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周周测12 圆锥曲线的综合测试
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8,则m等于( )
A.4 B.8
C.16 D.18
答案:C
解析:椭圆的焦点在y轴上,则m=a2.由长轴长2a=8得a=4,所以m=16,故选C.
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率为,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.x2-=1
C.-=1 D.x2-=1
答案:A
解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,所以a=2,由离心率为,可得=,c=2,所以b===4,则双曲线的方程为-=1.
3.(2018·西安二模)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1||PF2|=43,则△PF1F2的面积为( )
A.4 B.6
C.2 D.4
答案:B
解析:由题意知,|PF1|+|PF2|=7且|PF1||PF2|=43,得|PF1|=4,|PF2|=3,又|F1F2|=2× =5,显然,|PF1|2+|PF2|2=|
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F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,故△PF1F2的面积为×3×4=6.
4.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l,切点为T,且l交双曲线的右支于点P,若点M是线段FP的中点,O为坐标原点,则|OM|-|TM|=( )
A. B.b-a
C. D.a+
答案:B
解析:如图,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,由三角形中位线的性质及双曲线的定义可知|OM|-|TM|=|PF1|-=|TF|-(|PF|-|PF1|)=-a=b-a.
5.(2018·广东汕头黄图盛中学第三次质检)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )
A. B.
C.- D.-
答案:D
解析:∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,∴点F的坐标为(1,0).又∵直线y=2x-4与C交于A,B两点,∴A,B两点坐标分别为(1,-2),(4,4),则=(0,-2),=(3,4),∴cos∠AFB===-.故选D.
6.(2018·湖南长沙望城一中第三次调研)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )
A.y2=±4x B.y2=4x
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C.y2=±8x D.y2=8x
答案:C
解析:∵抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐标为,∴直线l的方程为y=2.∵直线l与y轴的交点为A,∴△OAF的面积为·=4,解得a=±8.∴抛物线的方程为y2=±8x,故选C.
7.(2017·新课标全国卷Ⅲ,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴=a,即2b=,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴=,∴e==.
8.已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF2的距离为,其中点P(-1,-4),则椭圆的标准方程为( )
A.x2+=1 B.+y2=1
C.x2+=1 D.+y2=1
答案:D
解析:设F2的坐标为(c,0)(c>0),则kPF2=,故直线PF2的方程为y=(x-c),即x-y-=0,点(-1,0)到直线PF2的距离d
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===,即2=4,
解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.①
又点在椭圆E上,所以+=1,②
由①②可得所以椭圆的标准方程为+y2=1.故选D.
9.(2018·龙岩二模)已知c是双曲线-=1(a>0,b>0)的半焦距,则的取值范围是( )
A. B.(-2,-1)
C. D.(-1,0)
答案:D
解析:由==-e=-,由于e>1,且函数y=-在(1,+∞)上是增函数,那么的取值范围是(-1,0).
10.(2018·辽宁师大附中期中)如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为( )
A.2+ B.2+
C. D.
答案:C
解析:将y=x代入-=1,可得x=±
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.由矩形的对角线长相等,得·=c,∴2a2b2=(b2-a2)c2,∴2a2(c2-a2)=(c2-2a2)c2,∴2(e2-1)=e4-2e2,∴e4-4e2+2=0,又∵e>1,∴e2=2+,∴e=.故选C.
11.(2018·河南南阳期中)已知直线l的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点.若=2,则|k|=( )
A.2 B.
C. D.
答案:A
解析:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2).联立得k2x2+(2km-4)x+m2=0.由Δ=(2km-4)2-4k2m2=16-16km>0,得km<1.x1+x2=,x1x2=.由y2=4x得其焦点为F(1,0).由=2,得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),所以由①得x1+2x2=3,③ 由②得x1+2x2=-.所以m=-k.再由=2,得||=2||,所以x1+1=2(x2+1),即x1-2x2=1.④
由③④得x1=2,x2=,所以x1+x2==.
把m=-k代入得=,解得|k|=2,满足mk=-8<1.所以|k|=2.故选A.
12.(2018·南昌一模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=|AB|,则∠AFB的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:因为x1+x2+4=|AB|,|AF|+|BF|=x1+x2+4,所以|AF
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|+|BF|=|AB|.在△AFB中,由余弦定理得cos∠AFB===-1=-1.又|AF|+|BF|=|AB|≥2,当且仅当|AF|=|BF|时等号成立,所以|AF||BF|≤|AB|2,所以cos∠AFB≥-1=-,所以∠AFB≤,即∠AFB的最大值为.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
13.当双曲线C:-=1(-2<m<0)的焦距取得最小值时,双曲线C的渐近线方程为________.
答案:y=±x
解析:由题意可得c2=m2+2m+4=(m+1)2+3,所以当m=-1时,焦距2c取得最小值,此时双曲线C:x2-=1,其渐近线方程为y=±x.
14.(2018·江苏暨阳中学月考)已知椭圆+=1(a>b>0),A为左顶点,B为上顶点,F为右焦点且AB⊥BF,则这个椭圆的离心率等于________.
答案:
解析:由题意得A(-a,0),B(0,b),F(c,0),∵AB⊥BF,∴·=0,∴(a,b)·(c,-b)=ac-b2=ac-a2+c2=0,∴e-1+e2=0,解得e=.
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15.(2018·揭阳一模)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为________.
答案:±4
解析:由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).由定义知P到准线的距离为4,故+2=4,得p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y,代入点P的坐标得m=±4.
16.(2018·广西陆川中学综合检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上,设直线AB的斜率为k,若0<k≤,则e的取值范围为________.
