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中考专题训练：反比例函数
一．选择题（共15小题）
1．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
2．已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．6 D．4
3．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC=AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
4．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
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A． B． C．3 D．4
5．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：
①S△ADB=S△ADC；
②当0＜x＜3时，y1＜y2；
③如图，当x=3时，EF=；
④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n=﹣2m B．n=﹣ C．n=﹣4m D．n=﹣
8．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
9．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC=8，则k等于（ ）
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A．8 B．16 C．24 D．28
10．在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
12．如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OB•AC=160，则k的值为（ ）
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A．40 B．48 C．64 D．80
13．直线y=﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF，下列结论：①AD=BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△AOD=S△BOC．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
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A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
16．如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为 ．
17．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
18．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 ．
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19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为 ．
20．两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|= ．
三．解答题（共5小题）[来源:学§科§网Z§X§X§K]
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21．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积．
22．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式的解．
23．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
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24．已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）
25．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
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（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
一．选择题（共15小题）[来源:学科网ZXXK]
1．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
，得x2﹣7x+k=0
根据△≥0，得k≤
综上可知2≤k≤．
故选：A．
2．已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．6 D．4
【解答】解：∵点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y轴对称，
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∴B（﹣m，n），
∵点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，
∴n=﹣，﹣m﹣4=n，即mn=﹣2，m+n=﹣4，
∴原式===﹣10．
故选：A．
3．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC=AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
【解答】解：设M的坐标为（0，m）（m＞0），则直线AB的方程为：y=m，
将y=m代入y=﹣中得：x=﹣，∴A（﹣，m），
将y=m代入y=中得：x=，∴B（，m），
∴DC=AB=﹣（﹣）=，
过B作BN⊥x轴，则有BN=m，
则平行四边形ABCD的面积S=DC•BN=•m=14．
故选：C．
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4．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．
设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得k=，
故选：B．
5．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴===tan60°=，则=3，
∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴|xy|=AD•DO=×6=3，
∴k=EC×EO=1，
则EC×EO=2．
故选：B．
6．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=
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（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：
①S△ADB=S△ADC；
②当0＜x＜3时，y1＜y2；
③如图，当x=3时，EF=；
④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于直线y1=2x﹣2，
令x=0，得到y=﹣2；令y=0，得到x=1，
∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，
在△OBA和△CDA中，
，
∴△OBA≌△CDA（AAS），
∴CD=OB=2，OA=AD=1，
∴S△ADB=S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C（2，2），
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2=，
由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误；
当x=3时，y1=4，y2=，即EF=4﹣=，选项③正确；
当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确，
故选：C．
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7．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n=﹣2m B．n=﹣ C．n=﹣4m D．n=﹣
【解答】解：由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，
∵点C的坐标为（m，n），
∴点A的坐标为（， n），
∴点B的坐标为（﹣，﹣n），
根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，
∴﹣=m，即n=﹣．
故选：B．
8．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2．
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则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n．
则△ABC的面积=mn=1．
故选：A．
9．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC=8，则k等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．28
【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，
又∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴=，即BC×OE=BO×AB．
又∵S△BEC=8，即BC×OE=2×8=16=BO×AB=|k|．
又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．
所以k等于16．
故选：B．
10．在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（ ）
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A． B． C． D．
【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知﹣k＞0，k＜0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，且k＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知﹣k＜0，k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴且过一、二、三象限可知k＞0，两结论一致，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象在一、三象限可知﹣k＞0，k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论矛盾，故本选项错误．
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知﹣k＜0，k＞0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0且k＞，两结论相矛盾，故本选项错误；
故选：B．
11．如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解答】解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，
∴2（2a+2b）=4（a+b）为定值，
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∴a+b为定值．
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k=AB•AD=ab，
又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
故选：C．
