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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合,,则
A. B. C. D.
3.函数的图像大致为
4.已知向量,满足,,则
A.4 B.3 C.2 D.0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A. B. C. D.
6.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
7.在中,,,,则
A. B. C. D.
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8.为计算,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
A. B.
C. D.
9.在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为
A. B. C. D.
10.若在是减函数,则的最大值是
A. B. C. D.
11.已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为
A. B. C. D.
12.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
A. B.0 C.2 D.50
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.若满足约束条件 则的最大值为__________.
15.已知,则__________.
16.已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若的面积为,
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则该圆锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)
如图,在三棱锥中,,,为的中点.
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(1)证明:平面;
(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.
20.(12分)
设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
21.(12分)
已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C
二、填空题
13.y=2x–2 14.9 15. 16.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
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(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
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所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
21.解:
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,)时,f ′(x)