2015人教版必修五第二章数列作业题及答案解析第二章 2.5（二）.docx

‎§2.5　等比数列的前n项和(二)‎ 课时目标 ‎1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．‎ ‎2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．‎ ‎1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝na1.‎ ‎2．等比数列前n项和的性质：‎ ‎(1)连续m项的和(如Sm、S‎2m－Sm、S‎3m－S‎2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)‎ ‎(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．‎ ‎(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.‎ ‎3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．‎ 一、选择题 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)‎ A．33 B．‎72 ‎‎ C．84 D．189‎ 答案　C 解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.‎ ‎2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　)‎ A．‎1.14a B．‎1.15a C．‎10a(1.15－1) D．‎11a(1.15－1)‎ 答案　D 解析　注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为‎1.1a,‎1.12a,‎1.13a,‎1.14a,‎1.15a.‎ ‎∴‎1.1a＋‎1.12a＋‎1.13a＋‎1.14a＋‎1.15a＝‎11a(1.15－1)．‎ ‎3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)‎ A.或5 B.或‎5 C. D. 答案　C 解析　若q＝1，则由9S3＝S6得9×‎3a1＝‎6a1，‎ 则a1＝0，不满足题意，故q≠1.‎ 由9S3＝S6得9×＝，‎ 解得q＝2.‎ 故an＝a1qn－1＝2n－1，‎ ＝()n－1.‎ 所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为 S5＝＝.‎ ‎4．一弹性球从‎100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)‎ A．‎300米 B．‎299米 C．‎199米 D．‎‎166米 答案　A 解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．‎ ‎5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)‎ A．90 B．‎70 C．40 D．30‎ 答案　C 解析　q≠1 (否则S30＝3S10)，‎ 由，∴，‎ ‎∴，∴q20＋q10－12＝0.‎ ‎∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)‎ ‎＝10×(1＋3)＝40.‎ ‎6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(　　)‎ A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 答案　B 解析　设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，‎ ‎∴x＝.‎ 二、填空题 ‎7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．‎ 答案　 解析　由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．‎ ‎∴a2＝‎3a3，‎ ‎∴{an}的公比q＝＝.‎ ‎8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝‎ ‎________________________________________________________________________.‎ 答案　63‎ 解析　方法一　∵S8≠2S4，∴q≠1，‎ 由已知得 由②÷①得 ‎1＋q4＝，∴q4＝　　　　　　　　　　③‎ 将③代入①得＝64，‎ ‎∴S12＝＝64(1－)＝63.‎ 方法二　因为{an}为等比数列，‎ 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，‎ 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，‎ 所以S3n＝＋S2n，‎ 所以S12＝＋S8＝＋60＝63.‎ ‎9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．‎ 答案　729‎ 解析　每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．‎ ‎10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．‎ 答案　(1＋q)12－1‎ 解析　设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.‎ 则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，‎ 第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，‎ ‎∴该厂生产总值的平均增长率为＝－1＝(1＋q)12－1.‎ 三、解答题 ‎11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.‎ ‎(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；‎ ‎(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)‎ 参考数据：0.910≈0.35.‎ 解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．‎ ‎(2)10年的出口总量S10＝＝‎10a(1－0.910)．‎ ‎∵S10≤80，∴‎10a(1－0.910)≤80，‎ 即a≤，∴a≤12.3.‎ 故2010年最多出口12.3吨．‎ ‎12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：‎ ‎(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？‎ ‎(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)‎ 解　(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)．‎ ‎(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ 依据题意，得>，‎ 于是Sn＝>5 000(辆)，即1.5n>.‎ 两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg ，‎ 即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.‎ 所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.‎ 能力提升 ‎13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出‎1 L，再用水加满，然后再取出‎1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.‎ 答案　8 解析　用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，‎ 依次类推：a9＝8，a10＝9.‎ ‎∴8＋9＝8.‎ ‎14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)‎ 解　甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为 ‎1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，‎ 到期时银行贷款的本息为 ‎10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，‎ ‎∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 ‎42．63－25.94≈16.7(万元)．‎ 乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，‎ ‎1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)‎ ‎＝ ‎＝32.50(万元)，‎ 而贷款本利和为 ‎1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]‎ ‎＝1.1× ‎≈17.53(万元)．‎ ‎∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 ‎32．50－17.53≈15.0(万元)，‎ 比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．‎ ‎1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．‎ ‎2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．‎