安徽省合肥市长丰县钱集中学2014-2015学年八年级数学上学期期中模拟试卷.doc

‎2014-2015学年安徽省合肥市长丰县钱集中学八年级（上）期中数学模拟试卷 一、选择题（3分×8=24分）‎ ‎1．下列图案中是轴对称图形的有（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎　‎ ‎2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（　　）‎ ‎　 A． △ABD≌△ACD B． △BDE≌△CDE C． △ABE≌△ACE D． 以上都不对 ‎　‎ ‎3．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）‎ ‎　 A． 三角形三条角平分线的交点 ‎　 B． 三角形的三条中线的交点 ‎　 C． 三角形三边垂直平分线的交点 ‎　 D． 三角形三条高线的交点 ‎　‎ ‎4．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）‎ ‎　 A． 12 B． ‎16 C． 20 D． 16或20‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　　）‎ ‎　 A． ∠A B． ∠B C． ∠C D． ∠B或∠C ‎　‎ ‎6．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ‎4 C． 5 D． 6‎ ‎　‎ ‎7．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：‎ ‎①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；‎ ‎②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；‎ ‎③AD⊥BC且BD=CD；‎ ‎④∠BDE=∠CDF．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎　‎ ‎8．一架‎2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端‎0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑‎0.4m，那么梯足将下滑（　　）‎ ‎　 A． ‎0.9m B． ‎1.5m C． ‎0.5m D． ‎‎0.8m ‎　‎ ‎　‎ 二、细心填一填：‎ ‎9．正方形是轴对称图形，它共有　　　　　　条对称轴．‎ ‎　‎ ‎10．等腰三角形的一个内角是80°，则另外两个内角的度数分别为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长的平方为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．如图，美丽的勾股树中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13厘米，则A、B、C、D的面积之和为　　　　　　平方厘米．‎ ‎　‎ ‎13．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．等腰三角形的底角为46°，则一腰上的高与另一腰的夹角为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处‎8米的C处折断倒下（如图），树顶A落在离树根B处‎6米，则大树的原长为　　　　　　米．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，一根长为‎5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上．设木棍的中点为P，若棍子A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点C的距离是否发生变化：　　　　　　（“会变”或“不变”）；理由是：　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．如图△ABC中有正方形EDFC，由图（1）通过三角形的旋转变换可以得到图（2）．观察图形的变换方式，若AD=3，DB=4，则图（1）中△ADE和△BDF面积之和S为　　　　　　．正方形EDFC的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．按下列要求作图．‎ ‎（1）尺规作图：如图1，已知直线l及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．‎ ‎（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．‎ ‎　‎ ‎19．如图，点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．‎ ‎　‎ ‎20．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC=2②AD=AE=3 ③∠1=∠2=4④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．‎ ‎（1）求证：△DEF是等腰三角形；‎ ‎（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．‎ ‎　‎ ‎23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=‎3m，BC=‎4m，CD=‎12m，DA=‎13m，∠B=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？‎ ‎　‎ ‎24．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在一棵树CD的‎10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树‎20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？‎ ‎　‎ ‎27．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．‎ ‎（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长 ‎（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，‎ ‎①求证：EF=EG．②求AF的长．‎ ‎（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为‎2cm，且BG=10时，求AF的长．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2014-2015学年安徽省合肥市长丰县钱集中学八年级（上）期中数学模拟试卷（7）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（3分×8=24分）‎ ‎1．下列图案中是轴对称图形的有（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 轴对称图形．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．‎ 解答： 解：第1个不是轴对称图形，第2个、第3个、第4个都是轴对称图形．