四川省宜宾市高中协同提升责任区2014-2015学年高二数学上学期期中联考试卷 文（含解析）.doc

宜宾市2014-2015高二数学上学期期中试题（文科有解析）‎ 一、选择题．本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）如图的直观图是由哪个平面图形旋转得到的（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）‎ ‎ A． 86，84 B． 84，‎84 ‎C． 84，86 D． 85，86‎ ‎3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）‎ ‎ A． m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B． α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n ‎ C． m⊥α，m⊥n⇒n∥α D． m∥n，n⊥α⇒m⊥α - 21 -‎ ‎5．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ ‎6．（5分）一组数据中每个数据都减去50构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）‎ ‎ A． 3.2 B． ‎4.4 ‎C． 4.8 D． 5.6‎ ‎7．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎5 ‎C． 6 D． 7‎ ‎8．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）‎ ‎ A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④‎ ‎9．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行②CN与BE是异面直线 ‎③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线 以上四个命题中，正确的命题序号是（）‎ - 21 -‎ ‎ A． ①②③ B． ②④ C． ③④ D． ②③④‎ ‎10．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）‎ ‎ A． B． 8π C． D． ‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，2）关于坐标原点的对称点的坐标为．‎ ‎12．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．‎ ‎13．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的体积为V，则三棱锥C1﹣ABC的体积是．‎ ‎14．（5分）如图中样本数据平均数的估计值是．‎ - 21 -‎ ‎15．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；‎ ‎②若PC=5，PC丄平面ABC，则△PCM面积的最小值为；‎ ‎③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为π；‎ ‎④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P﹣ABC的体积为2；‎ ‎⑤若PA=5，PA⊥平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为．‎ 其中正确命题的序号是． （把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．‎ ‎16．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E为DD1的中点 ‎（Ⅰ）求证：直线BD1⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．‎ ‎17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点 ‎（ I）求证：BD⊥平面EFC；‎ ‎（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积VC﹣ABD．‎ ‎18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））‎ - 21 -‎ ‎（Ⅰ）求居民收入在[1500，2500）的频率；‎ ‎（Ⅱ）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B‎1C1，正视图是边长为2正方形．‎ ‎（Ⅰ）求侧视图的面积；‎ ‎（Ⅱ）求直线AC1与平面BB‎1C1C所成角的正弦值．‎ ‎20．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA1⊥面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ） 过点E作一个平面α，使得α∥平面A1CD，求α与直棱柱ABC﹣A1B‎1C1的截面面积．‎ ‎21．（14分）如图，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起到点P′，使得P′A⊥AB，得到四棱锥P′﹣ABCD，点M在棱P′B上．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面P′AD⊥平面P′CD；‎ - 21 -‎ ‎（Ⅱ）平面AMC把四棱锥P′﹣ABCD分成两个几何体，当P′D∥平面AMC时，求这两个几何体的体积之比的值．‎ 四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题．本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）如图的直观图是由哪个平面图形旋转得到的（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由已知中的旋转体，画出旋转体的轴截面，进而可得旋转的基本图形的形状．‎ 解答： 解：由已知中的旋转体为：‎ 故旋转体的轴截面为：‎ - 21 -‎ 故旋转的基本图形为：‎ 故选：A 点评： 本题考查的知识点是旋转体，考查学生的空间想像能力，难度不大，属于基础题．‎ ‎2．（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）‎ ‎ A． 86，84 B． 84，‎84 ‎C． 84，86 D． 85，86‎ 考点： 茎叶图． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出中位数与众数即可．‎ 解答： 解：根据茎叶图，得；‎ 七位评委为某考生打出的分数从小到大依次是 ‎77，84，84，84，86，87，93；‎ ‎∴该组数据的中位数是84，众数是84．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题．‎ ‎3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）‎ - 21 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 异面直线及其所成的角． ‎ 专题： 空间角．‎ 分析： 建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角．‎ 解答： 解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），‎ 所以=（0，1，1），=（1，0，1），‎ 并且BC1=，CD1=，‎ 所以=，‎ 所以异面直线BC1和CD1所成角；‎ 故选B．‎ 点评： 本题借助于向量的数量积求异面直线所成的角，正确建立空间直角坐标系，明确对应向量的坐标是关键．‎ 另外：本题可以连接AD1，AC，得到△ACD1是等边三角形，而角AD‎1C是异面直线BC1和CD1所成角，从而得到答案．