2018 年南京中考考前模拟
数学试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)
1. 用式子表示“减去一个数等于加上这个数的相反数”,正确的是( )
A. a b c a b c B. a b c a b c
C. a b c a b c D. a b c a b c
2. 计算
3
21
2 ab 的结果是( )
A. 633
2 a b B. 531
2 a b C. 531
8 a b D. 631
8 a b
3. 如图,矩形 ABCD 的边 AD 长为 2,AB 长为 1,点 A 在数轴上对应的点是 1 ,以 A 点为
圆心,对角线 AC 长为半径画弧,交数轴于点 E,点 E 表示的实数是( )
A. 5 1 B. 5 1 C. 5 D.1 5
(第 3 题) (第 4 题)
4. 如图,直线 2y x 与 y 轴交于点 A,与反比例函数 ky x ( 0k )的图像交于点 C,
点 C 作 CB⊥x 轴于点 B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为( )
A. 3y x B. 3y x C. 3
2y x D. 3
2y x
5. 现在有 1080 本课外书,要用 A、B 两种不同的包装箱进行包装,如果单独使用 B 型包装
箱,则可比单独使用 A 型包装箱少用 6 个;已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱多装
15 本课外书.若设每个 A 型包装箱可以装书 x 本,则由题意可列得方程( )
A.1080 1080 615x x B.1080 1080 615x x
C. 1080 1080 615 xx D. 1080 1080 615 xx
第 1 页,共 16 页 6. 如图.在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标
为(1,3),将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那
么点 D 的坐标是( )
(第 6 题)
A.( 4
5 ,12
5
) B.( 4
5 , 9
5
) C.( 3
5 ,9
5
) D.( 3
5 ,12
5
)
二、填空题(本大题共 10 题,每小题 2 分,共 20 分)
7. 计算: 20173 27 1 .
8. 如果代数式 3
1
x
x
有意义,那么 x 的取值范围是 .
9. 因式分解: 3 16y y .
10.我们的生活离不开氧气.已知氧原子的半径大约是 0.000000000074 米,0.000000000074
米用科学记数法表示为 米.
11.关于 x 的一元二次方程 2 4 0x x k 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围
是 .
12. 若一组数据 2,3,4,5,x 的方差与另一组数据 5,6,7,8,9 的方差相等,则 x= .
13.如图,扇形 AOB 中,OA=10,∠AOB=36°.若将此扇形绕点 B 顺时针旋转,得一新扇
形 A′O′B,其中 A 点在 O′B 上,则点 O 的运动路径长为 cm(结果保留 π).
(第 13 题) (第 14 题)
14. 如图,正五边形 ABCDE 内接于圆 O,F 是圆 O 上一点,则∠CFD= °.
第 2 页,共 16 页 15. 二次函数 2y ax bx c ( 0a )的图像如图所示,对称轴是直线 1x ,下列结论:
① 0ab ;② 2 4b ac ;③ 2 0a b c ;④3 0a c ,其中正确的是 .
(第 15 题) (第 16 题)
16. 如图,以点 A(1, 3 )为圆心的⊙A 交 y 轴正半轴于 B,C 两点,且 OC= 3 1 ,点
D 是⊙A 上第一象限内的一点,连接 OD、CD.若 OD 与⊙A 相切,则 CD 的长
为 .
三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分)
17.(6 分)解不等式组
2 9
5 1 3 1
x x
x x
①
②
请结合题意填空,完成本题的解答.
⑴解不等式①,得 ;
⑵解不等式②,得 ;
⑶把该不等组的解集在数轴上表示出来.
18.(6 分)先化简,再求值:
2 2
2 2
2 1 4 1
2
x x x
x x x x x
,其中 x 为满足 3 2x 的整数.
第 3 页,共 16 页 19.(8 分)如图,已知 BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为 E.
⑴求证:△DCA≌△EAC;
⑵只需添加一个条件,即 ,可使四边形 ABCD 为矩形,请加以证明.
