2015人教版选修1-1第二章圆锥曲线与方程作业题及答案解析第二章 2.2.2.docx

‎2.2.2　‎双曲线的简单几何性质 课时目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．‎ ‎1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1‎ ‎(a>0，b>0)‎ －＝1‎ ‎(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______‎ 离心率 渐近线 ‎2.直线与双曲线 一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0) ①‎ 双曲线C：－＝1 (a>0，b>0) ②‎ 把①代入②得(b2－a2k2)x2－‎2a2mkx－a‎2m2‎－a2b2＝0.‎ ‎(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．‎ ‎(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，‎ Δ＝(－‎2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a‎2m2‎－a2b2)．‎ Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；‎ Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；‎ Δ0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x ‎5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)‎ A. B. C．2 D. 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答　案 二、填空题 ‎7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.‎ ‎8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．‎ ‎9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．‎ 三、解答题 ‎10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．‎ ‎(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；‎ ‎(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.‎ ‎11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．‎ 能力提升 ‎12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.‎ ‎(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；‎ ‎（2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．‎ ‎1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为‎2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.‎ ‎2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．‎ ‎3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．‎ ‎2．2.2　双曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 ‎1.‎ 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)‎ F1(0，－c)，F2(0，c)‎ 焦距 ‎|F‎1F2|＝‎‎2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ‎(－a,0)，(a,0)‎ ‎(0，－a)，(0，a)‎ 轴长 实轴长＝‎2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝(e>1)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x ‎2.(1)一点　(2)两个　一个　没有 作业设计 ‎1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.]‎ ‎2．A ‎3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，‎ 则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]‎ ‎4．C　[由题意知，2b＝2,‎2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]‎ ‎5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]‎ ‎6．B　[||PF1|－|PF2||＝‎2a，即3|PF2|＝‎2a，‎ 所以|PF2|＝≥c－a，即‎2a≥‎3c－‎3a，即‎5a≥‎3c，‎ 则≤.]‎ ‎7. 解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.‎ 又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.‎ ‎8.－＝1(x>3)‎ 解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝63)．‎ ‎9.－＝1‎ 解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为 －＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，‎ ‎∴λ＝－＝.‎ ‎∴所求双曲线的方程为－＝1.‎ ‎10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而30时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则1＝＝，‎ ‎∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.‎ 方法二　(用点差法解决)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，‎ 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．‎ ‎∵x1≠x2，∴＝，‎ ‎∴kAB＝＝1，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝x＋1，‎ 代入x2－＝1满足Δ>0.‎ ‎∴直线AB的方程为y＝x＋1.‎ ‎12. D ‎　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 y＝x，‎ 而kBF＝－，‎ ‎∴·(－)＝－1，‎ 整理得b2＝ac.‎ ‎∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，‎ 解得e＝或e＝(舍去)．]‎ ‎13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，‎ 消去y并整理得(1－a2)x2＋‎2a2x－‎2a2＝0，①‎ ‎∴ 解得－