2018 年秦淮区二模
数 学 2018.06.05
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1．计算 6282410 的结果是 （ ）
A． 5 B． 1 C． 1 D． 5
2．计算 36 2 42 2 2 的结果是 （ ）
A． 32 B． 72 C． 82 D． 92
3．已知圆锥的母线长为 12，底面圆半径为 6，则圆锥的侧面积是 （ ）
A． 24 B． 36 C． 70 D． 72
4．甲、乙两位射击运动员参加射击训练，各射击 20 次，成绩如下表所示：
甲 乙
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
击中次数 5 5 5 5 击中次数 4 6 6 4
设甲、乙两位运动员射击成绩的方差分别为 2S甲 和 2S乙 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 2 2S S甲 乙 B． 2 2=S S甲 乙
C． 2 2S S甲 乙 D． 无法比较 2S甲 和 2S乙 的大小
5．某农场开挖一条 480m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20m，结果提前 4 天完成任务．若
设原计划每天挖 x m，根据题意，下列方程正确的是 （ ）
A． 480480 420x x B． 480480 204xx
C． 480480 420xx D． 480480 204 xx
6．下列函数的图像和二次函数 2 32a xy （ a 为常数， 0a ）的图像关于点
（1，0）对称的是 （ ）
A． 2 34a xy B． 2 32a xy
C． 2 34a xy D． 2 32a xy
二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）
7． 01 = ， 22 ．
8．每年四、五月间，南京街头杨絮飞舞，如漫天飞雪，给市民生活带来了不少烦恼．据测定，
杨絮纤维的直径约为 0.0000105 m，将 0.0000105 用科学计数法可表示为 ．
9．若式子 1
3x
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
10．分解因式 3b b 的结果是 ．
11．若 A（1，m）在反比例函数 2y x 的图像上，则 m 的值为 ．
第 1 页，共 12 页 12．如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两个点，若∠BAD=55°，
则∠ACD= °．
（第 12 题） （第 13 题）
13．如图，CF、CH 是正八边形 ABCDEFGH 的对角线，则∠HCF= °．
14．已知 x 与代数式 2ax bx c 的部分对应值如下表：
x 2 3 4 5 6
2ax bx c 5 0 3 4 3
则 b c
a
的值是 ．
15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F、G、H 分别在 AD、AB、
BC、CD 上，且四边形 EFGH 为正方形，若 24AC ， 10BD ，则正方形 EFGH 的边长
是 ．
（第 15 题）
16．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 m、n．当 AC⊥BD 时，可得四边形 ABCD 的
面积 1
2S mn ；当 AC 与 BD 不垂直时，设它们所夹的锐角为 ，则四边形 ABCD 的面积
S ．（用含 m、n、 的式子表示）
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）
17．（6 分）解不等式组
2 2 3 3
1
2 3
x x
x x
，并写出不等式组的整数解．
D
A B
C
G
F
E
D
C
B
A
H
H
GF
E
B
D
OA C
第 2 页，共 12 页 18．（6 分）计算 2
2
1 12a aa a
．
19．（8 分）某校有 3000 名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查
的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六
个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类 A B C D E F
上学方式 电动车 私家车 公共交通 自行车 步行 其他
某校部分学生主要上学方式扇形统计图 某校部分学生主要上学方式条形统计图
（第 19 题）
根据以上信息，回答下列问题：
⑴ 参与本次问卷调查的学生共有 人，其中选择 B 类的人数有 人．
⑵ 在扇形统计图中，求 E 类对应的扇形圆心角 的度数，并补全条形统计图．
⑶ 若将 A、C、D、E 这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学
生人数．
20．（8 分）甲、乙、丙三名同学准备去公园游玩，他们每人分别从玄武湖公园和莫愁湖公园
中随机选择一家．
⑴ 丙同学选择去玄武湖公园游玩的概率是 ．
⑵ 求甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率．
4%
F
D
16%
C
20%
B
14%
A
36%