(第 19 题)
20.(8 分)为了解学生体育训练的情况,南京市从八年级学生中随机抽取部分学生进行了一
次体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级、B 级、C 级、D 级),并按那个测试
结果绘成了如下两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:
体育测试各等级学生人数扇形图 体育测试各等级学生人数条形图
(第 20 题)
⑴本次抽样测试的学生人数是 ;
⑵扇形图中∠α 的度数是 ,并把条形统计图补充完整;
⑶南京市八年级共有 45000 名学生,如果全部参加这次体育测试,请估计南京市八年级
学生中体育测试成绩为 D 等级的人数.
α
D级
C级
A级
B级40%
第 4 页,共 16 页 21.(8 分)某天,铁凡、茂旭、牛逊三人一起乘坐公交车,他们上车时发现公交车上还有 A,
B,W 三个空座位,且只有 A,B 两个座位相邻,若三人随机选择座位,试解决以下问题:
⑴铁凡选择座位 W 的概率是 ;
⑵茂旭与牛逊想坐在相邻位置“开黑”,但是他们三人位置只能随机选取,试用列表或画
树状图的方法求茂旭、牛逊选择相邻座位 A,B 的概率.
22.(8 分)如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°.
⑴实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,
不写作法).
①作△ABC 的外接圆 O;
②在 AB 的延长线上作一点 D,使得 CD 与⊙O 相切;
⑵综合与运用:在你所作的图中,若 AC=6,则由线段 CD,BD 及 BC 所围成图形的面积
为 .
(第 22 题)
第 5 页,共 16 页 23.(8 分)文具店某种文具进价为每件 20 元.市场调查反映:当售价为每件 30 元
时,平均每星期可售出 140 件;而当每件的售价涨 1 元时,平均每星期少售出
10 件.设每件涨价 x 元,平均每星期的总利润为 y 元.
⑴文具涨价后,每件文具的销售利润为 元,该文具店平均每星期销售量
为 件;(用含 x 的代数式表示).
⑵求 y 与 x 的函数关系式;
⑶如何定价才能使每星期的利润最大?且每星期的最大利润是多少?
24.(8 分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 42cm,灯罩 BC 长为 32cm,底座
厚度为 2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所
成的角为 30°,此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm?
(结果精确到 0.1cm,参考数据: 3 1.732 )
(第 24 题)
60°
30°
E
D
C
B
A
第 6 页,共 16 页 25.(8 分)甲、乙两人相约登山,甲、乙两人距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间
的函数图像如图所示,根据图像所提供的信息解答下列问题:
⑴图中有一个未知数t ,则t min.
⑵若乙提速后,乙登山的上升速度是甲登山的上升速度 3 倍,
①则甲登山的上升速度是 m/min;
②请求出甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式.
③当甲、乙两人垂直高度差为 70m 时,求 x 的值(直接写出满足条件的 x 值).
(第 25 题)
26.(8 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,BC 的延长线与过点 A 的直线
相交于点 E,且∠B=∠EAC.
⑴求证:AE 是⊙O 的切线;
⑵过点 C 作 CG⊥AD,垂足为 F,与 AB 交于点 G,若 AG•AB=36, 2tan 2B ,求 DF
的值.
(第 26 题)
t
y(米)
x(分)
乙 甲
E
D
C
B
A
O 1 11
300
100
30
15
O
G
F
E
D
C
B
A
第 7 页,共 16 页 27.(12 分)
我们定义一种三角形:两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.
定义理解:
根据奇异三角形的定义,请你解决下列问题:
⑴将线段 AB 绕点 A 旋转 60°得到线段 AB′,则△ABB′一定 奇异三角形(填“是”或“不是”).
⑵①若 Rt△ABC 是奇异三角形,且其中两边长分别为 2、 2 2 ,则第三边的长为 ;
②在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b a ,若 Rt△ABC 是奇异三角形,
求 : :a b c 的值.
问题解决:
⑶如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是 ADB 的中点,
C、D 在直径 AB 的两侧,若在⊙O 内存在点 E,使 AE=AD,CB=CE.
①求证:△ACE 是奇异三角形;
②当△ACE 是直角三角形,且 3AC 时,请求出⊙O 的半径.
