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2017—2018学年度下学期省六校协作体高二联合考试
数学试题（理科）
命题学校：北镇高中 命题人：丁红 校对人：张丽娟
考试时间120分钟 试卷满分150分
说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为主观题，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1、 设集合，，则( )
A． B． C． D．
2.已知复数在复平面内对应点是，若虚数单位，则
A. B. C. D.
3．若两个单位向量，的夹角为，则
A． B． C． D．
4.已知为等差数列, ,则
A.42 B.40 C.38 D.36
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为
A. B. C. D.
7.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为，（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）”，据此计算：已知一个圆中弓形弦为8，为2，质点随机投入此圆中，则质点落在弓形内的概率为
A. B. C. D.
8.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是
A．求数列的前10项和 B．求数列的前10项和
C．求数列的前11项和 D．求数列的前11项和
9.上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
A．种 B．54种 C．种 D．54种
10.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD折痕,将折成直二面角,则过四点的球的表面积为
A. B. C. D.
11.已知数列是公差不为0的等差数列, 且成等比数列,设,则数列的前项和为
A. B. C. D.
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为
A． B．＋1 C． D．＋1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
13.设实数满足约束条件,则目标函数的最大值为 .
14.若,则在的展开式中,项的系数为 .
15.设直线相交于A，B两点，且弦长为，则a的值是__________．
16.已知函数,,且函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
已知设函数
（1）求函数的最小正周期和最小值；
（2）设的内角的对边分别为，且，求面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份).现从回收的年龄在20∼60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如图表所示。
(1)分别求出的值；若从全市回收的年龄在20—60岁的问卷中随机抽取5人，将频率视为概率，设其中答对全卷的人数为，求的期望。
(2)从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记为第3组被授予“环保之星”的人数，求的分布列与数学期望。
19．(本小题满分12分)
如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,
A
B
E
F
C
D
.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为60°．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率，且与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上点作椭圆的弦，若的中点分
别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数，．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，≤恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时,求证:不等式.
请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为，其中
（1）求曲线C的极坐标方程及的值；
（2）射线OA与直线相交于点B，求的值.
23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）的最小值为，若均为正实数，且满足，求证：.
2017—2018学年度下学期省六校协作体高二联合考试
数学试题（理科）参考答案：
一.选择题：BCDBA ADBDC CD
二.填空题 ：13.2 14.－12 15.0 16.
三.17．
……………………4分
……………………8分
……11分
所以面积的最大值为…………………12分
18. 解:(1)根据频率直方分布图,得(0.010+0.025+c+0.035)×10=1，
解得c=0.03.
第3组人数为5÷0.5=10,所以n=10÷0.1=100.
第1组人数为100×0.35=35,所以b=28÷35=0.8.
第4组人数为100×0.25=25,所以a=25×0.4=10.
～B（5，），则E（)=5＝ ………………6分
(3)因为第3，4组答对全卷的人的比为5:10=1:2，
所以第3,4组应依次抽取2人,4人. ……………7分
依题意的取值为0,1,2.
P(Y=0) P(Y=1)
P(Y=2)=
所以X的分布列为：
Y
0
1
2
P
……………………11分
Y
0
1
2
P
所以E（Y)=0×+1×+2×. ……………12分
19．（1）证明：在BCE中，BCCF，，,，，
所以.又因为在中，，所以.
因为平面ABCD平面BEFC，且平面ABCD平面BEFC＝BC，DCBC，所以DC平面 EFCB，所以DCEF.
又DCCE＝C，所以平面 ………………6分
（２）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．
设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），
F（0，4，0）．从而
设平面AEF的法向量为，由得，
，取x=1，则，即
设平面EFCB的法向量为，
由条件，得，
解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．……………12分
20.解：（Ⅰ），，即 …………2分
由得，
， …………4分
得，，所以椭圆方程为； …………6分
（Ⅱ）由题意可知，所以， 设直线的方程，联立方程组
得的两根为，，
， …………8分
由题意得，，
…………10分
所以斜率之和是为定值0 . ………………12
21.解：(I)的定义域为，
则,又
所求切线方程为. ……………2分
(II),令,
,令,,
,
,.
(2),
以下论证.
,
,
,
综上所述，的取值范围是 ………………8分
（Ⅲ）原问题等价于证明:当时,.
法1:设则,
设则
,,即单调递增
故单调递增,,
在单调递增,
. ………………12分
法2:由(II)得,,
若证,只需证
设
,而,所以,
即成立. ………………12分
22.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，
即ρ＝4sinθ. ………………3分
由ρ＝2，得sinθ＝，∵θ∈(，π)，∴θ＝. ………5分
(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
联立，得解得ρ＝4.
∴点B的极坐标为(4，)， ………………8分
∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. ………………10分
23.(1)因为即
当时，不等式为解得，所以；
当时，不等式为，解得，所以；
当时，不等式为，解得，所以.
综上，的解集为. ………………5分
(2)
所以在(−∞,−1]上单调递减,在(−1,+∞)上单调递增，
所以 ………………7分
所以
所以
所以
当且仅当时等号成立 ………………10分
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