“四校”2015—2016学年度高三第一次联考
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
开始
否
n＝3n+1
n为偶数
k＝k＋1
结束
n＝5，k＝0
是
输出k
n =1?
否
是
1、已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2、在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（ ）．
A． B． C． D．
3、下列命题中的假命题是（ ）．
A． B．
C． D．
4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（ ）．
A． B． C． D．
5、已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
6、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．
A． B．
- 13 -
C． D．
7、已知是实数，则函数的图像不可能是（ ）．
A. B． C. D.
8、已知点，若动点满足，则的最小值为（ ）．
A． (B． C．5 D．以上都不正确
9、已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． 或 D． 或
10、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，
则该三棱锥的体积为（ ）．
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
11、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为
A． B． C． D．
- 13 -
12.已知函数,，若对任意的,存在实数满足
，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13、在等比数列中，，，则 ．
14、设A＝，则=
15、已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .
16、设 为实数，若 则的最大值是_________.
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. (本题满分12分)在中，角的对边分别是满足
（1）求角的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，
求的前项和.
18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
- 13 -
）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．
19．(本小题满分12分)
O
在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设 是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为.
（1）若直线互相垂直，且在第一象限，求圆的方程；
- 13 -
（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：
21.（本小题12分）设函数.
（I）若处的切线为，的值；
（II）求的单调区间；
（Ⅲ）若，求证：在时，
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.
如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.
（1） 求长；
（2）当 ⊥时，求证：.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．
- 13 -
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若时，，求的取值范围．
- 13 -
“四校”2015—2016学年度高三第一次联考
理科数学评分标准
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
B
B
C
C
C
C
B
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、【解】(1)∵， ∴. …………1分
∴. …………2分
又 …………3分
∴. …………4分
(2)设的公差为， 由已知得， …………5分
且.∴ ． …………6分
又, ∴. ∴. …………7分
∴. …………9分
∴ …………10分
…………12分
18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，
． …………3分
（Ⅱ）由题意可知，分数在 有5人，
分数在 有2人，共7人． …………4分
- 13 -
抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，…………5分
则， …………6分
， …………7分
． …………8分
所以，的分布列为
1
2
3
…………10分
所以，． …………12分
19、【解】(1)由题意，，…………1分
又，，
，，
，. …………3分
又， ， …………4分
，
， …………5分
又，. …………6分
(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的
空间直角坐标系， …………7分
则，, …………8分
- 13 -
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以. …………10分
设直线与平面所成角为，则
， …………11分
所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………12分
20、【解】（1）由题圆的半径为因为直线互相垂直，且与圆相切，
所以，即① …………1分
又在椭圆上，所以② …………2分
由①②及在第一象限，解得 …………3分
所以圆的方程为： …………4分
（2）证明：因为直线均与圆相切，
所以 …………5分
- 13 -
化简得 …………6分
同理有
所以是方程的两个不相等的实数根，
所以 …………8分
又因为在椭圆上，所以即…………10分
所以 …………11分
即 …………12分
21、【解】（I）∵
∴ …………1分
又的切线的斜率为
∴ ∴ …………2分
∴切点为把切点代入切线方程得: …………3分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：
①当时，在上恒成立
在上是单调减函数 …………4分
②当时，令 解得： …………5分
当变化时，随变化情况如下表：
- 13 -
0
由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数 …………6分
综上所述：当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为 …………7分
（Ⅲ）当时，要证，即证 …………8分
令，只需证
…………9分
由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数
又 ∴
在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点
设的零点为,则即 …………10分
由的单调性知：
…………11分
当时，，为减函数
当时，，为增函数，
所以当时，
又，等号不成立∴ …………12分
22、【解】（1） ， …………1分
．[中国教∵，∴ ． …………3分
- 13 -
∴，∵ ，
∴，∴． ……………5分
（2）证明：∵ ，．∴
∴
∴ ……………………10分
23、【解】（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 ………2分
圆的直角坐标方程, …………3分
所以圆心的直角坐标为， …………4分
因此圆心的一个极坐标为. …………5分
(答案不唯一，只要符合要求就给分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离
, ………8分
所以. ………………10分
24．【解】
（Ⅰ）当时，不等式为 …………1分
当，不等式转化为，不等式解集为空集； …………2分
当，不等式转化为，解之得；…………3分
当时，不等式转化为，恒成立； …………4分
综上不等式的解集为. …………5分
- 13 -
（Ⅱ）若时，恒成立，即， …………7分
亦即恒成立， …………8分
又因为，所以， …………9分
所以的取值范围为. …………10分
- 13 -
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