第 8 页,共 16 页 数学参考答案
一、选择题(共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D B B C A
第 6 题解析
解:如图,过 D 作 DF⊥AO 于 F,
∵点 B 的坐标为(1,3),
∴BC=AO=1,AB=OC=3,
根据折叠可知:CD=BC=OA=1,∠CDE=∠B=∠AOE=90°,AD=AB=3,
在△CDE 和△AOE 中,
CDE AOE
CEO AEO
CD AO
,
∴△CDE≌△AOE(AAS),
∴OE=DE,AE=CE,
设 OE=x,那么 CE=3 x,DE=x,
∴在 Rt△DCE 中,CE2=DE2+CD2,
∴ 2 2 23 1x x ,
∴ 4
3x ,
∴ 4
3OE , 5
3AE ,
又∵DF⊥AF,
∴DF∥EO,
∴△AEO∽△ADF,
∴ AE EO AO
AD DF AF
∴ 12
5DF , 9
5AF ,
∴ 4
5OF ,
∴D 的坐标为:( 4
5 ,12
5
).
F O
E
D
C B
A
第 9 页,共 16 页 二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
题号 7 8 9 10 11
答案 2 3x 且
1x 4 4y y y 117.4 10 4k
题号 12 13 14 15 16
答案 1 或 6 4 36 ①②③ 3 1
第 16 题解析
解:连接 OA,连接 AC,过点 A 作 AE⊥OC 于 E,过点 D 作 DF⊥CF 交 CA 的延长线于 F.
∵A(1, 3 ),
∴ 221 3 2OA ,
∴CE=AE=1,AC=AD= 2 ,
∴OD= 2 ,
∴ 1sin 2
AEAOE AO ,
∴∠AOE=30°,
∴∠EAO=60°
∵AD=OD,∠ADO=90°,
∴△AOD 为等腰直角三角形,
∴∠EAC=∠OAD=45°,
∴∠DAF=180° 45° 60° 45°=30°,
∴ 2
2DF , 6
2AF , 62 2CF ,
在 Rt△CDF 中, 2 2 3 1CD CF FD .
三、解答题
17. (6 分)
解:⑴ 3x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
⑵ 2x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
⑶ 该不等式组解集在数轴表示如下图所示,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
F
E
y
x
D
O
C
B
A
第 10 页,共 16 页 18. (6 分)
解:原式
21 2 2 1
1 2
x x x
x x x x x
1 2x x xx x
2 3x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
由于 0x 且 1x 且 2x
所以 1x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
原式 2 3 5 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
19. (8 分)
⑴证明:在△DCA 和△EAC 中,
DC EA
AD CE
AC CA
,
∴△DCA≌△EAC(SSS);┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
⑵解:AD=BC,(答案不唯一) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
理由如下:∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形,
∵CE⊥AE,
∴∠E=90°,
由⑴得:△DCA≌△EAC,
∴∠D=∠E=90°,
∴四边形 ABCD 为矩形;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
20. (8 分)
解:⑴本次抽样测试的学生人数是:160÷40%=400(人); ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
⑵A 级所对应扇形圆心角度数为:120
400 ×360°=108°;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
第 11 页,共 16 页 C 级人数为:400 120 160 40 80(人),补全条形图如下图:
体育测试各等级学生人数条形图
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
⑶ 40 45000 4500400 (人),
答:如果全部参加这次体育测试,则 D 等级学生约有 4500 人. ┄┄┄┄┄┄┄8 分
21. (8 分)
解:⑴由于共有 A、B、W 三个座位,
∴铁凡选择座位 W 的概率为 1
3
,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
⑵画树状图如下:
┄┄┄┄┄┄┄4 分
由图可知,共有 6 种等可能结果,其中牛逊、茂旭选择相邻的座位有两种,
所以 P(牛逊、茂旭相邻) 2 1
6 3 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
40
80
160
120
D级C级B级A级 等级
人数
180
160
140
120
100
80
60
40
20
茂旭
牛逊
铁凡
开始
W
W
W
W
W B B
BB
B
A
A
A
A
A
第 12 页,共 16 页 22. (8 分)
解:⑴如下图所示即为所求
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
⑵线段 CD,BD 及 BC 所围成图形的面积
2
60 2 31 2 3 6 6 3 22 360DOC OBCS S S
△ 扇形 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
23. (8 分)
解:⑴ 10x 、140 10x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
⑵ 210 140 10 10 40 1400y x x x x ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
⑶∵ 2210 40 1400 10 2 1440y x x x ,
∴当 2x 时,y 取得最大值,最大值为 1440,
答:每件文具定价为 32 元时,每星期的利润最大,最大利润为 1440 元.┄┄┄8 分
24.(8 分)
解:由题意得:CE⊥AD,过点 B 作 BM⊥CE,BF⊥DA.
