3.3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1.了解线性规划的意义.
2.会求一些简单的线性规划问题.
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数解析式
线性目标函数
关于x,y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1.若实数x,y满足不等式组则x+y的最大值为( )
A.9 B. C.1 D.
答案 A
解析 画出可行域如图:
当直线y=-x+z过点A时,z最大.
由得A(4,5),∴zmax=4+5=9.
2.已知点P(x,y)的坐标满足条件则x2+y2的最大值为( )
A. B.8 C.16 D.10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示:
易得A(1,1),|OA|=,B(2,2),
|OB|=2,
C(1,3),|OC|=.
∴(x2+y2)max=|OC|2=()2=10.
3.在坐标平面上有两个区域M和N,其中区域M=,区域N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示,则f(t)的表达式为( )
A.-t2+t+ B.-2t2+2t
C.1-t2 D.(t-2)2
答案 A
解析
作出不等式组所表示的平面区域.
由t≤x≤t+1,0≤t≤1,得
f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC
=1-t2-(1-t)2
=-t2+t+.
4.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为( )
A.3,-11 B.-3,-11
C.11,-3 D.11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示,由图可知z=3x-4y经过点A时z有最小值,经过点B时z有最大值.易求A(3,5),B(5,3).∴z最大=3×5-4×3=3,z最小=3×3-4×5=-11.
5设不等式组,所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B,则|AB|的最小值为( )
A. B.4 C. D.2
答案 B
解析 如图所示.由约束条件作出可行域,得D(1,1),E(1,2),C(3,3).
要求|AB|min,可通过求D、E、C三点到直线3x-4y-9=0距离最小值的2倍来求.
经分析,D(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离d==2最小,∴|AB|min=4.
二、填空题
6.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为________.
答案 7
解析 作出可行域如图所示.
由图可知,z=2x+3y经过点A(2,1)时,z有最小值,z的最小值为7.
7.已知-1