2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一．选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（ ）
A． （0，1） B． [0，1] C． [0，1） D． （0，1]
2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（ ）
A． ﹣4 B． 4 C． ﹣10 D． 10
3．数列{an}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10=（ ）
A． 5 B． ﹣1 C． 0 D． 1
4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（ ）
A． B． 0 C． 1 D．
5．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
6．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． （﹣2，+∞） B． [﹣2，+∞） C． （﹣∞，﹣2） D． （﹣∞，﹣2]
7．已知数列{an}满足：．则数列{an}通项公式为（ ）
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A． B． C． D．
8．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ）
A． 图象关于点（﹣，0）中心对称 B． 图象关于x=﹣轴对称
C． 在区间[﹣，﹣]单调递增 D． 在[﹣，]单调递减
9．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
10．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
二、填空题（本题包括5小题，共25分）
11．已知||=2，||=4，以，为邻边的平行四边形的面积为4，则和的夹角为 ．
12．若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公式是an= ．
13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
14．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为 ．
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15．已知函数，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
17．已知{an}为等差数列，且a3=5，a7=2a4﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式．
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．
（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．
19．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足a1+a2+a3=，a1a2a3=．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和为Tn；
（3）若bn=+（n∈{N}^{*}），证明：++…+≥．
21．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的值；
（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，求a的取值范围．
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2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（ ）
A． （0，1） B． [0，1] C． [0，1） D． （0，1]
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．
解答： 解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即M=[0，1]；
由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），
则M∩N=（0，1]．
故选：D．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（ ）
A． ﹣4 B． 4 C． ﹣10 D． 10
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．
解答： 解：∵===a+i，
∴=a，=﹣1，
解得：b=﹣7，a=3．
∴a+b=﹣7+3=﹣4．
故选：A．
点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．
3．数列{an}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10=（ ）
A． 5 B． ﹣1 C． 0 D． 1
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据题意，得出a1=a3=a2，数列{an}是常数列；由此求出a10的值．
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解答： 解：根据题意，得，
∴a1•a3=，
整理，得=0；
∴a1=a3，
∴a1=a3=a2；
∴数列{an}是常数列，
又a5=1，∴a10=1．
故选：D．
点评： 本题考查了等差与等比数列的应用问题，解题时应根据等差中项与等比中项的知识，求出数列是常数列，从而解答问题，是基础题．
4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为（ ）
A． B． 0 C． 1 D．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可确定振幅A及周期T，继而可求得ω=2，利用曲线经过（，2），可求得φ，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值．
解答： 解：由图知，A=2，T=﹣=，
∴T==π，解得ω=2，
又×2+φ=2kπ+（k∈Z），
∴φ=2kπ+（k∈Z），0＜φ＜π，
∴φ=，
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∴f（x）=2sin（2x+），
∴f（）=2sin=．
故选：D．
点评： 本题考查利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，φ的确定是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．
5．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．
解答： 解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．
由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．
因此“m=﹣6”是“”的充要条件．
故选：A．
点评： 本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题．
6．定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． （﹣2，+∞） B． [﹣2，+∞） C． （﹣∞，﹣2） D． （﹣∞，﹣2]
考点： 二次函数的性质．
专题： 新定义．
分析： 先根据新定义化简函数解析式，然后求出该函数的单调减区间，然后使得（﹣∞，m）是减区间的子集，从而可求出m的取值范围．
解答： 解：∵，
∴=（x﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），
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∵函数在（﹣∞，m）上单调递减，
∴（﹣∞，m）⊆（﹣∞，﹣2），即m≤﹣2，
∴实数m的取值范围是m≤﹣2．
故选D．
点评： 本题主要考查求二次函数的性质的应用，以及新定义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题．
7．已知数列{an}满足：．则数列{an}通项公式为（ ）
A． B． C． D．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 取倒数，可得{}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得结论．
解答： 解：∵
∴=1+
∴
∵a1=1
∴{}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
∴
故选C．
点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，取倒数，得到{}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键．
8．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ）
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A． 图象关于点（﹣，0）中心对称 B． 图象关于x=﹣轴对称
C． 在区间[﹣，﹣]单调递增 D． 在[﹣，]单调递减
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析： 根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可．
解答： 解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）．
对于A，当x=﹣时，y=sin（﹣）≠0．图象不关于点（﹣，0）中心对称，∴A不正确；
对于B，当x=﹣时，y=sin0=0，图象不关于x=﹣轴对称，∴B不正确
对于C，y=sin（2x+）的周期是π．
当x=时，函数取得最大值，x=﹣时，函数取得最小值，
∵[﹣，﹣]⊂[﹣，]，
∴在区间[﹣，﹣]单调递增，∴C正确；
对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在[﹣，]单调递减不正确，∴D不正确；
故选：C．
点评： 本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键
9．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．
分析： 由f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x≤0和x＞0两段，分别解方程f（x）=x即可．
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解答： 解：由题知，
解得b=4，c=2故，
当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，
解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．
又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．
故选C．
点评： 本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数、及解方程问题，难度不大．
10．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题： 综合题；新定义；函数的性质及应用．
分析： 根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断．
解答： 解：由定义的运算知，f（x）=）=（ex）*==1+ex+，
①f（x）=1+ex+=3，当且仅当，即x=0时取等号，
∴f（x）的最大值为3，故①正确；
②∵f（﹣x）=1+=1+=f（x），
∴f（x）为偶函数，故②正确；
③f'（x）==，
当x≤0时，f′（x）=≤0，
∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③错误．
故正确说法的个数是2，
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故选C．
点评： 本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．本题的关键是对f（x）的化简．
二、填空题（本题包括5小题，共25分）
11．已知||=2，||=4，以，为邻边的平行四边形的面积为4，则和的夹角为 或 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用四边形的面积计算公式和数量积的意义即可得出．
解答： 解：∵以，为邻边的平行四边形的面积为4，
∴==4．
解得=．
∵∈[0，π]．
∴=或．
故答案为：或．
点评： 本题考查了四边形的面积计算公式和数量积的意义，属于基础题．
12．若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公式是an= （﹣2）n﹣1 ．