∵灯罩 BC 长为 32cm,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°,
∵CM⊥MB,
∴ 1sin 30 32 2
CM CM
BC ,
∴CM=16cm,
在 Rt△ABF 中, 3sin 60 42 2
BF BF
BA ,
解得: 21 3BF ,
又∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°,
∴四边形 BFDM 为矩形,
F
M
60°
30°
E
D
C
B
A
第 13 页,共 16 页 ∴MD=BF,
∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+ 21 3 +2≈54.4cm.
答:此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 54.4cm. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
25.(8 分)
解:⑴在 OA 段,乙每分钟走的路程为 15÷1=15(米/分),
则 t=30÷15=2, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
⑵①以提速后的速度为: 300 30 11 2 30 (米/分),
∴甲的速度为:30÷3=10m/min, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
②甲登山用的时间为: 300 100 10 20 (分钟),
设甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式 y kx b ,
代入(0,100)、(20,300)得
100
20 300
b
k b
,解得 10
100
k
b
即甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式是
10 100y x ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
③x 的值是 3,10,13. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
26.(8 分)
⑴证明:连接 CD.
∵∠B=∠D,AD 是直径,
∴∠ACD=90°,∠D+∠1=90°,∠B+∠1=90°,
∵∠B=∠EAC,
∴∠EAC+∠1=90°,
∴OA⊥AE,
∵A 为半径 OA 外端,
∴AE 是⊙O 的切线.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
⑵ ∵CG⊥AD.OA⊥AE,
∴CG∥AE,
∴∠2=∠3,
∵∠2=∠B,
第 14 页,共 16 页 ∴∠3=∠B,
∵∠CAG=∠CAB,
∴△ABC∽△ACG,
∴ AC AB
AG AC ,
∴AC2=AG•AB=36,
∴AC=6,
∵ 2tan tan 2D B ,
在 Rt△ACD 中, 2tan 2
ACD CD ,
2 6 6 2
2
CD , 226 6 2 6 3AD ,
∵∠D=∠D,∠ACD=∠CFD=90°,
∴△ACD∽△CFD,
∴ AD CD
CD FD ,
∴ 4 3DF ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
27.(12 分)
解:定义理解:
⑴是; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
⑵① 2 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
②∵∠C=90°,
∴ 2 2 2a b c ,
∵Rt ABC△ 是奇异三角形,且b a ,
∴ 2 2 22a c b ,
则
2 2 2
2 2 22
a b c
a c b
解得 2
3
b a
c a
,
∴ : : 1: 2 : 3a b c ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
问题解决
⑶①证明:∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
3
2
1O
G
F
E
D
C
B
A
第 15 页,共 16 页 在 Rt ACB△ 中, 2 2 2AC BC AB ,
在 Rt ADB△ 中, 2 2 2AD BD AB ,
∵D 是 ADB 的中点,
∴ AD BD ,
∴ AD BD ,
∴ 2 2 2 22AB AD BD AD ,
∵ 2 2 2 22BC AC AB AD ,
∵ CB CE , AE AD ,
∴ 2 2 22AC CE AE ,
∴ ACE△ 是奇异三角形; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
② 由①知: 2 2 22AC CE AE ,
∵ ACE△ 是直角三角形,
∴∠ACE≠90°,
所以分两种情况:
当∠AEC=90°,即 AC 为斜边,由⑵得到结论可知:
: : 3 : 2 :1AC AE CE ,
即 : : 3 :1AC BC AC CE ,
∴ 1BC ,
∴ 2 2 2AB AC BC ,即⊙O 的半径为 1; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
当∠CAE=90°时,即 CE 为斜边,由⑵得到结论可知:
: : 1: 2 : 3AC AE CE ,
即 : : 1: 3AC BC AC CE ,
∵ 3AC ,
∴ 3BC ,
∴ 2 2 2 3AB AC BC ,即⊙O 的半径为 3 ;
综上所述,⊙O 的半径为 1 或 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
第 16 页,共 16 页