)若A∩B=Φ,只需2﹣a>1,并且2+a<4,即可求实数a的取值范围.
解答: 解:(1)当a=3时,A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4},
CRB={x|1<x<4}
所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5},
A∪(CRB)={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1<x<4}={x|﹣1≤x≤5};
(2)A∩B=Φ所以或2﹣a>2+a,解得a<1或a<0,
所以a的取值范围是(﹣∞,1)
点评: 本题考查集合的基本运算,不等式的解集的求法,注意等价变形的应用,常考题型.
19.(12分)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(9),f(27)的值
(2)解不等式f(x)+f(x﹣8)<2.
考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质.
专题: 计算题.
分析: (1)从分利用条件f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,
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(2)利用条件:函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,列出不等式组,解出此不等式组.
解答: 解:(1)f(9)=f(3)+f(3)=2,
f(27)=f(9)+f(3)=3
(2)∵f(x)+f(x﹣8)=f<f(9)
而函数f(x)是定义在(0,+∞)上为增函数,
∴
即原不等式的解集为(8,9)
点评: 本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值.
20.(13分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG.
考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
专题: 空间位置关系与距离;立体几何.
分析: (1)在等边三角形ABC中,由AD=AE,可得,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,故有DE∥BC,再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF.
(2)由条件证得AF⊥CF ①,且.在三棱锥A﹣BCF中,由,可得BC2=BF2+CF2,从而 CF⊥BF②,结合①②,证得CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.再由 ,运算求得结果.
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解答: 解:(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,
∴DE∥BC.
又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且.
∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.
又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴=.
点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.
21.(13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.
专题: 概率与统计.
分析: (I)从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有,然后求出取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的结果数,代入古典概率的求解公式即可求解
(II)先判断随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值
解答: 解:(I)设取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片为事件A,则
P(A)==
所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为
(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4
P(X=1)=
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P(X=2)=
P(X=3)==
P(X=4)==
X的分布列为
EX==
x 1 2 3 4
P
点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.
22.(13分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
专题: 压轴题;导数的综合应用.
分析: (Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;
(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.
解答: 解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,
而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,
从而a=4,b=2,c=2,d=2;
(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1)
设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2kex(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,
则F′(x)=2kex(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(kex﹣1),
由题设得F(0)≥0,即k≥1,
令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,
①若1≤k≤e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,
即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在.
点评: 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.
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