‎ 故选C．‎ 点评： 掌握好中心对称与轴对称的概念．‎ 轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（　　）‎ ‎　 A． △ABD≌△ACD B． △BDE≌△CDE C． △ABE≌△ACE D． 以上都不对 考点： 全等三角形的判定．‎ 分析： 先根据SSS证△ABE≌△ACE，推出∠BAD=∠CAD，∠BEA=∠CEA，求出∠BED=∠CED，再证△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE即可．‎ 解答： 解：∵在△ABE和△ACE中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACE（SSS），故选项C正确；‎ ‎∵△ABE≌△ACE，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ 在△ABD和△ACD中 ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACD（SAS），故选项A错误；‎ ‎∵△ABE≌△ACE，‎ ‎∴∠BEA=∠CEA，‎ ‎∵∠BEA+∠BED=180°，∠CEA+∠CED=180°，‎ ‎∴∠BED=∠CED，‎ 在△BDE和△CDE中 ‎，‎ ‎∴△BDE≌△CDE（SAS），故选项B错误；‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．‎ ‎　‎ ‎3．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）‎ ‎　 A． 三角形三条角平分线的交点 ‎　 B． 三角形的三条中线的交点 ‎　 C． 三角形三边垂直平分线的交点 ‎　 D． 三角形三条高线的交点 考点： 角平分线的性质．‎ 分析： 题目要求到三角形三个顶点距离相等的点，利用垂直平分线上的点到线段两段的距离相等即可判断．‎ 解答： 解：利用垂直平分线上的点到线段两段的距离相等可知到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质，注意：角平分线和线段的垂直平分线的性质不要混淆．‎ ‎　‎ ‎4．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）‎ ‎　 A． 12 B． ‎16 C． 20 D． 16或20‎ 考点： 等腰三角形的性质．‎ 专题： 分类讨论．‎ 分析： 因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．‎ 解答： 解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，‎ ‎（1）当4是底边时，4+4=8，不能构成三角形；‎ ‎（2）当8是底边时，不难验证，可以构成三角形，周长=8+4+4=20．‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　　）‎ ‎　 A． ∠A B． ∠B C． ∠C D． ∠B或∠C 考点： 全等三角形的性质．‎ 分析： 根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．‎ 解答： 解：在△ABC中，∵∠B=∠C，‎ ‎∴∠B、∠C不能等于100°，‎ ‎∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据∠A=∠C判断出这两个角都不能是100°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ‎4 C． 5 D． 6‎ 考点： 全等三角形的判定．‎ 分析： 先根据题意AB∥CD，AD∥BC，可得多对角相等，再利用平行四边形的性质可得线段相等，所以有△AFO≌△CEO，△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD共6对．‎ 解答： 解：∵AB∥CD，AD∥BC ‎∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CDB 又∵BD=DB ‎∴△ABD≌△CDB ‎∴AB=CD，AD=BC ‎∵OA=OC，OB=OD ‎∴△ABO≌△CDO，△BOC≌△DOA ‎∵OB=OD，∠CBD=∠ADB，∠BOF=∠DOE ‎∴△BFO≌△DEO ‎∴OE=OF ‎∵OA=OC，∠COF=∠AOE ‎∴△COF≌△AOE ‎∵AB=DC，BC=AD，AC=AC ‎∴△ABC≌△DCA，‎ 共6组；‎ 故选D．‎ 点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．考查三角形判定和细心程度．‎ ‎　‎ ‎7．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：‎ ‎①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；‎ ‎②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；‎ ‎③AD⊥BC且BD=CD；‎ ‎④∠BDE=∠CDF．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 等腰三角形的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．‎ 分析： 先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD是BC的中垂线，再由中垂线的性质可判断①正确；‎ 根据角平分线的性质可判断②正确；‎ 根据等腰三角形三线合一的性质得出AD是BC的中垂线，从而可判断③正确；‎ 根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由等角的余角相等即可判断④正确．‎ 解答： 解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴AD⊥BC，BD=CD，‎ ‎∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，‎ ‎∴①正确；‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；‎ ‎∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴AD⊥BC，BD=CD，‎ ‎∴③正确；‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C；‎ ‎∵∠BED=∠DFC=90°，‎ ‎∴∠BDE=∠CDF，④正确．‎ 故选D．‎ 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质等知识点的综合运用能力，比较简单．‎ ‎　‎ ‎8．一架‎2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端‎0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑‎0.4m，那么梯足将下滑（　　）‎ ‎　 A． ‎0.9m B． ‎1.5m C． ‎0.5m D． ‎‎0.8m 考点： 勾股定理的应用．‎ 分析： 首先根据勾股定理求得第一次梯子的高度是‎2.4m，如果梯子的顶端下滑‎0.4米，即第二次梯子的高度是‎2米，又梯子的长度不变，根据勾股定理，得此时梯足离墙底端是=1.5．