2015人教版必修五第一章　解三角形作业题及答案解析第一章 §1.2(二).docx

‎§1.2　应用举例(二)‎ 课时目标 ‎1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．‎ ‎2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．‎ ‎1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)‎ ‎2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absin C.‎ 一、选择题 ‎1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为(　　)‎ A．α>β B．α＝β C．α0，则 S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.‎ ‎∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：‎ BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ‎＝82＋52－2×8×5×＝49.‎ ‎∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.‎ ‎9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．‎ 答案　 解析　不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，‎ 由余弦定理得：‎ cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝ ＝.‎ 由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.‎ ‎∴S内切圆＝πr2＝.‎ ‎10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．‎ 答案　 解析　设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，‎ 解得t＝或t＝－(舍)．‎ 三、解答题 ‎11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.‎ 解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，‎ ‎∠ABC＝90°－α，‎ ‎∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 根据正弦定理得：＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝ ‎＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β ‎＝.‎ 即山高CD为.‎ ‎12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．‎ 解　‎ 连接BD，则四边形面积 S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.‎ ‎∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.‎ ‎∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.‎ 由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，‎ 在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，‎ ‎∴20－16cos A＝52－48cos C.‎ 又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.‎ ‎∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝8.‎ 能力提升 ‎13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝‎50 m，BC＝‎120 m，于A处测得水深AD＝‎80 m，于B处测得水深BE＝‎200 m，于C处测得水深CF＝‎110 m，求∠DEF的余弦值．‎ 解　作DM∥AC交BE于N，交CF于M.‎ DF＝＝＝10(m)，‎ DE＝＝＝130(m)，‎ EF＝＝＝150(m)．‎ 在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得 cos∠DEF＝＝＝.‎ 即∠DEF的余弦值为.‎ ‎14．江岸边有一炮台高‎30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．‎ 解　如图所示：‎ ‎∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°‎ ‎∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝＝30.‎ 在△BCD中，‎ CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，‎ ‎∴CD＝30，即两船相距‎30 m.‎ ‎1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．‎ ‎2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．‎