2.1直线与圆的位置关系（3）.docx

第2课时　切线的判定 ‎[2.1　第2课时　切线的判定]　　　　　　　　　　 　　　　　 　　‎ 一、选择题 ‎1．经过⊙O的直径的一端能作⊙O的切线(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎2．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎3．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 ‎4．在正方形ABCD中，P是对角线AC上的任意一点(不包括端点)，以点P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(　　)‎ A. 相离 B. 相切 C．相交 D．不能确定 二、填空题 ‎5．在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆必与________轴相切．‎ ‎6．如图K－47－1所示，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则当AC＝________cm时，AC与⊙O相切．‎ 图K－47－1‎ ‎　　‎ ‎7．如图K－47－2，已知∠MAN＝30°，O为AN边上一点， 以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x，当x＝________时，⊙O与AM相切．‎ 图K－47－2‎ ‎8．如图K－47－3，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．(不添加其他字母和线段)‎ 图K－47－3‎ ‎9．2017·北京模拟阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：‎ 已知：如图K－47－4，在△ABC中，∠A＝90°.‎ 求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．‎ 图K－47－4‎ 小轩的主要作法如下：‎ 如图K－47－5，‎ ‎　　‎ 图K－47－5‎ ‎ (1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；‎ ‎(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.‎ 则⊙P即为所求．‎ 老师说：“小轩的作法正确．”‎ 请回答：⊙P与BC相切的依据是________________________________________________.‎ 三、解答题 ‎10．如图K－47－6所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆．‎ 求证：AC是⊙O的切线．‎ 图K－47－6‎ ‎11．如图K－47－7，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA.‎ ‎(1)求∠DOA的度数；‎ ‎(2)求证：直线ED与⊙O相切.‎ 图K－47－7‎ ‎12．2016·宁波如图K－47－8，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)求DE的长．‎ 图K－47－8‎ ‎13．如图K－47－9，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.‎ ‎(1)求证：AB是圆的切线；‎ ‎(2)若E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．‎ 图K－47－9‎ ‎14．2017·枣庄如图K－47－10，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F. ‎ ‎(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).‎ ‎　图K－47－10‎ ‎15探究应用2017·内江如图K－47－11，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为N，连结AC，点E在AB上，且AE＝CE.‎ ‎(1)求证：AC2＝AE·AB；‎ ‎(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；‎ ‎(3)设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ长的最小值．‎ 图K－47－11‎ ‎1．[答案] B ‎2．[答案] B ‎3．[解析] B　∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴BC为△BDC外接圆的直径．又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥CB，∴AC是△BCD的外接圆的切线．‎ ‎4．[答案] B ‎5．[答案] x ‎6．[答案] 6‎ ‎[解析] 已知AC经过半径OC的外端，要使AC成为⊙O的切线，则AC⊥BC，由勾股定理，得AC＝＝＝6(cm)．‎ ‎7．[答案] 2‎ ‎8．[答案] 答案不唯一，如CD＝BD ‎9．[答案] 角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线(或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切)‎ ‎[解析] 过点P作PD⊥BC于点D，‎ ‎∵BF平分∠ABC，∠A＝90°，∴PA＝PD，‎ ‎∴PD是⊙P的半径，‎ ‎∴点D在⊙P上，∴BC是⊙P的切线．‎ ‎10．证明：过点O作OE⊥AC于点E，‎ ‎∵AO平分∠BAC，∠B＝90°，∴OE＝OB，‎ ‎∴AC是⊙O的切线．‎ ‎11．解：(1)∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB＝50°，‎ ‎∴∠DOA＝2∠DBO＝100°.‎ ‎(2)证明：连结OE.‎ 在△EAO与△EDO中， ‎∴△EAO≌△EDO，∴∠EAO＝∠EDO.‎ ‎∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°，‎ ‎∴直线ED与⊙O相切．‎ ‎12．[全品导学号：63422362]解：(1)证明：如图，连结OD.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠DAE＝∠DAB.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠ODA＝∠DAO，‎ ‎∴∠ODA＝∠DAE，‎ ‎∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE.‎ 又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，‎ ‎∴OF＝＝＝4.‎ ‎∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，‎ ‎∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4.‎ ‎13．解：(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，‎ ‎∴∠ACB＋∠DBC＝90°.‎ ‎∵∠ABD＝∠ACB，‎ ‎∴∠ABD＋∠DBC＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ 即AB⊥BC，∴AB是圆的切线．‎ ‎(2)在Rt△AEB中，∵tan∠AEB＝，‎ ‎∴＝，即AB＝BE＝.‎ 在Rt△ABC中，＝，‎ ‎∴BC＝AB＝×＝10，‎ ‎∴圆的直径为10.‎ ‎14．解：(1)直线BC与⊙O相切．‎ 理由：连结OD.∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∴∠CAD＝∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°，‎ 即OD⊥BC.‎ 又∵BC过半径OD的外端点D，‎ ‎∴直线BC与⊙O相切．‎ ‎(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，‎ 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2，即OD＝OF＝2，‎ ‎∴OB＝2＋2＝4.‎ ‎∵在Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，‎ ‎∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，‎ ‎∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－π＝2－π.‎ 故阴影部分的面积为2－π.‎ ‎15解：(1)证明：如图，连结BC，‎ ‎∵CD⊥AB，∴CB＝CA，∴∠CAB＝∠CBA.‎ 又∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，‎ ‎∴∠ACE＝∠ABC.‎ 又∵∠CAE＝∠BAC，∴△CAE∽△BAC，‎ ‎∴＝，即AC2＝AE·AB.‎ ‎(2)PB＝PE.理由如下：如图，连结BD，OB.‎ ‎∵CD是直径，∴∠CBD＝90°.‎ ‎∵BP是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，‎ ‎∴∠BCD＋∠D＝∠PBC＋∠OBC＝90°.‎ ‎∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∴∠PBC＝∠D.‎ 又∵∠A＝∠D，∴∠PBC＝∠A.‎ ‎∵∠ACE＝∠ABC，∠PEB＝∠A＋∠ACE，∠PBN＝∠PBC＋∠ABC，‎ ‎∴∠PEB＝∠PBN，∴PE＝PB.‎ ‎(3)如图，连结PO交⊙O于点Q，则此时线段PQ的长有最小值．‎ ‎∵N是OC的中点，∴ON＝2.‎ ‎∵OB＝4，∴∠OBN＝30°，∴∠PBE＝60°.‎ 又∵PE＝PB，∴△PEB是等边三角形，‎ ‎∴∠PEB＝60°，PB＝BE.‎ 在Rt△BON中，BN＝＝＝2，‎ 在Rt△CEN中，EN＝＝＝ ，‎ ‎∴BE＝BN＋EN＝ ，∴PB＝BE＝ .‎ ‎∴PQ＝PO－OQ＝－OQ＝－4＝－4.‎ 即线段PQ长的最小值为 －4.‎