山东省菏泽一中2014-2015学年高二数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

‎ 2014-2015学年山东省菏泽一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ ‎　 A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x ‎　‎ ‎2．下列命题正确的是（　　）‎ ‎　 A． 若a＞b，则ac2＞bc2 B． 若a＞﹣b，则﹣a＞b ‎　 C． 若ac＞bc，则a＞b D． 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎　‎ ‎3．下列命题中，假命题是（　　）‎ ‎　 A． ∀x∈R，3x﹣2＞0 B． ∃x0∈R，tanx0=2‎ ‎　 C． ∃x0∈R，log2x0＜2 D． ∀x∈N*，（x﹣2）2＞0‎ ‎　‎ ‎4．不等式3+5x﹣2x2≤0的解集是（　　）‎ ‎　 A． {x|x＞3或x＜} B． {x|﹣≤x≤3} C． 或{x|x≥3或x≤} D． R ‎　‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和是Sn，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（　　）‎ ‎　 A． 55 B． 60 C． 65 D． 70‎ ‎　‎ ‎6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（　　）‎ ‎　 A． ﹣+ B． ﹣++ C． D． ‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若S△ABC=（a2+b2﹣c2），那么C等于（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎8．一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）‎ ‎　 A． a＜0 B． a＞0 C． a＜﹣1 D． a＞1‎ ‎　‎ ‎9．已知向量=（2﹣2y，x），=（x+2y，3y），且，的夹角为钝角，则在xOy平面上，点（x，y）所在的区域是（　　）‎ 18‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ ‎　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎11．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为　　　　　　海里/小时．‎ ‎　‎ ‎13．设f（x）定义如下面数表，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），则x2014的值为　　　　　　．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，目标函数z=ax﹣y取得最大值的唯一最优解解是（2，），则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ 18‎ ‎15．如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是　　　　　　万元．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16．已知命题p：方程+=1的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又 p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（1）求A的大小； ‎ ‎（2）若，，求a．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．‎ ‎（1）证明：BE⊥C D′；‎ ‎（2）求二面角D′﹣BC﹣E的正切值．‎ ‎　‎ ‎19．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．‎ ‎（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）‎ ‎　‎ ‎20．在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣kan（k≠0）对任意n∈N*成立，令bn=an+1﹣an，且{bn}是等比数列．‎ 18‎ ‎（1）求实数k的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求和：Sn=b1+2b2+3b3+…nbn．‎ ‎　‎ ‎21．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ 18‎ ‎2014-2015学年山东省菏泽一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ ‎　 A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ 解答： 解：双曲线，‎ 其渐近线方程，‎ 整理得y=±．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题正确的是（　　）‎ ‎　 A． 若a＞b，则ac2＞bc2 B． 若a＞﹣b，则﹣a＞b ‎　 C． 若ac＞bc，则a＞b D． 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c 考点： 命题的真假判断与应用．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．‎ 解答： 解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；‎ 若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；‎ 若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；‎ 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确 故选D 点评： 本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题中，假命题是（　　）‎ ‎　 A． ∀x∈R，3x﹣2＞0 B． ∃x0∈R，tanx0=2‎ 18‎ ‎　 C． ∃x0∈R，log2x0＜2 D． ∀x∈N*，（x﹣2）2＞0‎ 考点： 全称命题；特称命题．‎ 专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．‎ 分析： 根据指数函数，对数函数，正切函数，二次函数的图象和性质，分别判断四个答案的真假，可得答案．‎ 解答： 解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：∀x∈R，3x﹣2＞0为真命题；‎ 由正切函数的值域为R可得：∃x0∈R，tanx0=2为真命题；‎ 由对数函数的值域为R可得：∃x0∈R，log2x0＜2为真命题；‎ 当x=2时，（x﹣2）2=0，故∀x∈N*，（x﹣2）2＞0为假命题，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查的知识点是全称命题，函数的值域，是函数与命题的综合应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．不等式3+5x﹣2x2≤0的解集是（　　）‎ ‎　 A． {x|x＞3或x＜} B． {x|﹣≤x≤3} C． 或{x|x≥3或x≤} D． R 考点： 一元二次不等式的解法．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 利用一元二次不等式的解法即可得出．‎ 解答： 解：由3+5x﹣2x2≤0化为2x2﹣5x﹣3≥0，解得x≥3或x．‎ 故解集为．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和是Sn，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（　　）‎ ‎　 A． 55 B． 60 C． 65 D． 70‎ 考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由等差数列{an}中，a1+a2=5，a3+a4=9，知，解得a1=2，d=1，由此能求出S10的值．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}中，‎ a1+a2=5，a3+a4=9，‎ ‎∴，‎ 解得a1=2，d=1，‎ 18‎ ‎∴×1=65．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（　　）‎ ‎　 A． ﹣+ B． ﹣++ C． D． ‎ 考点： 向量加减混合运算及其几何意义．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．‎ 解答： 解：因为空间四边形OABC如图，，， ，‎ 点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，‎ 所以=．