山东省淄博市沂源一中2014-2015学年高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

‎2014-2015学年山东省淄博市沂源一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的选项．‎ ‎1．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（　　）‎ ‎　 A． p真q假 B． p假q真 C． p真q真 D． p假q假 ‎　‎ ‎2．若a＞b，则下列不等式中恒成立的是（　　）‎ ‎　 A． B． lga＞lgb C． 2a＞2b D． a2＞b2‎ ‎　‎ ‎3．已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（　　）‎ ‎　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 24‎ ‎　‎ ‎4．方程x2+xy=x表示的曲线是（　　）‎ ‎　 A． 一个点 B． 一条直线 ‎　 C． 两条直线 D． 一个点和一条直线 ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＞，则△ABC的形状是（　　）‎ ‎　 A． 等腰三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 直角三角形 ‎　‎ ‎6．设f（x）=3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则实数a的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． B． a＜﹣1 C． D． ‎ ‎　‎ ‎7．数列{an}满足：a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N），则a2014=（　　）‎ ‎　 A． 1 B． 2 C． D． 2﹣2014‎ ‎　‎ - 9 -‎ ‎8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（　　）‎ ‎　 A． 5海里 B． 5海里 C． 10海里 D． 10海里 ‎　‎ ‎9．直角三角形的斜边长为m，则其内切圆半径的最大值为（　　）‎ ‎　 A． m B． m C． m D． （﹣1）m ‎　‎ ‎10．若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． A． p真q假 B． p假q真 C． p真q真 D． p假q假 考点： 复合命题的真假．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意，命题“p或q”为真命题，则p、q至少一个为真命题；命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，故可得答案．‎ 解答： 解：由题意，命题“p或q”为真命题，则p、q至少一个为真命题；‎ 命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查命题的真假判断，解题时要熟练掌握判断真假命题的技巧．p或q命题一真则真，全假为假；p且q一假即假，全真为真．‎ ‎　‎ ‎2．若a＞b，则下列不等式中恒成立的是（　　）‎ ‎　 A． B． lga＞lgb C． 2a＞2b D． a2＞b2‎ 考点： 不等关系与不等式；函数单调性的性质；不等式比较大小．‎ - 9 -‎ 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： 利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出．‎ 解答： 解：∵函数y=2x在R上单调递增，而a＞b，‎ ‎∴2a＞2b．‎ 故选C．‎ 点评： 熟练掌握不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（　　）‎ ‎　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 24‎ 考点： 等差数列；等差数列的通项公式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，代入已知可得答案．‎ 解答： 解：由等差数列的性质可得：‎ a2+a11=a5+a8=a6+a7，‎ 因为a2+a5+a8+a11=48，所以2（a6+a7）=48，‎ 故a6+a7=24，‎ 故选D 点评： 本题考查等差数列的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．方程x2+xy=x表示的曲线是（　　）‎ ‎　 A． 一个点 B． 一条直线 ‎　 C． 两条直线 D． 一个点和一条直线 考点： 轨迹方程．‎ 专题： 计算题；直线与圆．‎ 分析： 方程等价变形为即 x（x+y﹣1）=0，化简可得 x=0或 x+y﹣1=0，表示两条直线．‎ 解答： 解：方程x2+xy=x 即 x（x+y﹣1）=0，‎ 化简可得 x=0或 x+y﹣1=0．‎ 而x=0表示一条直线，x+y﹣1=0也表示一条直线，‎ - 9 -‎ 故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查方程的曲线，化简方程，将方程进行等价变形，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＞，则△ABC的形状是（　　）‎ ‎　 A． 等腰三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 直角三角形 考点： 三角形的形状判断．‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 利用正弦定理可得sinAcosC＞sinB，再利用两角和的正弦计算可得cosA＜0，从而可得答案．‎ 解答： 解：△ABC中，∵cosC＞，‎ ‎∴由正弦定理得：cosC＞，又sinA＞0，‎ ‎∴sinAcosC＞sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∴cosAsinC＜0，又sinC＞0，‎ ‎∴cosA＜0，A为钝角，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．设f（x）=3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则实数a的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． B． a＜﹣1 C． D． ‎ 考点： 函数的零点与方程根的关系．