考点： 等比数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
解答： 解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（）=，
整理可得，即=﹣2，
故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
故当n≥2时，an=（﹣2）n﹣1=（﹣2）n﹣1
经验证当n=1时，上式也适合，
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故答案为：（﹣2）n﹣1
点评： 本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．
13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．
解答： 解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab
即a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理得：cosC==
又因为0＜B＜π，所以C=．
故答案为：
点评： 本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．
14．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为 ．
考点： 定积分．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 作出的图象，求出它们的交点分别为A（，1）和B（，1），由此可得所求面积为函数2sinx﹣1在区间[，]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
解答： 解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．
∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），
因此，围成的封闭图形的面积为
S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）
=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．
故答案为：2﹣．
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点评： 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．
15．已知函数，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为 或 ．
考点： 分段函数的应用．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
分析： 求出函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，可得≤|1﹣k|，即可求出实数k的取值范围．
解答： 解：由题意函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，
∵对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，
∴≤|1﹣k|，
∴或．
故答案为：或．
点评： 本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键．
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
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（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
考点： 复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： （1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得f（x）=，由此可得函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出f（x）的单调递减区间是，再将此区间与[0，π]取交集，即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
解答： 解：（1）∵
==
===；
∴函数f（x）的最小正周期为 T=π，函数f（x）的最大值为；
（2）设，解得．
∴函数f（x）的单调递减区间是；
又∵x∈[0，π]，
∴分别取k=0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和．
点评： 本题给出三角函数式的化简，求函数的单调区间、周期与最值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
17．已知{an}为等差数列，且a3=5，a7=2a4﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式．
考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，由题意可得关于它们的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；
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（Ⅱ）由题意可得当n≥2时，，和已知式子相减可得当n≥2时的不等式，验证n=1时可得其通项公式．
解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，
则，解得，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，Sn==n2
（Ⅱ）∵ ①
当n≥2时， ②
①﹣②得n2bn=an﹣an﹣1=2，n≥2，
∴，又∵b1=a1=1，
∴
点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．
（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．
考点： 余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可．
解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2=2accosB，
由题意知a2+c2﹣b2=ac，
∴cosB=，
又在△ABC中，A+B+C=π，∴sin=cos，
则原式=cos2+cos2B=+2cos2B﹣1=2cos2B+cosB﹣=+﹣=﹣；
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（Ⅱ）∵b=2，sinB=，
∴由a2+c2﹣b2=ac得：a2+c2﹣4=ac，即a2+c2=ac+4≥2ac，
整理得：ac≤，
∴S△ABC=acsinB≤sinB=，
则△ABC面积的最大值为．
点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： （1）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的减区间．
（2）由f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，知，由此能够求出实数a的取值范围．
解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵，
∴函数f（x）的减区间为．
（2）∵f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，
∴，
，
当x＞2时，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（﹣∞，5+ln2]．
点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．
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20．已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足a1+a2+a3=，a1a2a3=．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和为Tn；
（3）若bn=+（n∈{N}^{*}），证明：++…+≥．
考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）根据等比数列的公式求出数列的首项和公比，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和为Tn；
（Ⅲ）先求出bn的通项公式，利用不等式的证明方法证明不等式即可．
解答： 解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=，
由a1+a2+a3=得a1+a3=
由得，
∴，
即3q2﹣10q+3=0
解得q=3，或q=．
∵{an}是递减数列，故q=3舍去，
∴q=，由a2=，得a1=1．
故数列{an}的通项公式为an=（n∈N*）．
（II）由（I）知（2n﹣1）•an=，
∴Tn=1+++…+①Tn=+++…++②．
①﹣②得：Tn=1++++…+﹣
=1+2（+++…+）﹣
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=1+2﹣=2﹣﹣
∴Tn=3﹣．
（Ⅲ）∵=n+=，
∴=++…+
=2[（）+（）+…+（）]
=2（﹣）．
∵n≥1，﹣≥=，
∴≥．
点评： 本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错误相减法求数列的和，考查学生的运算能力．
21．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的值；
（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，求a的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（1），即可得到切线的方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，再对a分类讨论即可得出；
（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+﹣ax，由于对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．利用研究函数g（x）的单调性和对a分类讨论即可得出．
解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+﹣2x，f′（x）=﹣2．
∵f′（1）=0，f（1）=﹣．
∴切线方程是y=﹣．
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（2）函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+1）x（a∈R）的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）===．
令f′（x）=0，解得x=1或x=．
当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣=﹣2，解得a=2；
当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，∴﹣lna﹣﹣1=﹣2，即lna+=1．
令h（a）=lna+，=，可得函数h（a）单调递减，函数h（a）单调递增．
而，不合题意．
当时，f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+﹣（a+1）e=﹣2，解得＜0，不合题意．
综上可得：a=2．
（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+﹣ax，
∵对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，
∴只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而g′（x）=ax﹣a+=．
当a=0时，，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要ax2﹣ax+1≥0，
则需要，解得0＜a≤4．
综上a的取值范围是：0≤a≤4．
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点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、二次函数与判别式的关系等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的是幸福方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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