§2.4 等比数列(一)
课时目标
1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．
3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
3．等比中项的定义
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
∴这三个数45,75,125，公比q为＝.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D．不确定
答案 A
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则
a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
答案 5
解析 设公比为q，
则⇒⇒q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
答案
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案 －9
解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，
四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q (与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2 (n∈N*)．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
微信/支付宝扫码支付