2018年南京市中考数学考前模拟试卷(含答案)
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资料简介
2018 年南京中考考前模拟 数学试卷 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分) 1. 用式子表示“减去一个数等于加上这个数的相反数”,正确的是( ) A. a b c a b c     B. a b c a b c     C.    a b c a b c       D.  a b c a b c      2. 计算 3 21 2 ab    的结果是( ) A. 633 2 a b B. 531 2 a b C. 531 8 a b D. 631 8 a b 3. 如图,矩形 ABCD 的边 AD 长为 2,AB 长为 1,点 A 在数轴上对应的点是 1 ,以 A 点为 圆心,对角线 AC 长为半径画弧,交数轴于点 E,点 E 表示的实数是( ) A. 5 1 B. 5 1 C. 5 D.1 5 (第 3 题) (第 4 题) 4. 如图,直线 2y x   与 y 轴交于点 A,与反比例函数 ky x ( 0k  )的图像交于点 C, 点 C 作 CB⊥x 轴于点 B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为( ) A. 3y x B. 3y x  C. 3 2y x D. 3 2y x  5. 现在有 1080 本课外书,要用 A、B 两种不同的包装箱进行包装,如果单独使用 B 型包装 箱,则可比单独使用 A 型包装箱少用 6 个;已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱多装 15 本课外书.若设每个 A 型包装箱可以装书 x 本,则由题意可列得方程( ) A.1080 1080 615x x  B.1080 1080 615x x  C. 1080 1080 615 xx  D. 1080 1080 615 xx  第 1 页,共 16 页 6. 如图.在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标 为(1,3),将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那 么点 D 的坐标是( ) (第 6 题) A.( 4 5 ,12 5 ) B.( 4 5 , 9 5 ) C.( 3 5 ,9 5 ) D.( 3 5 ,12 5 ) 二、填空题(本大题共 10 题,每小题 2 分,共 20 分) 7. 计算:  20173 27 1    . 8. 如果代数式 3 1 x x   有意义,那么 x 的取值范围是 . 9. 因式分解: 3 16y y  . 10.我们的生活离不开氧气.已知氧原子的半径大约是 0.000000000074 米,0.000000000074 米用科学记数法表示为 米. 11.关于 x 的一元二次方程 2 4 0x x k   有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围 是 . 12. 若一组数据 2,3,4,5,x 的方差与另一组数据 5,6,7,8,9 的方差相等,则 x= . 13.如图,扇形 AOB 中,OA=10,∠AOB=36°.若将此扇形绕点 B 顺时针旋转,得一新扇 形 A′O′B,其中 A 点在 O′B 上,则点 O 的运动路径长为 cm(结果保留 π). (第 13 题) (第 14 题) 14. 如图,正五边形 ABCDE 内接于圆 O,F 是圆 O 上一点,则∠CFD= °. 第 2 页,共 16 页 15. 二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图像如图所示,对称轴是直线 1x  ,下列结论: ① 0ab  ;② 2 4b ac ;③ 2 0a b c   ;④3 0a c  ,其中正确的是 . (第 15 题) (第 16 题) 16. 如图,以点 A(1, 3 )为圆心的⊙A 交 y 轴正半轴于 B,C 两点,且 OC= 3 1 ,点 D 是⊙A 上第一象限内的一点,连接 OD、CD.若 OD 与⊙A 相切,则 CD 的长 为 . 三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分) 17.(6 分)解不等式组   2 9 5 1 3 1 x x x x       ① ② 请结合题意填空,完成本题的解答. ⑴解不等式①,得 ; ⑵解不等式②,得 ; ⑶把该不等组的解集在数轴上表示出来. 18.(6 分)先化简,再求值: 2 2 2 2 2 1 4 1 2 x x x x x x x x         ,其中 x 为满足 3 2x   的整数. 第 3 页,共 16 页 19.(8 分)如图,已知 BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为 E. ⑴求证:△DCA≌△EAC; ⑵只需添加一个条件,即 ,可使四边形 ABCD 为矩形,请加以证明. (第 19 题) 20.(8 分)为了解学生体育训练的情况,南京市从八年级学生中随机抽取部分学生进行了一 次体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级、B 级、C 级、D 级),并按那个测试 结果绘成了如下两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题: 体育测试各等级学生人数扇形图 体育测试各等级学生人数条形图 (第 20 题) ⑴本次抽样测试的学生人数是 ; ⑵扇形图中∠α 的度数是 ,并把条形统计图补充完整; ⑶南京市八年级共有 45000 名学生,如果全部参加这次体育测试,请估计南京市八年级 学生中体育测试成绩为 D 等级的人数. α D级 C级 A级 B级40% 第 4 页,共 16 页 21.