162
人数
上学方式FEDCBA
180
150
120
90
60
0
30
第 3 页，共 12 页 21．（8 分）有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
⑴上述四个命题中，是真命题的是 （填写序号）；
⑵请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）
已知： ．
求证： ．
证明：
（第 21 题）
22．（8 分）按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
⑴ 如图①，线段 AB 沿某条直线l 折叠后，点 A 恰好落在 'A 处，求作直线l ．
⑵ 如图②，线段 MN 绕某个点 O 顺时针旋转 60°后，点 M 恰好落在点 'M 处，求作点 O．
① ②
（第 22 题）
DA
B C
A
B
A'
M
N
M'
第 4 页，共 12 页 23．（8 分）如图，长度为 6m 的梯子 AB 斜靠在垂直于地面的墙 OM 上，梯子和水平地面的夹
角为 60°．若将梯子的顶端 A 竖直向下移动，记移动后的位置为 'A ，底端 B 移动后的位
置为 'B ．研究发现：当 ' 0.9AA m 时，梯子可保持平衡，当 ' 0.9AA m 时，梯子失去平
衡滑落至地面．在平衡状态下，求梯子与地面的夹角 ' 'A B O 的最小值．
（参考数据： 3 1.73 ， sin 45 40' 0.715 ， cos 45 40' 0.699 ， sin 44 20' 0.699 ，
cos 44 20' 0.715 ， sin 20 30' 0.35 ， cos 20 30' 0.94 ）
（第 23 题）
24．（8 分）已知函数 2 2 1y x m x （m 为常数）．
⑴ 求证：该函数与 x 轴有两个交点．
⑵ 当 m 为何值时，该函数图像的顶点纵坐标有最小值？最小值是多少？
25．（8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，分别交 AC、BC 于点 D、E，
点 F 在 AC 的延长线上，且∠A=2∠CBF．
⑴ 求证：BF 与⊙O 相切．
⑵ 若 4BC CF ，求 BF 的长度．
（第 25 题）
M
B'
A'
A
O
B
F
E
C
O
A
B
D
第 5 页，共 12 页 26．（10 分）甲、乙两车同时从 A 地出发，匀速开往 B 地．甲车行驶到 B 地后立即沿原路线
以原速度返回 A 地，到达 A 地后停止运动；当甲车到达 A 地时，乙车恰好到达 B 地，并
停止运动．已知甲车的速度为 150km/h．设甲车出发 x h 后，甲、乙两车之间的距离为 y km，
图中的折线 OMNQ 表示了整个运动过程中 y 与 x 之间的函数关系．
⑴ A、B 两地的距离是 km，乙车的速度是 km/h；
⑵ 指出点 M 的实际意义，并求线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式；
⑶ 当两车相距 150km 时，直接写出 x 的值．
（第 26 题）
27．（10 分）
我们知道，对于线段 a、b、c，如果 2a b c ，那么线段 a 叫作线段 b 和 c 的比例中项．
⑴ 观察下列图形：
① 如图①，在△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为 D；
② 如图②，在△ABC 中，AB=BC，∠B=36°，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D；
③ 如图③，A 是⊙O 外一点，AC 与⊙O 相切，切点为 C，过点 A 作射线，分别于⊙O
相交于点 B、D．
其中，AC 是 AD 和 AB 的比例中项的是 （填写序号）．
① ② ③
Q
N
M
x/h987654321
y/km
720
600
480
360
240
120
o
DA B
C D
C
B
A
DB
C
O
A
第 6 页，共 12 页 ⑵ 如图④，直线l 与⊙O 相切于点 A，B 是l 上一点，连接 OB，C 是 OB 上一点．若⊙O
的半径 r 是 OB 与 OC 的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C．（保留作图痕迹，
不写作法）
④ ⑤
⑶ 如图⑤，A 是⊙ 1O 外一点，以 1O A 为直径的⊙ 2O 交⊙ 1O 于点 B、C， 1O A 与 BC 交于点
D，E 为直线 BC 上一点（点 E 不与点 B、C、D 重合），作直线 1O E ，与⊙ 2O 交于点 F，
若⊙ 1O 的半径是 r ，求证： r 是 1O E 与 1O F 的比例中项．
l
O
A B
O2
O1
F
D
CB
A
E
第 7 页，共 12 页 2018 年秦淮区数学二模（答案）
一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D C C A
二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
题号 7 8 9 10 11
答案 1； 1
4 51.05 10 3x 1 1b b b 2
题号 12 13 14 15 16
答案 35 45 11 120
17 1 sin2 mn
三、解答题
17. （6 分）
答案： 1 2x ，整数解为 1 、0、1.
