浙教版九年级数学下《2.3三角形的内切圆》同步练习含答案.docx

‎2.3　三角形的内切圆　　　　　　　　　 　　　　　 　　‎ 一、选择题 ‎1．如图K－50－1所示，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的(　　)‎ A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 ‎2．等边三角形内切圆与外接圆的半径之比为(　　) ‎ A．1∶ B．3∶ C．1∶2 D．1∶3‎ ‎3．2017·武汉已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)‎ A. B. C. D．2 图K－50－1‎ ‎4．如图K－50－2是输油管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为6 m和8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是(　　)‎ ‎　　‎ 图K－50－2‎ A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m 二、填空题 ‎5．如图K－50－3，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．‎ 图K－50－3‎ ‎　　　‎ ‎.如图K－50－4所示，⊙O为△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，若∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，则∠DOF的度数为______，∠C的度数为________，∠A的度数为________．‎ 图K－50－4‎ ‎7．如图K－50－5，点O在△ABC的内部，∠A＝40°，‎ ‎　图K－50－5‎ ‎ (1)若点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为________；‎ ‎(2)若点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为________．‎ ‎8．如图K－50－6，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D，E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2－25x＋150＝0的两根(单位：cm)，则该自来水管的半径为________ cm.‎ 图K－50－6‎ ‎9．如图K－50－7，在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC两对角线的交点，半径为4－2 的圆内切于△ABC，则k的值为________．‎ ‎　　　　‎ 图K－50－7‎ 三、解答题 ‎10．如图K－50－8所示，已知∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB与⊙O相切于点D，AO的延长线交BC于点E.‎ 求证：AD·AE＝AO·AC.‎ 图K－50－8‎ ‎11．如图K－50－9所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.‎ ‎(1)求证：BF＝CE；‎ ‎(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 ，求AC的长．‎ 图K－50－9‎ ‎12．如图K－50－10，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AF⊥BC于点F，点O在AF上，⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，连结OD，DE.‎ 求：(1)△ADE的周长；‎ ‎(2)内切圆⊙O的面积.‎ 图K－50－10‎ ‎　13.2017·百色已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图K－50－11①.‎ 图K－50－11‎ ‎(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；‎ ‎(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长. ‎14阅读学习定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内心．如图K－50－12①，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD 的准内心．‎ 图K－50－12‎ ‎(1)如图②，∠AFD，∠DEC的平分线FP，EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内心；‎ ‎(2)分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内心；(作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明)‎ ‎(3)同样，我们定义：到凸四边形一组对角顶点的距离相等，到另一组对角顶点的距离也相等的点叫凸四边形的准外心．若QA＝QC，QB＝QD，则点Q就是四边形ABCD的准外心．那么你认为Q是________和________的交点．‎ ‎1．[解析] C　点O是△DEF的外接圆的圆心，即△DEF三边垂直平分线的交点．‎ ‎2．[解析] C　如图，连结OB，OD，∵等边三角形的内心、外心重合，∴OD为内切圆的半径，OB为外接圆的半径．