全等三角形
一、选择题
1. 在下列各组图形中，是全等的图形是（ C ）
A．B． C． D．
2. 下列说法正确的是（ D ）
A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
3. 如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（B ）A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
4. 如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹弧MN是（ D ）
A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E D为圆心，DC为半径的弧
5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、4或2、4或3、4去均可
解析：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，故选D.
6. （2015•宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C.
7. （2015•义乌市）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
解析：在△ADC和△ABC中， AD＝AB ，DC＝BC， AC＝AC ，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．
8. 如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
解析：∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3，故选B.
8. 平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
解析：在△ACD和△BCE中， AC＝BC， CD＝CE ，AD＝BE，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°-75°-155°=130°，
故选：C．
9. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：在△ABD与△CBD中， AD＝CD, AB＝BC ,DB＝DB，∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中， AD＝CD， ∠ADB＝∠CDB， OD＝OD ，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，故①②正确；故选D.
10. 如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
解析：∵AD平分∠BA,∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC，AD=AD,∴△ABD≌△ACD（SAS）,
∴BD=CD，∠B=∠C,∵∠EDB=∠FDC,∴△BED≌△CFD（ASA）,∴BE=FC,∵AB=AC,
∴AE=AF,∵∠BAD=∠CAD，AD=AD,∴△AED≌△AFD.故选B.
11. 正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中 AB＝CB ∠ABC＝∠ DB＝CE C＝60°，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B=60°，
故选C．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒3个单位长度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，△BPD与△CQP全等，此时点Q的运动速度为每秒（ ）个单位长度．
A．3 B． C．3或3.75 D．2或3
解析：设当△BPD与△CQP全等时点Q的运动速度为每秒x个单位长度，时间为t，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=10，D为AB的中点，∴BD=5，要使△BPD与△CQP全等有两种情况：①BD=CP，BP=CQ，即3t=xt，解得：x=3；②BD=CQ，BP=CP，即5=xt，3t=8-3t，解得：t=，x==3.75，故选C．
二、填空题
13. 如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=10m，则水池宽AB=___10___ m．
14. 如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段_______.
解析：在△CAB和△DBA中， ∠C＝∠D， ∠CAB＝∠DBA ，AB＝AB ，
∴△CAB≌△DBA（AAS），∴BC=AD．
15. 如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为_______cm2．
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADF=∠DAB=∠B=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠DAF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，∠BAE＝∠DAF,
AB＝AD,
∠B＝∠ADF，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴S△BAE=S△DAF，
∴S四边形AFCE=S△DAF+S四边形ADCE=S△BAE+S四边形ADCE=S正方形=3×3=9（cm2）．
故答案为：9．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，A′在x轴上，则点B′的坐标是________.
解析：∵A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，∴OA=OA′=3，OB=A′B′=2，∴点B′的坐标是（3，-2），故答案为：（3，-2）．
17. （2014秋•建湖县期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=3，AE⊥AC，点P、Q分别是AC、AE上动点，且PQ=AB，当AP=______时，才能使△ABC和△PQA全等．
解析：分为两种情况：①当AP=3时，∵BC=3，∴AP=BC，∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， AB＝PQ BC＝AP ∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），②当AP=8时，∵AC=8，∴AP=AC，∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，∴在Rt△ABC和Rt△QAP中， AB＝PQ AC＝AP
∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），故答案为：3或8．
18. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是____________.
解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，∴△AEC≌△CDB．∴CE=BD=2，CD=AE=5，∴ED=CD-CE=5-2=3（cm）．
三、解答题
19. 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=7，BC=4，∠D=35°，∠C=60°
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DFA的度数．
解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE=7，BE=BC=4，
∴AE=AB-BE=7-4=3；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60°，
∴∠DFA=∠A+∠AEF=∠A+∠D+∠DBE=130°．
20.如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中， AB＝DE ∠B＝∠DEF BC＝EF ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
21. （2015•江干区一模）已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF.
’
证明：连接AC，AD，
在△ABC与△AED中， AB＝AE, ∠B＝∠E, BC＝ED
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∵AF⊥CD，
∴CF=DF．
22. 已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，∠C=∠B=∠α．（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图：
23. 如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
（1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，AB＝CB，∠ABG＝∠CBE，BG＝BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；
（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠AMB=90°，
∵∠AMB=∠CMN，
∴∠BCE+∠CMN=90°，
∴∠CNM=90°，
∴AG⊥CE．
24. （1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为____60°
；②线段AD，BE之间的数量关系为______AD=BE
．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB度数，说明理由．
解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC,
∠ACD＝∠BCE,
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，CA＝CB,∠ACD＝∠BCE,CD＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
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