‎ ‎4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）‎ ‎ A． m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B． α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n ‎ C． m⊥α，m⊥n⇒n∥α D． m∥n，n⊥α⇒m⊥α 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 探究型；数形结合；分类讨论．‎ 分析： 根据m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，可得该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易寻到答案．‎ 解答： 解：在长方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，‎ A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，‎ 直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，‎ 显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；‎ B、若平面AC是平面α，平面A‎1C1是平面β，‎ 直线AD是直线m，A1B1是直线n，‎ 显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；‎ C、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，‎ 显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；‎ 故选D．‎ - 21 -‎ 点评： 此题是个基础题．考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想．‎ ‎5．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ 考点： 直线与平面垂直的性质． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．‎ 解答： 解：AB是圆O的直径，则AC⊥BC，‎ 由于PA⊥平面ABC，‎ 则PA⊥BC，‎ 即有BC⊥平面PAC，‎ 则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；‎ 由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；‎ 再由AC⊥BC，得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形．‎ 综上可知：此三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形．‎ 故选D．‎ 点评： 熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键．‎ ‎6．（5分）一组数据中每个数据都减去50构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）‎ ‎ A． 3.2 B． ‎4.4 ‎C． 4.8 D． 5.6‎ 考点： 极差、方差与标准差． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 设出原来一组数据，根据求平均数的方法写出新数据的平均数，整理得到原来数据的平均数，根据一组数据都减去同一个数，不改变这组数据的波动大小，故方差不变．‎ 解答： 解：设样本x1，x2，…，xn的平均数是，其方差是4.4，‎ - 21 -‎ 有S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2=4.4，‎ 则样本x1+50，x2+50，…，xn+50的平均数+50，故其方差是S2=4.4．‎ ‎∴前后两组数据波动情况一样，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前加上或者乘以同一个数，平均数也加上或者乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．‎ ‎7．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎5 ‎C． 6 D． 7‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解答： 解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；‎ 当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；‎ 当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；‎ 当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；‎ 当S=2049时，不满足继续循环的条件，‎ 故输出的k值为4，‎ 故选：A 点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎8．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）‎ ‎ A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④‎ - 21 -‎ 考点： 直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： ①如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，利用正方形的性质可得AB∥NQ，利用线面平行判定定理可得AB∥平面MNPQ．‎ ‎②由正方体可得：前后两个侧面平行，利用面面平行的性质可得AB∥MNP．‎ 解答： 解：①如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，‎ 且AB∥NQ，而NQ⊂平面MNPQ，AB⊄平面MNPQ，∴AB∥平面MNPQ，因此正确．‎ ‎②由正方体可得：前后两个侧面平行，因此AB∥MNP，因此正确．‎ 故选A．‎ 点评： 熟练掌握正方体的性质及线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键．‎ ‎9．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行②CN与BE是异面直线 ‎③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线 以上四个命题中，正确的命题序号是（）‎ ‎ A． ①②③ B． ②④ C． ③④ D． ②③④‎ 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据恢复的正方体可以判断出答案．‎ 解答： 解：根据展开图，画出立体图形，‎ - 21 -‎ BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，‎ 故③④正确．‎ 故选：C 点评： 本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题．‎ ‎10．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）‎ ‎ A． B． 8π C． D． ‎ 考点： 球的体积和表面积． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ 解答： 解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．