2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数的图象大致是（ ）
4．已知向量满足，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则=（ ）
A． B． C． D．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，
则在空白框中应填入（ ）
A．
B．
C．
D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若满足约束条件，则的最大值为_________．
15．已知，，则__________．
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必答题：60分。
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量的值依次为）建立模型①：：根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点。
．
（1）求的方程；
（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
21．（12）
已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
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