(8 分)某天,铁凡、茂旭、牛逊三人一起乘坐公交车,他们上车时发现公交车上还有 A, B,W 三个空座位,且只有 A,B 两个座位相邻,若三人随机选择座位,试解决以下问题: ⑴铁凡选择座位 W 的概率是 ; ⑵茂旭与牛逊想坐在相邻位置“开黑”,但是他们三人位置只能随机选取,试用列表或画 树状图的方法求茂旭、牛逊选择相邻座位 A,B 的概率. 22.(8 分)如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°. ⑴实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹, 不写作法). ①作△ABC 的外接圆 O; ②在 AB 的延长线上作一点 D,使得 CD 与⊙O 相切; ⑵综合与运用:在你所作的图中,若 AC=6,则由线段 CD,BD 及 BC 所围成图形的面积 为 . (第 22 题) 第 5 页,共 16 页 23.(8 分)文具店某种文具进价为每件 20 元.市场调查反映:当售价为每件 30 元 时,平均每星期可售出 140 件;而当每件的售价涨 1 元时,平均每星期少售出 10 件.设每件涨价 x 元,平均每星期的总利润为 y 元. ⑴文具涨价后,每件文具的销售利润为 元,该文具店平均每星期销售量 为 件;(用含 x 的代数式表示). ⑵求 y 与 x 的函数关系式; ⑶如何定价才能使每星期的利润最大?且每星期的最大利润是多少? 24.(8 分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 42cm,灯罩 BC 长为 32cm,底座 厚度为 2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所 成的角为 30°,此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm? (结果精确到 0.1cm,参考数据: 3 1.732 ) (第 24 题) 60° 30° E D C B A 第 6 页,共 16 页 25.(8 分)甲、乙两人相约登山,甲、乙两人距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间 的函数图像如图所示,根据图像所提供的信息解答下列问题: ⑴图中有一个未知数t ,则t  min. ⑵若乙提速后,乙登山的上升速度是甲登山的上升速度 3 倍, ①则甲登山的上升速度是 m/min; ②请求出甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式. ③当甲、乙两人垂直高度差为 70m 时,求 x 的值(直接写出满足条件的 x 值). (第 25 题) 26.(8 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,BC 的延长线与过点 A 的直线 相交于点 E,且∠B=∠EAC. ⑴求证:AE 是⊙O 的切线; ⑵过点 C 作 CG⊥AD,垂足为 F,与 AB 交于点 G,若 AG•AB=36, 2tan 2B  ,求 DF 的值. (第 26 题) t y(米) x(分) 乙 甲 E D C B A O 1 11 300 100 30 15 O G F E D C B A 第 7 页,共 16 页 27.(12 分) 我们定义一种三角形:两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形. 定义理解: 根据奇异三角形的定义,请你解决下列问题: ⑴将线段 AB 绕点 A 旋转 60°得到线段 AB′,则△ABB′一定 奇异三角形(填“是”或“不是”). ⑵①若 Rt△ABC 是奇异三角形,且其中两边长分别为 2、 2 2 ,则第三边的长为 ; ②在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b a ,若 Rt△ABC 是奇异三角形, 求 : :a b c 的值. 问题解决: ⑶如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是 ADB 的中点, C、D 在直径 AB 的两侧,若在⊙O 内存在点 E,使 AE=AD,CB=CE. ①求证:△ACE 是奇异三角形; ②当△ACE 是直角三角形,且 3AC  时,请求出⊙O 的半径. 第 8 页,共 16 页 数学参考答案 一、选择题(共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B C A 第 6 题解析 解:如图,过 D 作 DF⊥AO 于 F, ∵点 B 的坐标为(1,3), ∴BC=AO=1,AB=OC=3, 根据折叠可知:CD=BC=OA=1,∠CDE=∠B=∠AOE=90°,AD=AB=3, 在△CDE 和△AOE 中, CDE AOE CEO AEO CD AO         , ∴△CDE≌△AOE(AAS), ∴OE=DE,AE=CE, 设 OE=x,那么 CE=3  x,DE=x, ∴在 Rt△DCE 中,CE2=DE2+CD2, ∴  2 2 23 1x x   , ∴ 4 3x  , ∴ 4 3OE  , 5 3AE  , 又∵DF⊥AF, ∴DF∥EO, ∴△AEO∽△ADF, ∴ AE EO AO AD DF AF  ∴ 12 5DF  , 9 5AF  , ∴ 4 5OF  , ∴D 的坐标为:( 4 5 ,12 5 ). F O E D C B A 第 9 页,共 16 页 二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 题号 7 8 9 10 11 答案 2 3x   且 1x    4 4y y y  117.4 10 4k  题号 12 13 14 15 16 答案 1 或 6 4 36 ①②③ 3 1 第 16 题解析 解:连接 OA,连接 AC,过点 A 作 AE⊥OC 于 E,过点 D 作 DF⊥CF 交 CA 的延长线于 F. ∵A(1, 3 ), ∴  221 3 2OA    , ∴CE=AE=1,AC=AD= 2 , ∴OD= 2 , ∴ 1sin 2 AEAOE AO   , ∴∠AOE=30°, ∴∠EAO=60° ∵AD=OD,∠ADO=90°, ∴△AOD 为等腰直角三角形, ∴∠EAC=∠OAD=45°, ∴∠DAF=180°  45°  60°  45°=30°, ∴ 2 2DF  , 6 2AF  , 62 2CF   , 在 Rt△CDF 中, 2 2 3 1CD CF FD    . 