18. （6 分）
解：原式
21 1=
1
a aa a
a a
19. （8 分）
解：⑴450，63
⑵ =360° 1 36% 14% 20% 16% 4% =36°，补全条形图如下所示，
⑶ 3000 1 14% 4% 2460 人
答：该校每天“绿色出行”的人数是 2460 人.
45
18
90
63 72
162
人数
上学方式FEDCBA
180
150
120
90
60
0
30
第 8 页，共 12 页 20. （8 分）
解：⑴ 1
2
⑵树状图如下所示，其中 A 表示玄武湖，B 表示莫愁湖
共有 8 种等可能的结果，其中符合要求的结果有 2 种，记三位同学选择同一家公园为事
件 A，则 2 1
8 4P A .
21. （8 分）
解：⑴①②④
⑵以②为例：
已知：在四边形 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D
∴∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°
∴AB∥DC，AD∥BC
∴四边形 ABCD 是平行四边形
22. （8 分）
解：⑴如图①，直线 l 即为所求
① ②
⑵如图②，点 O 即为所求
丙
乙
甲
BABB AB A
B
A
B AA
BA
开始
l
A
B
A'
O
M
N
M'
第 9 页，共 12 页 23. （8 分）
解：由题意得 ' ' 6AB A B m，∠ABO = 60°
在 Rt△ABO 中，sin = AOABO AB ，
∴AO = AB·sin ABO 5.19m
∵ 'AA = 0.9m
∴ 'A O = 5.19 0.9 = 4.29m
∵ ' 'A B = 6m
∴ ' 4.29sin ' ' = 0.715' ' 6
A OA B O A B
∴ ' 'A B O = 45 40'
答：在平衡状态下，梯子与地面的夹角 ' 'A B O 的最小值为 45 40' .
24.（8 分）
解：⑴令 y=0，则 2 2 1 0x m x
22 4 2 4b ac m
∵ 22 0m
∴ 22 4 0m
∴方程总有两个不相等的实数根，则该函数图像与 x 轴总有两个公共点；
⑵顶点纵坐标为
2
24 1 2 14 4
ac b ma
当 m=2 时，纵坐标最小为 1
25.（8 分）
⑴证明：连接 AE
∵AB 为直径
∴∠AEB=90°，即 AE⊥BC
∵AB=AC
∴∠BAE=∠CAE= 1
2
∠BAC
∵∠BAC=2∠CBF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠AEB=90°
∴∠BAE+∠ABE=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°
∴∠ABF=90°
∵点 B 为半径 OB 外端
∴BF 与⊙O 相切于点 B
⑵解：∵CB=CF
∴∠CBF=∠CFB
∴∠ACB=2∠CBF
第 10 页，共 12 页 ∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC=2∠CBF
由⑴知∠ABF=90°
∴∠CBF=∠CFB=30°
∴∠BAF=60°
∴△ABC 为等边三角形
∴AB=BC=4
在 RtABF 中，tan∠F= AB
BF ,
∴BF= 4 3tan
AB
F
26.（10 分）
⑴600；75
⑵解：M（4，300），实际意义：甲出发 4h 后到达 A 地，此时甲乙之间的距离为 300km
16300 150 75 4 3 （ ）
∴ N （16
3
，0 ）
设 y kx b ，代入 M（4，300）， N （16
3
，0 ）得：
4 300
16 03
k b
k b
解得： 225
1200
k
b
∴线段 MN : 16225 1200 4 3y x x
⑶ 2x 或14
3
或 6
27.（10 分）
解：⑴①②③
⑵如图，点 C 即为所求
⑶证明：连接 2O B 、 2O C 、 1O B 、 1O C
∵ 2 2O B O C ， 1 1O B O C
C
O
A B
第 11 页，共 12 页 ∴ 1 2O O 垂直平分 BC
∴
1 1O B O C
连接CF
∴ 1 1O FC O CB
又∵ 1 1FO C CO E
∴ 1 1O CF O EC△ ∽△
∴ 1 1
1 1
O C O F
O E O C
∴ 2
1 1 1O C O F O E
∴ 2
1 1r O F O E
∴ r 是 1O E 和 1O F 的比例中项
O2
O1
F
D
CB
A
E
第 12 页，共 12 页
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