3.4 第3课时 圆锥的表面展开图
一、选择题
图K－59－1
1．2017·南充如图K－59－1，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A．60π cm2 B．65π cm2
C．120π cm2 D．130π cm2
2．若圆锥侧面展开图是半径为3 cm的半圆，则此圆锥的底面半径是( )
A．1.5 cm B．2 cm C．2.5 cm D．3 cm
3．已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．180°
4．如图K－59－2所示，在正方形铁皮图(a)上剪下一个圆和一个扇形，使之恰好围成一个如图(b)所示的圆锥模型，设圆的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系为( )
A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r
图K－59－2
5．2017·绵阳“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图K－59－3所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
图K－59－3
A．68π cm2 B．74π cm2
C．84π cm2 D．100π cm2
二、填空题
6．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则将这个圆锥的侧面展开后所得的扇形圆心角的度数是________．
7．2017·莱芜圆锥的底面周长为，母线长为2，P是母线OA的中点，一根细绳(无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为__________.
三、解答题
8．如图K－59－4，在⊙O中，AB＝4 ，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面半径.
图K－59－4
9．如图K－59－5所示，有一个圆锥形的粮堆，过一条直径两端点的两条母线与该直径组成一个边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.
图K－59－5
10拓展探究如图K－59－6，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所得几何体的表面积．
图K－59－6
1．[答案] B
2．[解析] A ∵扇形是半径为3 cm的半圆，∴侧面展开图的弧长为π×3＝3π(cm)，∴圆锥底面圆的周长为3π cm，设其半径为r cm，则2πr＝3π.由此可求出r＝1.5.
3．[答案] D
4．D.
5．[答案] C
6．[答案] 180°
7．[答案] 1
[解析] 将圆锥的侧面展开，如图．
取OA′的中点P′，连结PP′，则PP′ 的长即为细绳的最短长度．
设∠O＝n°，由题意得＝，
∴∠O＝60°.
∵OP＝OP′＝×2＝1，
∴△OPP′是等边三角形，
∴PP′＝1.
8．[解析] 要求图中扇形的面积，关键是求出⊙O的半径及圆心角∠BOD的度数．
解：(1)连结BC.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB＝4 ，∠A＝30°，
∴AC＝8.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°.
∵AC⊥BD，∴∠BOD＝2∠BOC＝120°，
∴S阴影＝＝＝.
即阴影部分的面积为π.
(2)设圆锥的底面半径为r，则底面周长为2πr，∴2πr＝，解得r＝.
故这个圆锥的底面半径为.
9．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
侧面展开后扇形圆心角为n°，故2πr＝πl，
由题设知2r＝l＝6 m，
∴n＝180，即侧面展开图为一个半圆，如图所示．
则△ABP为直角三角形，BP即为最短路线．
在Rt△ABP中，AB＝6 m，AP＝AB＝3 m，
∴BP＝＝＝3 (m)．
答：小猫所经过的最短路程是3 m.
10解：如图，过点C作CE⊥AD交其延长线于点E，延长AD，BC交于点F.
∵∠ADC＝135°，
∴∠CDE＝45°.
∵CD＝2，
∴DE＝CE＝2.
∵AD＝2，∴AE＝4.
∵∠DAB＝90°，
∴CE∥AB，
∴△FEC∽△FAB，
∴＝＝，
∴＝，
∴FE＝，∴FC＝＝.
由勾股定理可求得FB＝，∴BC＝5.
∴S表＝S圆锥FAB侧－S圆锥FCE侧＋S圆锥DCE侧＋S⊙A＝π×5×－π×2×＋π×2×2＋π×52＝(60＋4 )π.
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