答案:-1≤e<1
解析:设A(m,n),则B(-m,-n),M,N,所以=,=.故由题设可得·=0,即m2+n2=1,将其与+=1联立可得b2m2+(1-m2)a2=a2b2,故m2=a2-a2b2=1-b4,n2=b4.由题设0<k≤可得n2≤3m2,即b4≤3(1-b4),则b2≤,则a2≤1+.故e2=≥,即e2≥4-2,所以e≥-1,所以-1≤e<1.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(2018·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=2,它的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程.
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(2)是否存在正实数t,使直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵F1,F2为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=2,∴a=.
∵2c=2,∴c=1,∴b==1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立化简得3x2+4tx+2t2-2=0.①
由①知x1+x2=-,∴y1+y2=x1+x2+2t=.
∵线段AB的中点在圆x2+y2=上,
∴2+2=,解得t=(负值舍去),
故存在t=满足题意.
18.(本小题满分12分)
(2018·湖北枣阳七中一模)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.
(1)求C的方程;
(2)若点B(1,-2)在C上,过点B作C的两弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
解析:(1)解:由题得C的方程为y2=4x或x2=y.
(2)证明:∵点B(1,-2)在C上,∴曲线C的方程为y2=4x.
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ:x=my+b,显然m存在,与方程y2=4x联立,消去x得
y2-4my-4b=0,Δ=16(m2+b)>0.∴y1+y2=4m,y1·y2=-4b.
∵kBP·kBQ=-2,∴·=-2,∴·=-2,即y1y2-2(y1+y2)+12=0.∴-4b-8m+12=0,即b=3-2m.
直线PQ:x=my+b=my+3-2m,即x-3=m(y-2).
∴直线PQ过定点(3,2).
19.(本小题满分12分)
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(2018·吉林普通中学第二次调研)如图,已知椭圆E:+=1(0<b<2),点P(0,1)在短轴CD上,且·=-2.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b),又点P的坐标为(0,1),且·=-2,即1-b2=-2,解得b2=3.
所以椭圆E的方程为+=1.因为c=1,a=2,
所以离心率e=.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(4k2+3)x2+8kx-8=0.
其判别式Δ>0,所以x1+x2=,x1x2=.
从而·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]
=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
==-2λ-3.
所以当λ=2时,-2λ-3=-7,
即·+λ·=-7为定值.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB即为直线CD,此时·+λ·=·+2·=-3-4=-7.
故存在常数λ=2,使得·+λ·为定值-7.
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20.(本小题满分12分)
(2018·福建泉州检测)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上.若|AO|=|AF|=.
(1)求C的方程;
(2)设直线l与C交于点P,Q,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求△OPQ的面积的最大值.
解析:(1)抛物线C的焦点F的坐标为.
因为|AO|=|AF|=,
所以可求得A点坐标为.
将A点坐标代入x2=2py得(36-p2)=2p·,
解得p=2,或p=-2(舍去).
故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)依题意,可知l与x轴不垂直,故可设l的方程为y=kx+b,b>0.
并设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x0,1).
联立方程组消去y,得x2-4kx-4b=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4b.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b=2,即2k2=1-b,则1-b≥0,即b≤1.
SΔOPQ=b·|x1-x2|=b·
=b·=b=(0<b≤1).
令y=2b3+2b2,则y′=6b2+4b>0,
∴函数在(0,1]上单调递增,
∴当b=1时,SΔOPQ取得最大值2.
21.(本小题满分12分)
(2018·贵州贵阳一中第二次适应性考试)
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如图,已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率为,以椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8,直线l:y=kx+m与y轴交于点M,与椭圆E交于不同两点A,B.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若=-3,求m2的取值范围.
解析:(1)由于椭圆E的焦点在y轴上,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为4a,得4a=8,即a=2.
∵离心率e==,∴c=.
∴b2=a2-c2=1.
∴椭圆E的标准方程为+x2=1.
(2)根据已知得M(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0,
则Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0.
由根与系数的关系可知,x1+x2=-,x1x2=.
由=-3,得-x1=3x2,即x1=-3x2.
由3(x1+x2)2+4x1x2=0得+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.
当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,
∴m2≠1,
∴k2=.
∵k2-m2+4>0,
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∴-m2+4>0,即>0.
∴1<m2<4,
∴m2的取值范围为(1,4).
22.(本小题满分12分)
(2018·吉林长春实验中学第五次模拟)已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为(2,0),离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A(0,1),设M,N是椭圆上异于点A的任意两点,且AM⊥AN,线段MN的中垂线l与x轴的交点为(m,0),求m的取值范围.
解析:(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),可得a=2,e==,解得c=,b==1,故椭圆的方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点的横坐标为.
设直线MN:y=kx+t,将其代入椭圆方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)·x2+8ktx+4t2-4=0,
则Δ=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)>0,即1+4k2>t2.
则x1+x2=-,x1x2=,
故线段MN的中点坐标为.
则中垂线l的方程为y-=-,令y=0,可得x=m=-.
由AM⊥AN,可得·=-1,即(1+k2)x1x2+(t-1)2+k(t-1)(x1+x2)=0,化为(1+k2)(4t2-4)+(t-1)2(1+4k2)+k(t-1)(-8kt
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)=0,解得t=1或-.
当t=1时直线MN过A点,不合题意,故舍去.
当t=-时,m=.
当k>0时,m==≤;
当k<0时,m=-≥-;
当k=0时,线段MN的中垂线为y轴,此时m=0.
综上,m的取值范围是.
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