所以梯足将下滑1.5﹣0.7=0.8．‎ 解答： 解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，‎ 所以AC2=AB2﹣BC2，所以AC=2.4，‎ 在Rt△DCE中，DE=2.5，CD=AC﹣AD=2.4﹣0.4=2，‎ 所以CE2=DE2﹣CD2，所以CE=1.5，‎ 此时BE=CE﹣BC=1.5﹣0.7=0.8．‎ 故选D．‎ 点评： 注意两次中梯子的长度不变，运用两次勾股定理进行计算．‎ ‎　‎ 二、细心填一填：‎ ‎9．正方形是轴对称图形，它共有　4　条对称轴．‎ 考点： 轴对称图形．‎ 分析： 根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．‎ 解答： 解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．‎ 故答案为：4．‎ 点评： 此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出个正多边形的对称轴条数是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．等腰三角形的一个内角是80°，则另外两个内角的度数分别为　50°，50°或20°、80°　．‎ 考点： 等腰三角形的性质．‎ 分析： 80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可．‎ 解答： 解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；‎ ‎②当80°的角是底角，则顶角是20°．‎ 故答案是50°，50°或20°、80°．‎ 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论．‎ ‎　‎ ‎11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长的平方为　25或7　．‎ 考点： 勾股定理．‎ 专题： 分类讨论．‎ 分析： 根据勾股定理，分两种情况讨论：①直角三角形的两条直角边长分别为3、4；②当斜边为4时．‎ 解答： 解：设第三边长为c，‎ ‎①直角三角形的两条直角边长分别为3、4，则c2=32+42=25；‎ ‎②当斜边为4时，c2=42﹣32=7．‎ 故答案为25或7．‎ 点评： 本题考查了勾股定理，要注意求某一边的平方，要分类讨论，得到两个答案．‎ ‎　‎ ‎12．如图，美丽的勾股树中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13厘米，则A、B、C、D的面积之和为　169　平方厘米．‎ 考点： 勾股定理．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即169．‎ 解答： 解：根据勾股定理得到：C与D的面积的和是P的面积；A与B的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．‎ 即A、B、C、D的面积之和为M的面积．‎ ‎∵M的面积是132=169，‎ ‎∴A、B、C、D的面积之和为169．‎ 点评： 注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．‎ ‎　‎ ‎13．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为　14　．‎ 考点： 角平分线的性质．‎ 分析： 过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解．‎ 解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，‎ ‎∵BC=32，BD：CD=9：7，‎ ‎∴CD=32×=14，‎ ‎∵∠C=90°，AD平分∠BAC，‎ ‎∴DE=CD=14，‎ 即D到AB的距离为14．‎ 故答案为：14．‎ 点评： 本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．‎ ‎　‎ ‎14．等腰三角形的底角为46°，则一腰上的高与另一腰的夹角为　2°　．‎ 考点： 等腰三角形的性质．‎ 分析： 根据题意作出图形，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理直接计算即可．‎ 解答： 解：底角为46°，高与腰成46°﹣（90°﹣46°）=2°，‎ 故答案为：2°．‎ 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形．‎ ‎　‎ ‎15．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处‎8米的C处折断倒下（如图），树顶A落在离树根B处‎6米，则大树的原长为　‎18　‎米．‎ 考点： 勾股定理的应用．‎ 分析： 由题意知，BC=‎8米，AB=‎6米，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理可以计算AC的长度，大树AB的原长为BC+CA．‎ 解答： 解：由题意知，BC=‎8米，AB=‎6米，‎ 在直角△ABC中，AC为斜边，‎ 则AC==‎10米，‎ 则大树AB的原长为BC+CA=8+10=‎18米．‎ 故答案为：18．‎ 点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算CA的长是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，一根长为‎5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上．设木棍的中点为P，若棍子A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点C的距离是否发生变化：　不变　（“会变”或“不变”）；理由是：　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　．‎ 考点： 直角三角形斜边上的中线．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 根据直角三角形斜边上中线性质得出CP=AB，即可得出答案．‎ 解答： 解：∵P为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB=‎5米，‎ ‎∴CP=AB=‎2.5米，‎ 故答案为：不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，‎ 点评： 本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎17．如图△ABC中有正方形EDFC，由图（1）通过三角形的旋转变换可以得到图（2）．观察图形的变换方式，若AD=3，DB=4，则图（1）中△ADE和△BDF面积之和S为　6　．正方形EDFC的面积为　　．‎ 考点： 旋转的性质．‎ 分析： 由图形可知△DA′F是由△DAE旋转得到，利用旋转的性质可得到△A′DB为直角三角形，可求得S，在Rt△A′DB中 由勾股定理可求得A′B，再利用面积相等可求得DF，可求得正方形EDFC的面积．