自我小测
复习巩固
1．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．x2－＋5＝0
B．2x2＋4x＋35＝0
C．2x2－15x－50＝0
D．
3．一元二次方程x2＋4x＋c＝0中，c＜0，该方程的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
4．若关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8
C．4± D．0或8
5．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有两个实数根，则a的值可以是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若关于x的方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k≥－1
C．k＞1 D．k≥0
7．关于x的一元二次方程x2－ax＋(a－1)＝0的根的情况是__________．
8．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__________．
9．当k取何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋k－5＝0
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．
能力提升
10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是( )xkb1.com
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．
13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．
14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
参考答案
复习巩固
1．D 因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，
所以原方程无实数根．
2．A
3．B 由于Δ＝42－4c＝16－4c，
而c＜0，故Δ＞0.
因此该方程有两个不相等的实数根．
4．D 由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.
解得m1＝0，m2＝8.故选D.
5．D 由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.
6．D 由题意得解得k≥0.
7．有实数根 因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．
8．k≤4，且k≠0 由|b－1|＋＝0，得a＝4，b＝1.
故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.
因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.
解得k≤4，且k≠0.
9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ＞0，即36－4k＞0.
解得k＜9.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即36－4k＝0.
解得k＝9.
(3)因为方程没有实数根，
所以Δ＜0，即36－4k＜0.
解得k＞9.
能力提升
10．C 当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.
故选项A错误．
当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；
当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.
11．B 原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.
依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.
整理，得b2＋c2＝a2.
所以此三角形是直角三角形．故选B.
12．，且a≠0 因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得.
因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0.
13．8 讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.
此时.
(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得.
综上，.故整数a的最大值为8.
14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，
所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
15．(1)证明：因为k是整数，所以.所以2k－1≠0.
因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)解：y是k的函数．
解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得.
所以x＝3或x＝1＋.
因为k是整数，k≠0，所以.
所以1＋≤2＜3.
又因为x1＜x2，所以x1＝1＋，x2＝3.
所以.
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