在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∴sin∠OBD＝＝sin30°＝，即OD∶OB＝1∶2.‎ ‎3．[解析] C　如图，作三角形一边上的高，不妨作最长边BC上的高AD，设BD＝x，则CD＝8－x，则有h2＝52－x2＝72－(8－x)2，解得x＝，从而h＝，∴三角形的面积＝××8＝r×(5＋7＋8)，∴r＝. 故选C.‎ ‎4．[答案] C ‎5．[答案] 90‎ ‎6．[答案] 146°　60°　86°‎ ‎[解析] 由题意知，Rt△OBD≌Rt△OBF，‎ ‎∴∠BOD＝∠BOF＝73°，‎ ‎∴∠DOF＝73°＋73°＝146°.‎ ‎∵∠ODC＝∠OEC＝90°，‎ ‎∴∠C＝360°－90°×2－120°＝60°.‎ 又∵∠ABC＝360°－∠BDO－∠BFO－∠DOF＝360°－90°－90°－146°＝34°.‎ ‎∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－34°－60°＝86°.‎ ‎7．[答案] 80°　110°‎ ‎8．[答案] 5‎ ‎[解析] 设圆心为O，如图，连结OD，OE.‎ 解方程x2－25x＋150＝0，‎ 得x1＝10，x2＝15.‎ ‎∴设AD＝10，BE＝15，水管的半径为x，‎ ‎∴AB＝AD＋BE＝25，‎ ‎∴(AD＋x)2＋(BE＋x)2＝AB2，‎ ‎∴(10＋x)2＋(15＋x)2＝252，解得x＝5.‎ ‎9．[答案] 4‎ ‎10．证明： 连结OD.∵AB与⊙O相切于点D，‎ ‎∴∠ADO＝90°.‎ 又∵∠C＝90°，∴∠ADO＝∠C.‎ 又∵点O是Rt△ABC的内心，‎ ‎∴∠DAO＝∠EAC，‎ ‎∴△ADO∽△ACE，‎ ‎∴＝，‎ 即AD·AE＝AO·AC.‎ ‎11．解：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，‎ ‎∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.‎ 又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，‎ ‎∴BF＝CE.‎ ‎(2)∵CE＝2 ，∴CD＝2 .‎ 又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.‎ 又∵∠ACB＝30°，‎ ‎∴AC＝＝＝＝4.‎ ‎12．解：(1)∵AB＝AC，BC＝12，AF⊥BC于点F，∴BF＝FC＝6.‎ ‎∵⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，‎ ‎∴BD＝BF＝6，CE＝CF＝6.‎ ‎∵AB＝AC＝10，∴AD＝AE＝4，‎ ‎∴AD∶AB＝AE∶AC.‎ 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴DE∶BC＝AD∶AB，即DE∶12＝4∶10，‎ ‎∴DE＝4.8，‎ ‎∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝4＋4.8＋4＝12.8.‎ ‎(2)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°.‎ ‎∵AB＝10，BF＝6，∴AF＝＝8.‎ ‎∵⊙O与AB边切于点D，∴∠ADO＝90°，‎ ‎∴∠ADO＝∠AFB.‎ 又∵∠OAD＝∠BAF，‎ ‎∴△ADO∽△AFB，‎ ‎∴AO∶AB＝OD∶BF，‎ 即(8－OD)∶10＝OD∶6，∴OD＝3，‎ ‎∴S⊙O＝π·OD2＝9π.‎ ‎13．解：(1)△ABC是等腰三角形．‎ 证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，∴AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，∠CFO＝∠CEO＝90°.‎ 连结CO，BO，则△CFO≌△CEO，∴∠COF＝∠COE，同理∠BOE＝∠BOD.‎ ‎∵＝，∴∠EOF＝∠EOD，‎ ‎∴∠COE＝∠BOE.‎ 又∠CEO＝∠BEO＝90°，OE＝OE，‎ ‎∴△COE≌△BOE，∴CE＝BE.‎ ‎∵CF＝CE，BE＝BD，∴CF＝BD.‎ ‎∵AF＝AD，∴AC＝AB，‎ 即△ABC是等腰三角形．‎ ‎(2)∵AC＝AB，CE＝BE，‎ ‎∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO.‎ ‎∵AF＝AD，∴FM＝DM，FM⊥AM，‎ ‎∴AE过圆心O，DF∥BC，‎ ‎∴AF∶AC＝DF∶BC，‎ 即4∶6＝DF∶4，‎ ‎∴DF＝，∴FM＝，‎ ‎∴AM＝＝.‎ ‎14解：(1)证明：如图①，过点P作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，垂足分别是I，J，G，H.‎ ‎∵EP平分∠DEC，∴∠PED＝∠PEC.‎ 在△PEJ和△PEH中， ‎∴△PEJ≌△PEH，‎ ‎∴PJ＝PH.‎ 同理，可证△PGF≌△PIF，∴PG＝PI，‎ ‎∴点P是四边形ABCD的准内心．‎ ‎(2)平行四边形两条对角线的交点P1就是它的准内心，如图②；‎ 或者平行四边形两对边中点连线的交点P1就是它的准内心，如图③；‎ 梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是它的准内心，如图④.‎ ‎(3)根据凸四边形的准外心的定义即可得出四边形ABCD的准外心Q是AC的中垂线和BD的中垂线的交点．‎ 故答案为：AC的中垂线，BD的中垂线．‎