‎ 解答： 解：由旋转的性质得AD=A′D=3，∠ADE=∠A′DF，‎ ‎∵∠A′DB=∠A′DF+∠FDB=∠ADE+∠FDB=90°，‎ ‎∴在Rt△A′DB中，‎ S△A′DB=A′D×BD=×3×4=6，‎ ‎∴S△ADE+S△BDF=S△A′DF+S△BDF=S△A′DB=6，‎ 又A′D=3，BD=4，可求得A′B=5，‎ ‎∴A′B•DF=×5×DF=6，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∴S正方形EDFC=DF2=，‎ 故答案为：6；．‎ 点评： 本题主要考查旋转的性质，利用旋转得到△A′DB为直角三角形是解题的关键，注意勾股定理及等积法的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．按下列要求作图．‎ ‎（1）尺规作图：如图1，已知直线l及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．‎ ‎（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．‎ 考点： 作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．‎ 分析： （1）线段AB的中垂线与直线l的交点就是所求的点；‎ ‎（2）根据正方形的边长是5，以及直角边是3和4的直角三角形的斜边是5，即可作出．‎ 解答： 解：（1）如图所示：‎ 点P就是所求的点；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎△ABC和△DBC是满足条件的三角形．‎ 点评： 本题考查了尺规作图，难度不大，作图要规范，并且要有作图痕迹．正确理解垂直平分线的性质是关键．‎ ‎　‎ ‎19．如图，点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 由AB∥ED，AC∥FD就可以得出∠B=∠E，∠ACB=∠EFD，就可以得出△ABC≌△DFE就可以得出结论．‎ 解答： 证明：∵AB∥ED，AC∥FD，‎ ‎∴∠B=∠E，∠ACB=∠EFD．‎ 在△ABC和△DFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DFE（ASA），‎ ‎∴AC=DF．‎ 点评： 本题考查了平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．‎ ‎　‎ ‎20．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）‎ 考点： 全等三角形的应用．‎ 分析： 连接AB、CD，由条件可以证明△AOB≌△DOC，从而可以得出AB=CD，故只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．‎ 解答： 解：连接AB、CD，‎ ‎∵O为AD、BC的中点，‎ ‎∴AO=DO，BO=CO．‎ 在△AOB和△DOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△DOC．‎ ‎∴AB=CD．‎ ‎∴只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．‎ 点评： 本题是一道关于全等三角形的运用试题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，在解答时将生活中的实际问题转化为数学问题是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC=2②AD=AE=3 ③∠1=∠2=4④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．‎ 考点： 命题与定理；全等三角形的判定与性质．‎ 分析： 根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一．‎ 解答： 解：答案不唯一．如：‎ 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．‎ 求证：BD=CE．‎ 证明：∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE．‎ 在△ABD和△ACE中，‎ ‎∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE．（SAS），‎ ‎∴BD=CE．（全等三角形对应边相等）．‎ 点评： 此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．‎ ‎（1）求证：△DEF是等腰三角形；‎ ‎（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．‎ 考点： 等腰三角形的判定与性质．‎ 分析： （1）根据等边对等角可得∠B=∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；‎ ‎（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF，然后求出∠BED+∠CED=∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF．‎ 解答： （1）证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△BDE和△CEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDE≌△CEF（SAS），‎ ‎∴DE=EF，‎ ‎∴△DEF是等腰三角形；‎ ‎（2）解：∵△BDE≌△CEF，‎ ‎∴∠BDE=∠CEF，‎ ‎∴∠BED+∠CED=∠BED+∠BDE，‎ ‎∵∠B+（∠BED+∠BDE）=180°，‎ ‎∠DEF+（∠BED+∠BDE）=180°，‎ ‎∴∠B=∠DEF，‎ ‎∵∠A=50°，AB=AC，‎ ‎∴∠B=（180°﹣50°）=65°，‎ ‎∴∠DEF=65°．‎ 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=‎3m，BC=‎4m，CD=‎12m，DA=‎13m，∠B=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？‎ 考点： 勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积，也可得出需要的费用．‎ 解答： 解：连接AC，‎ 则由勾股定理得AC=‎5m，‎ ‎∵AC2+DC2=AD2，‎ ‎∴∠ACD=90°．‎ 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=‎36m2‎．‎ 故需要的费用为36×100=3600元．‎ 答：铺满这块空地共需花费3600元．‎ 点评： 此题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积，难度一般．‎ ‎　‎ ‎24．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？‎ 考点： 勾股定理的证明．‎ 分析： 欲验证勾股定理，根据已知条件，假设b＞a，我们可通过求该图形的面积列出等式，化简即可得到勾股定理的形式．‎ 解答： 解：假设b＞a，该图形的面积，有两种求法：‎ 一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；‎ 一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，‎ 根据两种求法的面积相等可得：，‎ 化简得，c2=b2+a2．