‎ 所以=．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查空间向量的基本运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若S△ABC=（a2+b2﹣c2），那么C等于（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 余弦定理．‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 由三角形的面积公式化简式子，再结合余弦定理求出tanC=1，结合内角的范围求出角C的值．‎ 18‎ 解答： 解：由题意得，S△ABC=（a2+b2﹣c2），‎ 所以=（a2+b2﹣c2），即sinC=，‎ 由余弦定理得，cosC=，‎ 则sinC=cosC，即tanC=1，‎ 又0＜C＜π，所以C=，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理法公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）‎ ‎　 A． a＜0 B． a＞0 C． a＜﹣1 D． a＞1‎ 考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．‎ 解答： 解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，即a＜0，‎ 而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣1‎ 故应选 C 点评： 本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．‎ ‎　‎ ‎9．已知向量=（2﹣2y，x），=（x+2y，3y），且，的夹角为钝角，则在xOy平面上，点（x，y）所在的区域是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算；二元一次不等式（组）与平面区域．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 由，的夹角为钝角，得到•＜0，再转化为向量的坐标关系，从而得x与y的不等关系，由此关系可得不等关系表示的平面区域．‎ 18‎ 解答： 解：，的夹角为钝角，=（2﹣2y，x），=（x+2y，3y），‎ ‎∴•＜0，‎ ‎∴（x﹣2y）（x+2y）+3xy=x2﹣4y2﹣3xy=（x+4y）（x﹣y）＜0‎ ‎∴①或 则不等式组①表示直线x+4y=0右上方与直线x﹣y=0左上方的公共区域，‎ 不等式组②表示直线x+4y=0左下方与直线x﹣y=0右下方的公共区域，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了向量积的坐标运算及夹角的向量表示，二元一次不等式组表示的平面区域等，求解时应注意等价思想的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ ‎　A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ 考点： 异面直线及其所成的角．‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： 延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．‎ 解答： 解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，‎ ‎∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，‎ 又A1D=A1B=DB=AB，‎ 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 故选C．‎ 点评： 本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎11．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为　y2=﹣4x　．‎ 考点： 抛物线的标准方程．‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 18‎ 分析： 设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．‎ 解答： 解：设抛物线方程为y2=mx，‎ 代入P（﹣2，2），可得，‎ ‎8=﹣2m，即有m=﹣4，‎ 则抛物线的方程为y2=﹣4x．‎ 故答案为：y2=﹣4x．‎ 点评： 本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为　　海里/小时．‎ 考点： 已知三角函数模型的应用问题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．‎ 解答： 解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．‎ 在△PMN中，由正弦定理，得 ‎=，‎ ‎∴MN=68×=34 ．‎ 又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），‎ ‎∴船的航行速度v==（海里/时）；‎ 故答案为：．‎ 18‎ 点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎13．设f（x）定义如下面数表，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），则x2014的值为　1　．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ 考点： 数列的函数特性．‎ 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．‎ 分析： 数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：‎ 可得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，于是得到xn+4=xn，进而得出答案．‎ 解答： 解：∵数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：‎ ‎∴x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，‎ ‎∴xn+4=xn，‎ ‎∴x2014=x503×4+2=x2=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查了数列的周期性，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，目标函数z=ax﹣y取得最大值的唯一最优解解是（2，），则实数a的取值范围是　　．‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 画出约束条件的可行域，通过目标函数的最优解求解a的范围即可．‎ 解答： 解：画出可行域如图，将目标函数化为y=ax﹣z，‎ 显然当目标函数方向线的斜率大于可行域的边界直线l：3y﹣x=2的斜率时，直 线y=ax﹣z在点p处截距最小，即a时，目标函数z=ax﹣y取得最大值时的最优解为（2，）．‎ 故答案为：．‎ 18‎ 点评： 本题考查线性规划的应用，考查计算能力，注意目标函数的几何意义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是　5a　万元．‎ 考点： 抛物线的应用．‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．‎ 解答： 解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，‎ 根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．‎ ‎∵B地在A地东偏北30°方向2km处，‎ ‎∴B到点A的水平距离为3（km），‎ ‎∴B到直线l距离为：3+2=5（km），‎ 那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．‎ 故答案为：5a．‎ 点评： 本题考查了抛物线方程的应用，考查了学生根据实际问题选择函数模型的能力，考查了计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16．已知命题p：方程+=1的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又 p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．‎ 考点： 复合命题的真假；双曲线的简单性质．‎ 专题： 计算题．‎ 18‎ 分析： 根据p∨q为真，￢q为真，可得命题p为真与命题q为假，再讨论实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．‎ 解答： 解：∵方程+=1是焦点在y轴上的双曲线，‎ ‎∴2﹣m＜0，且m﹣1＞0．即m＞2．故命题p：m＞2；‎ ‎∵方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，∴△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．