12．如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OB•AC=160，则k的值为（ ）
A．40 B．48 C．64 D．80
【解答】解：∵四边形OABC是菱形，OB与AC为两条对角线，且OB•AC=160，
∴菱形OABC的面积为80，即OA•CD=80，
∵OA=OC=10，
∴CD=8，
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，
根据勾股定理得：OD=6，即C（6，8），
则k的值为48．
故选：B．
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13．直线y=﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF，下列结论：①AD=BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△AOD=S△BOC．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如右图所示，
①∵y=﹣2x+5与相交，
∴，
解得或，
∴A点坐标是（1，3），B点坐标是（，2），
∵直线y=﹣2x+5与x轴和y轴的交点分别是（，0）、（0，5），
∴C点坐标是（，0），D点坐标是（0，5），
∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴AE=1，DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，AD==，
同理可求BC=，
故AD=BC，
故①选项正确；
②∵OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，
∴EF∥AB，
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故②选项正确；
③∵AE=CF=1，且AE∥CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故③选项正确；
④∵S△AOD=•OD•AE=×5×1=2.5，
S△BOC=•OC•BF=××2=2.5，
∴S△AOD=S△BOC，
故④选项正确．
故选：D．
14．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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【解答】解：∵点M、N都在y=的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x﹣x=（﹣1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
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∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），
∴OC=+1，
∴C点坐标为（0， +1），所以④正确．
故选：C．
[来源:学科网]
15．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
∵点A坐标为（﹣1，1），
∴k=﹣1×1=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
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∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（﹣，t），
∵PB=PB′，
∴t﹣1=|﹣|=，
整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
16．如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为 ﹣2 ．
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【解答】解：∵的图象经过点C，∴C（0，2），
将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，
∴y=﹣x+2，令y=0得x=2，∴A（2，0），
∴S△AOC=×OA×OC=2，
∵四边形DCAE的面积为4，
∴S矩形OCDE=4﹣2=2，
∴k=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
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∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，[来源:学+科+网]
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．
故答案为：
18．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 9 ．
【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3，2），
把（﹣3，2）代入双曲线，
可得k=﹣6，
即双曲线解析式为y=﹣，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，
y=1，
即点C坐标为（﹣6，1），
∴AC=3，[来源:Zxxk.Com]
又∵OB=6，
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∴S△AOC=×AC×OB=9．
故答案为：9．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为 3 ．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴k=xa，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴E（0，﹣x），
∴S△ABE=AB•OE=ax=1.5，
∴ax=3，即k=3．
故答案为：3．
20．两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2
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，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|= ．
【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），
又∵P2007在y=上，
∴Px2007=．
而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，
∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
21．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积．
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【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，m=xy=1×4=n×（﹣2），解得m=4，n=﹣2，
将A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y=kx+b中，得，解得，
∴反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=2x+2；
（2）由直线y=2x+2，得C（0，2），
∴S△AOC=×2×2=2．
22．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式的解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），
∴
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∴，
∴一次函数关系式为：y=x+6，
∴B（﹣4，2），
∴反比例函数关系式为：；
（2）∵点A与点B是反比例函数与一次函数的交点，
∴可得：x+6=﹣，
解得：x=﹣2或x=﹣4，
∴A（﹣2，4），
∴S△AOB=6×6÷2﹣6×2=6；
（3）观察图象，易知的解集为：﹣4＜x＜﹣2．
23．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），
∵一次函数过A、B两点，
∴，
解得，
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∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），
∵S△AOC=×OC×|Ax|，S△BOC=×OC×|Bx|
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=•OC•|Ax|+•OC•|Bx|==6；
（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
24．已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）
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【解答】解：（1）当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2，
联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=•2•（x2﹣x1）=2；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（+）2
=（x1﹣x2）2+（）2
=（x1﹣x2）2[1+（）2]
=，
∴AB=﹣=，即=，
整理得，2k2+5k+2=0，即（2k+1）（k+2）=0，解得k=﹣2或k=﹣．
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（3）F（，），如图：
设P（x，），则M（﹣+，），
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，
由（1）知P（﹣1， +1），
∴当P（﹣1， +1）时，PM+PN最小值是2．
25．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△
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MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=，
∴∠MON=60°，
∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），
∴∠MNO=90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO=∠MNO=90°，
在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，
∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP•sin60°=×=，
∴P（，）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），
∴OM==2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO=PN，OQ=ON=1，
∵P的横坐标为1，
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∴y=×1=，
∴P（1，）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN==2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴，即，
解得：PN=，
即P的纵坐标为，代入y=得： =x，
解得：x=2，
∴P（2，）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2，0）；理由如下：
∵M（，3），N（2，0），
∴OM=2=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
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