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开滦二中2017～2018学年第二学期高二年级6月考试
试卷数学（理科）
一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A＝{R| }，B＝{R|}，则A∩B等于 （ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足 （为虚数单位），则复数所表示的点在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列说法正确的是 （ ）
A. 命题p：“”，则Øp是真命题
B.“”是“”的必要不充分条件
C. 命题“使得 ”的否定是：“”
D. “”是“上为增函数”的充要条件
4．若则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5.平面直角坐标系中，已知两点，若点C满足
（O为原点），其中，且，则点C的轨迹是（ ）
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
6．执行右面的程序框图,如果输入的,那么输出的（ ）
A． B.
C． D.
7．直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
8.数列满足且 则 （ ）
A. B. C. D.
9.在中，分别是角的对边，且,，则的面积等于 （ ）
A. B. C. D. 10
10. 抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.四棱锥的三视图如右图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为
A. B.24 C. D.
12.已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在中，角的对边分别是，若，则的形状是________.
14.已知向量，，若向量与垂直，则实数等于 .
15.定义：. 在区域内任取一点，则， 满足的概率为 .
16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点是角终边上一点，，定义．对于下列说法：
①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；
③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为；
⑤函数的单调递减区间是
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知正项数列满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn。
18. （本题满分12分）
某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：K2＝
19.（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o， 四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB，所成的锐二面角为45o ，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线与椭圆交于两点 ，且直线、、
的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线.
（Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点，曲线与轴负半轴交于点，为曲线上任意一点， 求
的最大值.
数学（理科）试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
AADBA BBACB AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）
13. 等腰或直角三角形 14. 1 15. 16. ①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (Ⅰ)整理得 … 4分
又 得 …… 6分
(Ⅱ)由（1）知 …… 8分
所以 … 12分
18．解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3. 841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19、（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，
∴ ，，∴
∴ ……3分
又平面ACFE⊥平面ABCD，AC是交线，平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE ……5分
A
B
C
D
F
E
M
x
y
z
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，设，
则，， ……7分
设是平面MAB的法向量，则
取，得， ……9分
显然
是平面FCB的一个法向量， ……10分
于是，
化简得，此方程无实数解，
∴ 线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为45o…12分
20、（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线经过椭圆的右顶点，
右顶点为，即 ……2分
∴ ∴椭圆方程为 ……4分
21、解：（Ⅰ）函数定义域为，
∴． ……2分
经检验，符合题意. ……4分
（Ⅱ）解法一：设
则问题可转化为当时，恒成立．
∴，∴ ……6分
由得方程有一负根和一正根，其中不在函数定义域内且在上是减函数，在上是增函数 即在定义域上的最小值为 ……8分
依题意．即．又，
∴ ∵ ∴ ∴
即 ……10分
令，则 当时，
∴是增函数 ∴的解集为
∴ 即的取值范围是． ……12分
解法二：恒成立，即恒成立
设，则，
设，则，
当时，，则是减函数
∴，即是减函数， ……8分
当时，先证
设，则
∴在上是增函数且
∴时，即
∴当时，
∴的最大值为2 即的取值范围是 ……12分
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