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2017-2018学年度第二学期第二次阶段考试
高二理科数学试题
命题教师：赵艳 校对：陈芳
一．选择题（共14小题，每小题5分，共70分。每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．若集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．A⊆B D．B⊆A
2．（x﹣）4展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．﹣6 C．24 D．﹣24
3．函数f（x）=+的定义域是（ ）
A．[﹣2，2] B．（﹣1，2]
C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]
4．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）
A．y=ex+e﹣x B．y=ln（|x|+1） C． D．
5．把函数y=2sin（x+）图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
6．“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．若函数的值域为（0，+∞），则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．（﹣∞，1）∪（4，+∞）
C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）
8.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9．某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（ ）
A．60 B．90 C．150 D．120
10．过直线y=2x+3上的点作圆x2+y2﹣4x+6y+12=0的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．在各项均为正数的等比数列{an}中，a6=3，则a4+a8=（ ）
A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3
13．实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1， 2）上，则的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（﹣∞，） C．（，2） D．
14．已知数列{an}中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，若对于任意的
a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]
二．选择题（共4小题，每小题5分，共20分。）
15．命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是 ．
16．已知tan（x+）=﹣2，则sin2x+2cos2x=
17．已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为 ．
18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，面A1 B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为 ．
三．解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（12分）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，
命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；
（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．
20．（12分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）求|AP|•|AQ|的值．
21. （12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=1（n∈N），数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1=，b2，b5，b14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
22．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若，且锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和
最小值，△ABC的外接圆半径是，求△ABC的面积．
23．（12分）某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频数分布直方图．
高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[0，6]内）：
学习时间
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
[5，6]
频数
3
1
8
4
2
2
高二学生学习时间的频率分布直方图：
（1）求高二学生学习时间在（3，5]内的人数；
（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2，3），[3，4）的两组里抽取
6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3，4）这一组中恰有1人被抽中的概率；
（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
高二
合计
，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.025
0.010
0.005
k0
5.024
6.635
7.879
24．（选做题10分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题1-5 CCDDD． 6-10 ADBBA． 11-14 AAAA．
二．选择题（共4小题）
15． ∃x∈R，ex≤0． 16． ． 17.﹣1 18． 4π．
三．解答题
19.解：（1）p真，则或得；
q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，
∴p∧q真，．
（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，
若p假q假，则，⇒a≤﹣2，
若p真q真，则，⇒
综上a≤﹣2或．
20． 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即 （x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．
（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线 （t为参数）上．
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得 t2+t﹣=0．
由韦达定理可得 t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．
21. 解：（I）Sn=1（n∈N），n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=1，相减可得：an﹣an﹣1=0，化为：an=an﹣1．
n=1时，a1+=1，解得a1=．
∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．
∴an==2×．
数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1==1．
∵b2，b5，b14成等比数列．∴=b2•b14，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．
解得d=2．
∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（Ⅱ）设cn=an•bn=．
求数列{cn}的前n项和Tn=+……+．
=+……++，
相减可得：Tn=+4﹣=+4×﹣，
化为：Tn=2﹣．
22．解：（1）函数．
=sin2x﹣，
=2sin（2x﹣），
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．
（2）由于：，故：，所以：，
锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，△ABC的外接圆半径是
，所以：令b=2，c=，
则利用正弦定理：
解得：sinB=，sinC=，
故：cosB=，cosC=．
则：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．
所以：．
23． 解：（1）高二学生学习时间在（3，5]内的人数为20×（0.25+0.3）=11（人）．
（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2，3）中抽取4人，
从高一学生学习时间在[3，4）中抽取2人．
设从高一学生学习时间在[2，3）上抽的4人分别为A，B，C，D，
在[3，4）上抽的2人分别为a，b，
则在6人中任抽2人的所有情况有15种，分别为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），
（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），
其中[3，4）这一组中恰有1人被抽中的情况包含8种，分别为：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b）共计8种，
∴这一组中恰有1被抽中的概率为．
（3）完成2×2列联表，如下：
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少
合计
高一
4
16
20
高二
9
11
20
合计
13
27
40
，
所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
24． 解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（﹣x）=2，
即，
所以2m=2，
∴m=1．
（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
则g（x）+g（﹣x）=2，
∴g（x）=2﹣g（﹣x），
∴当x＜0时，则﹣x＞0，
∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，
∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；
（3）由（1）知，，
∴f（t）min=3，
又当x＜0时，g（x）=﹣x2+ax+1
∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，
∴ax＜2+x2又x＜0，
∴，
∴．
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