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据已知中函数f（x）=3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，根据函数零点存在定理，我们易得f（﹣1）•f（1）＜0，进而得到一个关于实数a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．‎ - 9 -‎ 解答： 解：∵函数f（x）=3ax﹣2a+1为一次函数 ‎∴函数f（x）=3ax﹣2a+1在区间（﹣1，1）上单调，‎ 又∵存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，‎ ‎∴f（﹣1）•f（1）＜0‎ 即（﹣3a﹣2a+1）•（3a﹣2a+1）＜0‎ 解得 故选C 点评： 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中根据零点存在定理，结合已知条件得到一个关于实数a的不等式，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．数列{an}满足：a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N），则a2014=（　　）‎ ‎　 A． 1 B． 2 C． D． 2﹣2014‎ 考点： 数列递推式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 首先根据递推关系式，求出一部分的值，在观察出数列的各项具备的规律，利用周期最后求出结果．‎ 解答： 解：数列{an}满足：a1=1，a2=2，‎ 利用an=（n≥3且n∈N），‎ 则：‎ ‎1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，…‎ 所以：数列的周期为：6‎ ‎2014=335×6+4‎ 所以：a2014=a4=1‎ 故选：A - 9 -‎ 点评： 本题考查的知识要点：数列递推关系式的应用，数列的周期性在运算中的应用．属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（　　）‎ ‎　 A． 5海里 B． 5海里 C． 10海里 D． 10海里 考点： 解三角形的实际应用．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度．‎ 解答： 解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，‎ 所以∠CAD=∠CDA=15°，‎ 从而CD=CA=10，‎ 在直角三角形ABC中，得AB=5，‎ 于是这艘船的速度是=10（海里/小时）．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎9．直角三角形的斜边长为m，则其内切圆半径的最大值为（　　）‎ ‎　 A． m B． m C． m D． （﹣1）m 考点： 基本不等式．‎ 专题： 解三角形．‎ - 9 -‎ 分析： 设此直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2=m2．其内切圆半径R=．利用（a+b）2≤2（a2+b2）=2m2，即可得出．‎ 解答： 解：设此直角三角形的直角边分别为a，b，则a2+b2=m2．‎ 其内切圆半径R=．‎ ‎∵（a+b）2≤2（a2+b2）=2m2，当且仅当a=b=m时取等号．‎ ‎∴．‎ ‎∴R．‎ ‎∴其内切圆半径的最大值为．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． ﹣49=﹣n2+20n﹣49 ‎ 由y=﹣n2+20n﹣49＞0得10﹣＜n＜10+‎ 又∵n∈N*，∴n=3，4‎ ‎∴n=3时，即该渔业公司第3年开始获利．‎ 答：第3年开始获利；‎ ‎（2）方案①：年平均获利为=﹣n﹣+20≤﹣2+20=6（万元）‎ 当n=7时，年平均获利最大，若此时卖出，共获利6×7+18=60（万元）‎ 方案②：y=﹣n2+20n﹣49=﹣（n﹣10）2+51‎ 当且仅当n=10时，即该渔业公司第10年总额最大，若此时卖出，共获利51+9=60万元　‎ 因为两种方案获利相等，但方案②所需的时间长，所以方案①较合算．‎ 答：方案①较合算．‎ 点评： 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的建模思想，训练了利用基本不等式求最值，考查了配方法，属中档题型．‎ ‎　‎ - 9 -‎ ‎21．已知正项数列{an}的前项n和为Sn，满足3Sn=1﹣an，且bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{cn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）若cn≤（3t2+5t﹣1）对一切n∈N*恒成立，求t的取值范围．‎ 考点： 数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）首先利用递推关系式求出，然后根据已知条件利用定义法证明数列是等差数列．‎ ‎（2）根据（1）的结论进一步利用乘公比错位相减法求数列的前n项和．‎ ‎（3）进一步利用恒成立问题求参数的取值范围，其中要求出数列{cn}的最大项．最后确定参数的取值范围．‎ 解答： 解：（1）由题意知：，‎ 因为当n≥2时，，‎ 所以4an=an﹣1，所以（n≥2），‎ 当n=1时，=a1，‎ 所以，‎ 所以{an}是以为首项是以为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 因为bn+2=3logan（n∈N*），所以bn=3n﹣2，‎ 所以bn﹣1=3n﹣5，‎ bn﹣bn﹣1=3（n≥2），所以{bn}是等差数列．‎ ‎（2）由（1）知cn=an•bn=‎ - 9 -‎ Tn=c1+c2+c3+…+cn ‎=①‎ 所以：②‎ ‎①﹣②得+…+‎ ‎=，‎ 整理后得到：．‎ ‎（3）若cn≤（3t2+5t﹣1）对一切n∈N*恒成立，‎ 只需，‎ 又，‎ c1=c2＞c3＞c4＞…‎ 所以最大值为．‎ 所以：‎ 即3t2+5t﹣2≥0‎ 解得：．‎ 点评： 本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等差数列，递推关系式的应用，乘公比错位相减法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围．‎ ‎　‎ - 9 -‎