‎ 点评： 本题主要考查了学生对组合图形的认识和勾股定理证明的认识．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质．‎ 分析： 根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，进而得出∠ABD=∠ACE，求出∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB即可得出答案．‎ 解答： 解：BD=CE，BD⊥CE；‎ 理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，‎ 即∠BAD=∠CAE，‎ 在△BAD和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAE（SAS），‎ ‎∴BD=CE；‎ ‎∵△BAD≌△CAE，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE，‎ ‎∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，‎ ‎∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，‎ 则BD⊥CE．‎ 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出△BAD≌△CAE是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在一棵树CD的‎10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树‎20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？‎ 考点： 勾股定理的应用．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 要求树的高度，就要求BD的高度，在直角三角形ACD中运用勾股定理可以列出方程式，CD2+AC2=AD2，其中CD=CB+BD．‎ 解答： 解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=‎ 而从B点到A点经过路程（20+10）m=‎30m，‎ 根据路程相同列出方程x+=30，‎ 可得=30﹣x，‎ 两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，‎ 整理得：80x=400，‎ 解得：x=5，‎ 所以这棵树的高度为10+5=‎15m．‎ 故答案为：‎15m．‎ 点评： 本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．‎ ‎　‎ ‎27．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．‎ ‎（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长 ‎（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，‎ ‎①求证：EF=EG．②求AF的长．‎ ‎（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为‎2cm，且BG=10时，求AF的长．‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．‎ 专题： 几何综合题．‎ 分析： （1）根据翻折的性质可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；‎ ‎（2）①根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠EFG，从而得到∠EGF=∠EFG，再根据等角对等边证明即可；‎ ‎②根据翻折的性质可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；‎ ‎（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．‎ 解答： （1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，‎ ‎∴BF=EF，‎ ‎∵AB=8，‎ ‎∴EF=8﹣AF，‎ 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，‎ 即42+AF2=（8﹣AF）2，‎ 解得AF=3；‎ ‎（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，‎ ‎∴∠BGF=∠EGF，‎ ‎∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，‎ ‎∴∠BGF=∠EFG，‎ ‎∴∠EGF=∠EFG，‎ ‎∴EF=EG；‎ ‎②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，‎ ‎∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，‎ ‎∴EF=EG=10，‎ 在Rt△EFH中，FH===6，‎ ‎∴AF=FH=6；‎ ‎（3）解：‎ 法一：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，‎ ‎∵E到AD的距离为‎2cm，‎ ‎∴EM=2，EN=8﹣2=6，‎ 在Rt△ENG中，GN===8，‎ ‎∵∠GEN+∠KEM=180°﹣∠GEH=180°﹣90°=90°，‎ ‎∠GEN+∠NGE=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠KEM=∠NGE，‎ 又∵∠ENG=∠KME=90°，‎ ‎∴△GEN∽△EKM，‎ ‎∴==，‎ 即==，‎ 解得EK=，KM=，‎ ‎∴KH=EH﹣EK=8﹣=，‎ ‎∵∠FKH=∠EKM，∠H=∠EMK=90°，‎ ‎∴△FKH∽△EKM，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得FH=，‎ ‎∴AF=FH=．‎ 法二：如图4，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，过点K作KL∥CD交BC于点L，连接GK，‎ ‎∵E到AD的距离为‎2cm，‎ ‎∴EM=2，EN=8﹣2=6，‎ 在Rt△ENG中，GN===8，‎ 设KM=a，‎ 在△KME中，根据勾股定理可得：KE2=KM2+ME2=a2+4，‎ 在△KEG中，根据勾股定理可得：GK2=GE2+KE2=102+a2+4，‎ 在△GKL中，根据勾股定理可得：GK2=GL2+KL2=（8﹣a）2+82，‎ 即102+a2+4=（8﹣a）2+82，‎ 解得：a=，故KE=，‎ ‎∴KH=EH﹣EK=8﹣=，‎ 设FH=b，‎ 在△KFH中，根据勾股定理可得：KF2=KH2+FH2，‎ ‎∵KF=KA﹣AF=BL﹣AF=（BG+GN﹣KM）﹣AF=10+8﹣﹣b=﹣b，‎ 即：（﹣b）2=（）2+b2，‎ 解得：b=，‎ ‎∴AF=FH=．‎ 点评： 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键，本题难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．‎ ‎　‎