全等三角形
一、选择(每题2分，共20分)
1．下列结论正确的是 ( )
A．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
B．有三个角对应相等的两个三角形全等
C．△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠D，∠C=∠F，则这两个三角形全等
D．有一边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
2．把△ABC的中线AD延长到E，使DE=AD，连接BE，则BE与AC的关系是 ( )
A．平行 B．相等
C．平行并且相等 D．以上都不对
3．如图所示，在Rt△ABC中，E 为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为 ( )
A．70° B．48° C．45° D．60°
4．如图，AC与BD相交于点O，AB=AD，CB=CD，则下列结论不正确的个数有 ( )
① AC⊥BD ② OA=OC ③ ∠1=∠3 ④ ∠2=∠4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等边三角形全等；③三个角对应相等的两个三角形全等；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中，正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，BO，AO分别是△ABC中∠ABC，∠BAC的平分线，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为H，E，F，则OH，OE，OF的大小关系是 ( )
A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OF C．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF
7．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；
③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE
就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得
△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
9．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
10．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是（ ）
A. 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
二、填空．(每空2分，共16分)
11．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，则∠DOE的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交边BC于点D，则∠ADC的度数为 ．
13．如图，有一个直角三角形ABC，∠C 90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A 且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到 位置时，才能使△ABC≌△QPA．
14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°, BC=2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5 cm，则AE= cm．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下面结论中正确的是 ．① DA 平分∠EDF；② BE=CF； ③ AD⊥BC．(只需填序号即可)
16．将长度为20 cm的铁丝折成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数为 ．
17．如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形.
18．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．
三、解答．（共64分)
19．如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作
AC⊥l交l于点C， BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：
(1) AF=CD；
(2) ∠AFC=∠CDA．
21．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE，AC，AE=AC．求证：
(1) △ABE≌△CDA；
(2) AD∥EC．
22．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．
求证：∠A=∠D．
23．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
(1) 求证：△ABM≌△BCN；
(2) 求∠APN的度数．
24．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：
（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA=OD．
25．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点 (不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．
(1) 如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；
(2) 如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
(3) 如图3，当点P在线段BA (或AB) 的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立? 请画 出图形并给予证明．
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D 9．D 10．C
11．90° 12．65° 13．AC中点 14．3 15．①②③ 16．8
17．3 18．3
19．(1)证明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，∴△AOC≌△OBD (AAS)， ∴AC=OD．
20．(1) ∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，DB=CD．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE (AAS)．∴AF=DB．∴AF=CD (2) ∵AF∥BC，
∴∠FAC=∠DCA． 在△AFC 和△CDA中，，∴∠AFC≌△CDA．∴∠AFC=∠CDA．
21．22．略
23．(1) ∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN．在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN (2) ∵△ABM≌△BCN，∴∠MBP=∠BAP．∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°，∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°，∴∠BPM=∠MBA．∵∠BPM=∠APN，∴∠APN=∠MBA==108°．
24．（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．
∵DF∥CE，
∴∠C=∠BDF．
在△CDE和△DBF中，
∴△CDE≌△DBF （SAS）；
（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵EF与AD交于O点，
∴AO=OD
25．(1)AE∥BF QE=QF (2)QE=QF．证明：延长FQ交AE于点D．∵AE∥BF，∴∠DAQ=∠FBQ.又∠AQD=∠FQB，AQ=BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD=QF．∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD的中线，∴QE=QF (3) (2)中结论仍然成立．画图略．理由，延长EQ，FB交于点D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠D，又∠AQE=∠BQD，AQ=BQ，∴△AQE≌△BQD．∴QE=QD．∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE中线，∴QE=QF．
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