“四校”2015—2016学年度高三第一次联考试题
文科数学
本试卷共4页，24小题， 满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先填选做题题号，再作答．漏填的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁．考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．
参考公式：半径为R的球的表面积公式：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合若则等于（ ）
A．1 B．2 C． 3 D． 1或2
2、已知为虚数单位，且，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或-1 D．2或-2
3、双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的图像的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
5、设，，若，则（ ）
A．为无理数 B．为有理数 C． D．
6、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数 B． 是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
7、已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中恒成立的是( )
A． B． C． D．
- 8 -
开始
输入
？
输出
结束
是
否
第9题
8、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A、1365石 B、338石
C、169石 D、134石
9、对任意非零实数，定义的算法原理如程序框图所示。设为函数
的最小值，为抛物线的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出结果是( )
10、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正 三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11、已知满足的使恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
12、若函数有且仅有两个不同零点， 则的值为（ ）
第13题
A． B． C． D．不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13、如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
14、已知等比数列｛｝为递增数列.若＞0，且，则数列｛｝的公比 =_____.
15、 设的内角的对边分别为,且,则=____.
16、若正数x，y满足，则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17、(本小题满分12分)
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
18、（本题满分12分）
- 8 -
空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：）为时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省个监测点数据统计如下：
空气污染指数
(单位：)
[
监测点个数
15
40
10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
频率
组距
空气污染指数
（）
0
50
100
150
200
（Ⅱ）在空气污染指数分别为和的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？
19题
19、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，平面,平面，， .
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积；
20、（本小题满分12分）
设椭圆：()的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆的下焦点，在椭圆上是否存在点P，使的周长最大？若存在，请求出周长的最大值，并求此时的面积；若不存在，请说明理由。
21、（本小题满分12分）
- 8 -
已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22、选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）
如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点， ，交的延长线于点，交于点.
（1）求证：是圆的切线；
（2）若的半径为2，，求的值.
23、选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若，求直线的倾斜角的值。
24、选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。
- 8 -
“四校”2015—2016学年度高三第一次联考
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
C
A
C
D
C
B
A
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13、 14、2 15、4 16、5
三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17、解：（I）设等差数列的公差为。
由已知得 解得 ……………………4分
所以 ……………………6分
（Ⅱ）∵，∴……………9分
∴ …………………12分
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
频率
组距
空气污染指数
（）
0
50
100
150
200
18、解：（Ⅰ）
， ……2分
，
，
频率分布直方图如图所示…5分
（Ⅱ）在空气污染指数为和的监测点中分别抽取4个和1个监测点。设空气污染指数为的4个监测点分别记为a,b,c,d；空气污染指数为的1个监测点记为E。从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),
(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种，…8分
其中事件A“两个都为良”包含的 基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),( b,c),(b,d),(c,d)共6种， ……10分
- 8 -
所以事件A“两个都为良”发生的概率是. ……12分
19、（Ⅰ）证明：∵平面,平面 ∴ …………2分
∵平面，CD平面，∴∥平面 …………4分
（Ⅱ）证明：因为 平面，平面，所以.又因为，,，
所以平面. …………… …………7分
又因为平面， 所以平面平面. ………………8分
（Ⅲ）解：∵平面，∴是三棱锥的高； …………9分
在中，，∴
∴四棱锥的体积
……12分
20、解：（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆M的离心率为
…………………………2分
∵椭圆M内切于圆
得： …………………………4分
所求椭圆M的方程为 ．……………………5分
（2）椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：
的周长为
当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。
∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值， ……………9分
直线的方程为，由
∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，…………………11分
的面积…………………12分
21、 解：（1）由已知得的定义域为，且 ，…………2分
当时， ，
∴在单调增，无极值；…………3分
- 8 -
当时，
由由
∴…………4分
∴ ,无极小值。 …………………5分
综上：当时，无极值；
当时，，无极小值。 …………6分
（2）
在区间上有最值，
在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，
又 …………………………9分
由题意知：对任意恒成立，
因为
对任意，恒成立
∴ ∵ ∴
………………………………12分
22、（1）连接，可得，∴，…………3分
又，∴，又为半径，
∴是圆的切线 ………………………………5分
（2）连结BC，在中，…7分
又∵
由圆的切割线定理得： …………………10分
23、解：（1）
∵ …3分
∴，
∴曲线的直角坐标方程为。………………………5分
（2）当时，，∴，∴舍 …………6分
当时，设，则，
∴圆心到直线的距离
由
- 8 -
……………………………10分
24、解：(Ⅰ)由得，
∴
∴不等式的解集为 ………………………………4分
(Ⅱ)令
则，∴…………………………8分
∵存在x使不等式成立，∴…………10分
- 8 -
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