‎ ‎∵又 p∨q为真，￢q为真，∴p真q假．‎ 即，此时m≥3；…（11分） ‎ 综上所述：实数m的取值范围{m|m≥3}．‎ 点评： 本题考查的知识点是复合命题的真假，双曲线的标准方程和二次方程根的个数判断，难度不大，是基础题．‎ ‎　‎ ‎17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（1）求A的大小； ‎ ‎（2）若，，求a．‎ 考点： 余弦定理；正弦定理．‎ 专题： 三角函数的求值；解三角形．‎ 分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值即可．‎ 解答： 解：（1）由b=asinB，根据正弦定理得：sinB=sinAsinB，‎ ‎∵在△ABC中，sinB≠0，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A=；‎ ‎（2）∵b=，c=+1，cosA=，‎ ‎∴根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=6+4+2﹣2××（+1）×=4，‎ 则a=2．‎ 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．‎ ‎（1）证明：BE⊥C D′；‎ ‎（2）求二面角D′﹣BC﹣E的正切值．‎ 18‎ 考点： 平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ 专题： 计算题；证明题．‎ 分析： （1）欲证BE⊥CD′，先证BE⊥面D′EC，欲证线面垂直先证线线垂直，根据线面垂直的判定定理可证得；‎ ‎（2）先以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，设出平面D′BC的法向量，求出两平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值．‎ 解答： 解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，‎ ‎∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，‎ 易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC．‎ 又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，‎ ‎∴BE⊥面D′EC，又CD′⊂面D′EC，‎ ‎∴BE⊥CD′．‎ ‎（2）如图以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．‎ 则B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，），，‎ 设平面BEC的法向量为，平面D′BC的法向量为，，‎ 取，‎ ‎∴．‎ tan＜，＞=，‎ ‎∴二面角D′﹣BC﹣E的正切值为．‎ 18‎ 点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．‎ ‎（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）‎ 考点： 根据实际问题选择函数类型；基本不等式．‎ 专题： 综合题；函数的性质及应用．‎ 分析： （1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；‎ ‎（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．‎ 解答： 解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，‎ 则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）‎ 由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5‎ ‎∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；‎ ‎（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，‎ ‎∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9‎ 当且仅当x=5时，等号成立 ‎∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．‎ 点评： 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣kan（k≠0）对任意n∈N*成立，令bn=an+1﹣an，且{bn}是等比数列．‎ ‎（1）求实数k的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求和：Sn=b1+2b2+3b3+…nbn．‎ 考点： 数列的求和．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由已知条件先分别求出a1，a2，a3，a4，进而求出b1，b2，b3，由{bn}成等比数列，由此能求出k．‎ ‎（2）由已知条件求出bn=2n，根据bn=an+1﹣an，利用累加法能求出数列{an}的通项公式．‎ 18‎ ‎（3）由Sn=b1+2b2+3b3+…nbn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，利用错位相减法能求出Sn．‎ 解答： 解：（1）∵a1=1，a2=3，‎ a3=3×3﹣k×1=9﹣k，‎ a4=3×（9﹣k）﹣k×3=27﹣6k，‎ ‎∵bn=an+1﹣an，‎ ‎∴b1=3﹣1=2，b2=6﹣k，b3=18﹣5k，‎ ‎∵{bn}成等比数列，‎ ‎∴=b1•b3，‎ ‎∴（6﹣k）2=2×（18﹣5k），‎ 解得k=2或k=0（舍）‎ 当k=2时，an+2=3an+1﹣2an，‎ ‎∴an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），‎ ‎∴，∴k=2时满足条件．‎ ‎（2）∵b1=2，{bn}成等比数列，，∴bn=2n，‎ ‎∴a2﹣a1=2，，…，an﹣an﹣1=2n﹣1，‎ ‎∴an﹣a1=1+2+22+23+…+2n﹣1‎ ‎==2n﹣1，‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（3）Sn=b1+2b2+3b3+…nbn ‎=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①‎ ‎2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②‎ ‎①﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1‎ ‎=﹣n×2n+1‎ ‎=2n+1﹣2﹣n×2n+1，‎ ‎∴．‎ 点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ 18‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；数列与解析几何的综合；椭圆的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．‎ 法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；‎ 法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到，再利用二次函数的单调性即可得出其最大值．‎ 解答： 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为．‎ ‎∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．‎ 又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0． ‎ 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，‎ 化简得：m2=4k2+3． ‎ 设，，‎ 法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，‎ 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，‎ 18‎ ‎∴，=，‎ ‎∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，，，．‎ 当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，． ‎ 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为． ‎ 法二：∵，．‎ ‎∴=．‎ 四边形F1MNF2的面积=，‎ ‎=． ‎ 当且仅当k=0时，，故．‎ 所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．‎ 点评： 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．‎ ‎　‎ 18‎