‎ 小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，‎ 所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，‎ ‎∴DQ=4，‎ 设球心为O，半径为R，‎ 则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=‎ 则这个球的表面积为：S=4π（）2=‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，2）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣1，﹣2）．‎ - 21 -‎ 考点： 空间中的点的坐标． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 直接利用中点坐标公式，求出点A（1，1，2）关于原点的对称点的坐标即可．‎ 解答： 解：由中点坐标公式可知，点A（1，1，2）关于原点的对称点的坐标是（﹣1，﹣1，﹣2）．‎ 故答案为：（﹣1，﹣1，﹣2）．‎ 点评： 本题考查对称知识的应用，考查中点坐标公式的应用，考查计算能力．‎ ‎12．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30．‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，计算出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案．‎ 解答： 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，‎ 底面面积S=×4×3=6，‎ 棱柱的高h=5，‎ 故几何体的体积V=Sh=6×5=30，‎ 故答案为：30‎ 点评： 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．‎ ‎13．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的体积为V，则三棱锥C1﹣ABC的体积是V．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ - 21 -‎ 分析： 三棱锥C1﹣ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高相同，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论．‎ 解答： 解：三棱锥C1﹣ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的高相同，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的体积为V，‎ ‎∴三棱锥C1﹣ABC的体积是V，‎ 故答案为：V．‎ 点评： 本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎14．（5分）如图中样本数据平均数的估计值是34．‎ 考点： 频率分布直方图． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 根据频率分布直方图中的数据，结合平均数的概念进行解答即可．‎ 解答： 解：根据频率分布直方图，得；‎ 样本数据的平均值为 ‎=×0.02×10+×0.03×10+×0.04×10+×0.01×10‎ ‎=4+9+16+5=34．‎ 故答案为：34．‎ 点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了根据频率分布直方图求平均数的问题，是基础题．‎ ‎15．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；‎ ‎②若PC=5，PC丄平面ABC，则△PCM面积的最小值为；‎ ‎③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为π；‎ ‎④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P﹣ABC的体积为2；‎ ‎⑤若PA=5，PA⊥平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为．‎ 其中正确命题的序号是①，④． （把你认为正确命题的序号都填上）‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ - 21 -‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径，运用的思想方法比较灵活，数学几何知识多．‎ 解答： 解：∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，‎ ‎∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，‎ ‎∴MA=MB=MC ‎∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，‎ ‎∴PA=PB=PC，‎ ‎∴①正确，‎ ‎∵当PC⊥面ABC，‎ ‎∴△PCM面积=×PC×CM=×5×CM 又因为CM作为垂线段最短=，‎ ‎△PCM面积的最小值为=6，‎ ‎∴②不正确．‎ ‎∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，‎ ‎∴2R=5，R=，‎ ‎∴体积为 故③不正确．‎ ‎∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，‎ ‎∵P2=PO2+OC2，‎ r==1，‎ OC=，PO2=25﹣2=23‎ PO=，‎ ‎××3×4×=2，‎ 故④正确 ‎∵若PA=5，PA⊥平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角时，M点在A处，‎ ‎∴Rt△PCA中，tan∠APC=，‎ 直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为，‎ 故⑤不正确．‎ 故答案为：①④‎ 点评： 本题考查了空间直线，几何体的性质，位置关系，求解面积，夹角问题，属于难题．‎ - 21 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．‎ ‎16．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E为DD1的中点 ‎（Ⅰ）求证：直线BD1⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．‎ 考点： 异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD1，即可证明AC⊥平面BDD1，从而证明AC⊥BD1；‎ ‎（Ⅱ）在平面ABB‎1A1作BF∥CE，得到∠FBD1为异面直线BD1与CE所成角，借助于余弦定理求其余弦值．‎ 解答： （I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥DD1，‎ ‎∴AC⊥平面BDD1，‎ ‎∵BD1⊂平面BDD1，‎ ‎∴直线BD1⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）解：在平面ABB‎1A1作BF∥CE，‎ 则∠FBD1为异面直线BD1与CE所成角，‎ 连接FD1，如图，‎ 设正方体棱长为2，则BF2=5，FD12=5，BD12=12，‎ ‎∴cos∠FBD1=，‎ ‎∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值；‎ 点评： 本题考查了正方体中的线线关系；关键是熟练正方体的性质以及线面垂直的判定定理．‎ - 21 -‎ ‎17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点 ‎（ I）求证：BD⊥平面EFC；‎ ‎（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积VC﹣ABD．