三、解答题 17. (6 分) 解:⑴ 3x   ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵ 2x  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ⑶ 该不等式组解集在数轴表示如下图所示, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 F E y x D O C B A 第 10 页,共 16 页 18. (6 分) 解:原式          21 2 2 1 1 2 x x x x x x x x           1 2x x xx x        2 3x  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 由于 0x  且 1x  且 2x   所以 1x   ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 原式 2 3 5     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 19. (8 分) ⑴证明:在△DCA 和△EAC 中, DC EA AD CE AC CA      , ∴△DCA≌△EAC(SSS);┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑵解:AD=BC,(答案不唯一) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 理由如下:∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵CE⊥AE, ∴∠E=90°, 由⑴得:△DCA≌△EAC, ∴∠D=∠E=90°, ∴四边形 ABCD 为矩形;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 20. (8 分) 解:⑴本次抽样测试的学生人数是:160÷40%=400(人); ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵A 级所对应扇形圆心角度数为:120 400 ×360°=108°;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 第 11 页,共 16 页 C 级人数为:400  120  160  40  80(人),补全条形图如下图: 体育测试各等级学生人数条形图 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ⑶ 40 45000 4500400   (人), 答:如果全部参加这次体育测试,则 D 等级学生约有 4500 人. ┄┄┄┄┄┄┄8 分 21. (8 分) 解:⑴由于共有 A、B、W 三个座位, ∴铁凡选择座位 W 的概率为 1 3 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵画树状图如下: ┄┄┄┄┄┄┄4 分 由图可知,共有 6 种等可能结果,其中牛逊、茂旭选择相邻的座位有两种, 所以 P(牛逊、茂旭相邻) 2 1 6 3  . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 40 80 160 120 D级C级B级A级 等级 人数 180 160 140 120 100 80 60 40 20 茂旭 牛逊 铁凡 开始 W W W W W B B BB B A A A A A 第 12 页,共 16 页 22. (8 分) 解:⑴如下图所示即为所求 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ⑵线段 CD,BD 及 BC 所围成图形的面积  2 60 2 31 2 3 6 6 3 22 360DOC OBCS S S            △ 扇形 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 23. (8 分) 解:⑴ 10x  、140 10x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵    210 140 10 10 40 1400y x x x x       ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑶∵  2210 40 1400 10 2 1440y x x x        , ∴当 2x  时,y 取得最大值,最大值为 1440, 答:每件文具定价为 32 元时,每星期的利润最大,最大利润为 1440 元.┄┄┄8 分 24.