【真题】2018年天津市高考数学（理科）试题含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 绝密★启用前 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。‎ ‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 .‎ 如果事件A，B相互独立，那么 .‎ 棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.‎ 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.‎ 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.‎ 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点A的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎ ‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.‎ 详解：结合流程图运行程序如下：‎ 首先初始化数据：，‎ ‎，结果为整数，执行，，此时不满足；‎ ‎，结果不为整数，执行，此时不满足；‎ ‎，结果为整数，执行，，此时满足；‎ 跳出循环，输出.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.‎ 详解：绝对值不等式 ，‎ 由 .‎ 据此可知是的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意结合对数函数的性质可知：‎ ‎，，，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.‎ 详解：由函数图象平移变换的性质可知：‎ 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：‎ ‎.‎ 则函数的单调递增区间满足：，‎ 即，‎ 令可得一个单调递增区间为：.‎ 函数的单调递减区间满足：，‎ 即，‎ 令可得一个单调递减区间为：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.‎ 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由可得：，‎ 不妨设：，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：，‎ 据此可得：，，‎ 则，则，‎ 双曲线的离心率：，‎ 据此可得：，则双曲线的方程为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，‎ ‎ ‎ 点在上，则，设，则：‎ ‎，即，‎ 据此可得：，且：‎ ‎，，‎ 由数量积的坐标运算法则可得：‎ ‎，‎ 整理可得：，‎ 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎ ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数 学(理工类)‎ 第Ⅱ卷 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2. 本卷共12小题，共110分。‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9. i是虚数单位，复数___________.‎ ‎【答案】4–i ‎ ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则得：.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10. 在的展开式中，的系数为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.‎ 详解：结合二项式定理的通项公式有：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.‎ 详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，‎ 顶点到底面四边形的距离为，‎ 由四棱锥的体积公式可得：.‎ 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12. 已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.‎ 详解：由题意可得圆的标准方程为：，‎ 直线的直角坐标方程为：，即，‎ 则圆心到直线的距离：，‎ 由弦长公式可得：，‎ 则.‎ 点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．‎ ‎13. 已知，且，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.‎ 详解：由可知，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 且：，因为对于任意x，恒成立，‎ 结合均值不等式的结论可得：.‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 综上可得的最小值为.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎14. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.‎ 详解：分类讨论：当时，方程即，‎ 整理可得：，‎ 很明显不是方程的实数解，则，‎ 当时，方程即，‎ 整理可得：，‎ 很明显不是方程的实数解，则，‎ 令，‎ 其中，‎ 原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.‎ 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，‎ 同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，‎ 结合观察可得，实数的取值范围是.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎ ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（I）求角B的大小；‎ ‎（II）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，‎ 又由，得，‎ 即，可得．‎ 又因为，可得B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，‎ 有，故b=．‎ 由，可得．因为ab>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，‎ 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，‎ 由，可得ab=6，从而a=3，b=2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．‎ 由已知有y1>y2>0，故．‎ 又因为，而∠OAB=，故．‎ 由，可得5y1=9y2．‎ 由方程组消去x，可得．‎ 易知直线AB的方程为x+y–2=0，‎ 由方程组消去x，可得．‎ 由5y1=9y2，可得5（k+1）=，‎ 两边平方，整理得，‎ 解得，或．‎ 所以，k的值为或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎20. 已知函数，，其中a>1.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；‎ ‎（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.‎ ‎【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.‎ ‎（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.‎ ‎（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.‎ 详解：（I）由已知，，有.‎ 令，解得x=0.‎ 由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎ ‎ 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.‎ ‎（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由，可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 因为这两条切线平行，故有，即.‎ 两边取以a为底的对数，得，所以.‎ ‎（III）曲线在点处的切线l1：.‎ 曲线在点处的切线l2：.‎ 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.‎ 即只需证明当时，方程组有解，‎ 由①得，代入②，得. ③‎ 因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.‎ 设函数，‎ 即要证明当时，函数存在零点.‎ ‎，可知时，；‎ 时，单调递减，‎ 又，，‎ 故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.‎ 由此可得在上单调递增，在上单调递减. ‎ 在处取得极大值.‎ 因为，故，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以.‎ 下面证明存在实数t，使得.‎ 由（I）可得，‎ 当时，‎ 有 ‎，‎ 所以存在实数t，使得 因此，当时，存在，使得.‎ 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费