重庆市名校联盟2014~2015学年第一期期中联合考试
高2015级 数学(理工农医类)试题
数学试题卷(理工农医类)共2页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净,再选涂其他答案标号。
3.所有试题必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
4.答非选择题时,必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。
一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案在答题卡的相应位置填涂。)
1.复数在复平面上对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.命题“存在”的否定是( )
A.不存在 B. 存在
C.对任意的 D.对任意的
3.设则( )
A. B. C. D.
4.已知向量,且∥,则实数( )
A.3 B.0 C. D.
5.已知是定义在上的奇函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
6.正项数列满足:,则数列的前项和( )
A. B. C. D.
7.若函数,又,且的最小值为,则正数的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数=1+x-+-+…+,则下列结论正确的是( )
A.在(0,1)上恰有一个零点 B.在(0,1)上恰有两个零点
C.在(-1,0)上恰有两个零点 D.在(-1,0)上恰有一个零点
9.等比数列中,,则数列的前10项和等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.已知函数与的图象上存在关于 轴对称的点,则的取值范围是( )
A. B. C.
5
D.
二、填空题(共5个小题,每小题5分,共25分,请把答案填写在答题卡相应的位置。)
11.设集合,,则____________.
12.已知数列满足递推关系式:,且为等差数列,则的取值为____________.
13.函数在点处的切线方程为________________.
14.已知曲线C1关于t的参数方程是.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为________________.
15.若存在,使得成立,则的取值范围为_____________.
三、解答题:(本大题共6个小题,共75分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
16.(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)
已知分别为的三内角的对边,且
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若,求面积的最大值.
17.(本小题满分13分,(I)小问6分,(II)小问7分)
设,其中,曲线在处的切线都与直线平行.
(Ⅰ)确定的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值.
18.(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)
已知函数
且,若的图象上相邻两个最高点的距离为,
且当时,函数的最小值为0.
(1)求函数的表达式;
(2)在中,若,且,求的值.
19.(本小题满分12分,(I)小问6分,(II)小问6分)
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn>1,且
(I)求数列的通项公式;
(II)若不等式对任意的正整数n恒成立,求实数x的取值范围。
20.(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)
设函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若,为整数,且当时,,求k的最大值.
21.(本小题满分12分,(I)小问4分,(II)小问7分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在柱上,现要将套在柱上的盘换到柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子可供使用.
现用表示将个圆盘全部从柱上移到
5
柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:
(I)写出 并求出
(II)证明:(n∈N*).
名校联盟2014~2015学年度第一学期半期联合考试
高2015级 数学试题参考答案(理工农医类)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
B
C
A
D
A
B
10.【提示】由题意得时,有解,即有正根,等价于函数与函数的图象在有交点,结合图象得:,或,从而,故选B.
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 12. 13. 14. 15.或
三、解答题:(本大题共6个小题,共75分)
16.解:(Ⅰ)因为 由正弦定理得
………………………(3分)
又 所以………………………………………………………………(7分)
本题也可用余弦定理求解
(Ⅱ)因为, 由余弦定理得
当且仅当时取等号 即
……………………………………………………………(13分)
17.解:(I)因
所以………………………………………………………………(2分)
由题意的得
故.………………………………………………………………………(6分)
(II)由(1)知,(x>0),
f ′(x)=x-5+=.…………………………………………………(7分)
令f ′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<x<2或x>3时,f ′(x)>0,故f(x)在(0, 2),(3,+∞)上为增函数;
当2<x<3时,f ′(x)<0,故f(x)在(2, 3)上为减函数.
由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=7+6ln 2,
在x=3处取得极小值f(3)=+6ln 3. ……………………………………………(13分)
18.解:(1)…………(1分)
5
= cos 2ωx+sin 2ωx+t=2sin(2ωx+)+t. ……………………………………(4分)
依题意的周期T=3π,且ω>0,∴T===3π.
∴ω=,∴f(x)=2sin+t.
∵x∈[0,π],∴≤+≤,∴≤sin≤1,
∴的最小值为t+1,即t+1=0,∴t=-1.∴f(x)=2sin-1. ……(7分)
(2)∵=2sin-1=1,∴sin=1.
又∵∠C∈(0,π),∴∠C=.………………………………………………………(9分)
在Rt△ABC中,∵A+B=,2sin2B=cos B+cos(A-C),
∴2cos2A=sin A+sin A,sin2A+sin A-1=0. ……………………………………(11分)
解得sin A=. 又∵0