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）△ABD中，根据中位线定理，得EF∥AD，结合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC；‎ ‎（Ⅱ）确定CF⊥平面ABD，S△ABD=，利用体积公式，即可得出结论．‎ 解答： （Ⅰ）证明：∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，‎ ‎∴EF∥AD．‎ ‎∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．‎ ‎∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．‎ ‎∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC；‎ ‎（Ⅱ）解：∵CB=CD，F是BD的中点，‎ ‎∴CF⊥BD，‎ ‎∵EF⊥CF，EF∩BD=F，‎ ‎∴CF⊥平面ABD，‎ ‎∵CB=CD=BD=1，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∵AD=BD=1，AD⊥BD，‎ ‎∴S△ABD=，‎ ‎∴VC﹣ABD==．‎ 点评： 本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥C﹣ABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））‎ - 21 -‎ ‎（Ⅰ）求居民收入在[1500，2500）的频率；‎ ‎（Ⅱ）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？‎ 考点： 频率分布直方图． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）根据频率=小矩形的高×组距来求；‎ ‎（Ⅱ）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．‎ 解答： 解：（Ⅰ）月收入在[1500，2500）的频率为0.0009×500=0.45；‎ ‎（Ⅱ）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），‎ ‎∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，‎ ‎∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．‎ 点评： 题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B‎1C1，正视图是边长为2正方形．‎ ‎（Ⅰ）求侧视图的面积；‎ ‎（Ⅱ）求直线AC1与平面BB‎1C1C所成角的正弦值．‎ 考点： 直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；‎ ‎（Ⅱ）取BC的中点O，连接AO，OC1，则∠AC1O为直线AC1与平面BB‎1C1C所成角．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，‎ 作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，‎ - 21 -‎ ‎∴等边三角形的高为，‎ 由题意知左视图是一个高为2，宽为的矩形，‎ ‎∴左视图的面积为2；‎ ‎（Ⅱ）取BC的中点O，连接AO，OC1，则∠AC1O为直线AC1与平面BB‎1C1C所成角．‎ ‎∵AO=，AC1=2，‎ ‎∴sin∠AC1O===．‎ 点评： 本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．‎ ‎20．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA1⊥面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ） 过点E作一个平面α，使得α∥平面A1CD，求α与直棱柱ABC﹣A1B‎1C1的截面面积．‎ 考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）连接AC1，交A‎1C于点F，利用三角形的中位线证明BC1∥DF，即可证明BC1∥平面A1CD；‎ ‎（2）先把平面α做出来，再求其面积即可．‎ 解答： （1）证明：连接AC1，交A‎1C于点F，‎ 则F为AC1中点，‎ 又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF．‎ - 21 -‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面AC1D，‎ 所以BC1∥平面A1CD．…（6分）‎ ‎（2）分别去BD、BC的中点为M、N，‎ 连接MN，EM，EN，‎ 则MN∥DC，EN∥A1D，‎ ‎∴平面MNE∥平面A1CD，及α为平面MNE，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA1⊥面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4，‎ 可得：MN=EN=，ME=，‎ 可求得：S△MNE=．‎ 故α与直棱柱ABC﹣A1B‎1C1的截面面积为．‎ 点评： 本题主要考查线面平行的判定和性质以及截面的性质和面积的求法．‎ ‎21．（14分）如图，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起到点P′，使得P′A⊥AB，得到四棱锥P′﹣ABCD，点M在棱P′B上．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面P′AD⊥平面P′CD；‎ ‎（Ⅱ）平面AMC把四棱锥P′﹣ABCD分成两个几何体，当P′D∥平面AMC时，求这两个几何体的体积之比的值．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． ‎ 专题： 证明题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）由图1中DA⊥P′B，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥P′A，进而DC⊥P′A，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面P′AD，再由面面垂直的判定定理得到平面P′AD⊥平面P′CD；‎ ‎（2）根据几何图形可知=，求出四棱锥P′﹣ABCD的高为h，底面积为×（1+2）×1=，三棱锥M﹣ABC的高为h0，底面积为=1，=，利用分割法求解体积，得出比值，‎ 解答： 证明：（1）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，‎ 所以在四棱锥P′﹣ABCD中，DA⊥AB，DA⊥P′A 又P′A⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥P′A，DC⊥DA，‎ - 21 -‎ 而DA⊂平面P′AD，P′A⊂平面P′AD，P′A∩DA=A，‎ 所以DC⊥平面P′AD 因为DC⊂平面P′CD，‎ 所以平面P′AD⊥平面P′CD，‎ 解：（2）∵在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，‎ ‎∴AD=1，BD=，BD与AC的交点为O，‎ 可得OD=，OB=，‎ ‎∵当P′D∥平面AMC时，‎ ‎∴P′D∥‎0M，‎ ‎∴=，‎ ‎∵根据体积公式：sh，‎ ‎∴三棱锥M﹣ABC与四棱锥P′﹣ABCD的体积之比为，‎ 这两个几何体的体积之比==‎ 点评： 本题考察了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，线段的长，分割法求解几何体的体积，属于难题．‎ - 21 -‎