2015人教版必修五第二章数列作业题及答案解析第二章 2.5（一）.docx

‎§2.5　等比数列的前n项和(一)‎ 课时目标 ‎1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．‎ ‎2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．‎ ‎1．等比数列前n项和公式：‎ ‎(1)公式：Sn＝.‎ ‎(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．‎ ‎2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中 A＝.‎ ‎3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎8a2＋a5＝0，则等于(　　)‎ A．11 B．5‎ C．－8 D．－11‎ 答案　D 解析　由‎8a2＋a5＝0得‎8a1q＋a1q4＝0，‎ ‎∴q＝－2，则＝＝－11.‎ ‎2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)‎ A．－3 B．5‎ C．－31 D．33‎ 答案　D 解析　由题意知公比q≠1，＝ ‎＝1＋q3＝9，‎ ‎∴q＝2，＝＝1＋q5‎ ‎＝1＋25＝33.‎ ‎3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D. 答案　C 解析　方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，‎ 得＝＋1＋q＋q2＝.‎ 方法二　S4＝，a2＝a1q，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a‎2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　∵{an}是由正数组成的等比数列，且a‎2a4＝1，‎ ‎∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.‎ ‎∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，‎ 即6q2－q－1＝0.‎ 故q＝或q＝－(舍去)，‎ ‎∴a1＝＝4.‎ ‎∴S5＝＝8(1－)＝.‎ ‎5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎‎ C．－1 D．2‎ 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)‎ ‎＝3n－3n－1＝2·3n－1.‎ 由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，‎ ‎∴k＝－1.‎ ‎6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)‎ A．514 B．‎513 ‎‎ C．512 D．510‎ 答案　D 解析　由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，‎ 得方程组，解得或.‎ ‎∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.‎ 二、填空题 ‎7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.‎ 答案　－ 解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，‎ 又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.‎ ‎8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ 答案　3‎ 解析　S6＝4S3⇒＝⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．‎ ‎∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.‎ ‎9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．‎ 答案　10‎ 解析　Sn＝，∴－341＝，‎ ‎∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，‎ ‎∴n＝10.‎ ‎10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.‎ 答案　2n－1‎ 解析　当n＝1时，S1＝‎2a1－1，∴a1＝‎2a1－1，∴a1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)‎ ‎∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，‎ ‎∴an＝2n－1，n∈N*.‎ 三、解答题 ‎11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.‎ 解　∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组 得①‎ 或②‎ 将①代入Sn＝，可得q＝，‎ 由an＝a1qn－1可解得n＝6.‎ 将②代入Sn＝，可得q＝2，‎ 由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.‎ ‎12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．‎ 解　分x＝1和x≠1两种情况．‎ ‎(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.‎ ‎(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，‎ xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，‎ ‎∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.‎ ‎∴Sn＝－.‎ 综上可得Sn＝‎ .‎ 能力提升 ‎13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.‎ 解　方法一　由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，‎ ‎∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.‎ 方法二　由题意得a≠1，∴Sn＝＝54 ①‎ S2n＝＝60 ②‎ 由②÷①得1＋qn＝，‎ ‎∴qn＝，∴＝，‎ ‎∴S3n＝＝(1－)＝.‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，‎ n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.‎ ‎(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，‎ ‎∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ①‎ ‎2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ②‎ ‎②－①得，‎ Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝－23－＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1‎ ‎＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.‎ ‎1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．‎ ‎2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．‎ ‎3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．‎