(8 分) 解:由题意得:CE⊥AD,过点 B 作 BM⊥CE,BF⊥DA. ∵灯罩 BC 长为 32cm,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°, ∵CM⊥MB, ∴ 1sin 30 32 2 CM CM BC    , ∴CM=16cm, 在 Rt△ABF 中, 3sin 60 42 2 BF BF BA    , 解得: 21 3BF  , 又∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°, ∴四边形 BFDM 为矩形, F M 60° 30° E D C B A 第 13 页,共 16 页 ∴MD=BF, ∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+ 21 3 +2≈54.4cm. 答:此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 54.4cm. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 25.(8 分) 解:⑴在 OA 段,乙每分钟走的路程为 15÷1=15(米/分), 则 t=30÷15=2, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵①以提速后的速度为:   300 30 11 2 30    (米/分), ∴甲的速度为:30÷3=10m/min, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ②甲登山用的时间为: 300 100 10 20   (分钟), 设甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式 y kx b  , 代入(0,100)、(20,300)得 100 20 300 b k b     ,解得 10 100 k b    即甲登山过程中,距地面的高度 y(m)与登山时间 x(min)之间的函数关系式是 10 100y x  ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ③x 的值是 3,10,13. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 26.(8 分) ⑴证明:连接 CD. ∵∠B=∠D,AD 是直径, ∴∠ACD=90°,∠D+∠1=90°,∠B+∠1=90°, ∵∠B=∠EAC, ∴∠EAC+∠1=90°, ∴OA⊥AE, ∵A 为半径 OA 外端, ∴AE 是⊙O 的切线.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑵ ∵CG⊥AD.OA⊥AE, ∴CG∥AE, ∴∠2=∠3, ∵∠2=∠B, 第 14 页,共 16 页 ∴∠3=∠B, ∵∠CAG=∠CAB, ∴△ABC∽△ACG, ∴ AC AB AG AC , ∴AC2=AG•AB=36, ∴AC=6, ∵ 2tan tan 2D B  , 在 Rt△ACD 中, 2tan 2 ACD CD  , 2 6 6 2 2 CD   ,  226 6 2 6 3AD    , ∵∠D=∠D,∠ACD=∠CFD=90°, ∴△ACD∽△CFD, ∴ AD CD CD FD , ∴ 4 3DF  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 27.(12 分) 解:定义理解: ⑴是; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ⑵① 2 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ②∵∠C=90°, ∴ 2 2 2a b c  , ∵Rt ABC△ 是奇异三角形,且b a , ∴ 2 2 22a c b  , 则 2 2 2 2 2 22 a b c a c b      解得 2 3 b a c a    , ∴ : : 1: 2 : 3a b c  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 问题解决 ⑶①证明:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°, 3 2 1O G F E D C B A 第 15 页,共 16 页 在 Rt ACB△ 中, 2 2 2AC BC AB  , 在 Rt ADB△ 中, 2 2 2AD BD AB  , ∵D 是 ADB 的中点, ∴  AD BD , ∴ AD BD , ∴ 2 2 2 22AB AD BD AD   , ∵ 2 2 2 22BC AC AB AD   , ∵ CB CE , AE AD , ∴ 2 2 22AC CE AE  , ∴ ACE△ 是奇异三角形; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ② 由①知: 2 2 22AC CE AE  , ∵ ACE△ 是直角三角形, ∴∠ACE≠90°, 所以分两种情况: 当∠AEC=90°,即 AC 为斜边,由⑵得到结论可知: : : 3 : 2 :1AC AE CE  , 即 : : 3 :1AC BC AC CE  , ∴ 1BC  , ∴ 2 2 2AB AC BC   ,即⊙O 的半径为 1; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 当∠CAE=90°时,即 CE 为斜边,由⑵得到结论可知: : : 1: 2 : 3AC AE CE  , 即 : : 1: 3AC BC AC CE  , ∵ 3AC  , ∴ 3BC  , ∴ 2 2 2 3AB AC BC   ,即⊙O 的半径为 3 ; 综上所述,⊙O 的半径为 1 或 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 第 16 页,共 16 页

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