2014-2015学年江苏省泰州市高港实验中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
2．下列说法中，错误的是（ ）
A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形
B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴
C． 成轴对称的两个三角形一定全等
D． 全等的两个三角形一定成轴对称
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等边三角形
5．和三角形三条边距离相等的点是（ ）
A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点
C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点
6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= ．
8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ．
9．已知△ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为 ．
10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC= ．
11．已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 度．
12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．
13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= ．
14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= cm．
15．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E= °，CE= ．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积= ．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．作图一：
如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积 ．
作图二：
如图2，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）
18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数．
19．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周长为8，求BC的长；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．
20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．
22．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．
（1）20s后，点P与点Q之间相距 cm．
（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 秒后两点相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= ；
（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；
（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．
2014-2015学年江苏省泰州市高港实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形
B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴
C． 成轴对称的两个三角形一定全等
D． 全等的两个三角形一定成轴对称
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形，轴对称的定义和性质分析找出错误选项．
解答： 解：A、正确，任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能组成一个轴对称图形．
B、正确，等腰三角形有1条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有3条对称轴；
C、正确，根据成轴对称的性质可知；
D、错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形，轴对称以及对称轴的定义和应用．关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
考点： 勾股数．
分析： 根据凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数，分别对每个选项进行验证即可解题．
解答： 解：A、∵122+152≠182，∴A错误，
B、∵0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整数，∴B错误；
C、∵1.52+2.52≠32，∴C错误；
D、∵122+162=202，∴D正确；
故选 D．
点评： 本题考查了勾股数的判定，根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数解题是解题的关键．
4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等边三角形
考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．
解答： 解：∵三角形的三个外角之比为3：3：2，
∴三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，
∴三角形对应的内角度数为45°，45°，90°，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故选B．
点评： 本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数．
5．和三角形三条边距离相等的点是（ ）
A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点
C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点
考点： 角平分线的性质．
分析： 题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．
解答： 解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；
高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．
故选A．
点评： 本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．
6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③．
解答： 解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD=BF•DF，S△CDE=CE•DE，DF=DE，
∴；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选A．
点评： 此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= 30° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．
解答： 解：∵等腰△ABC中，∠A=120°，
∴∠A为顶角，
∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣120°）=30°．
故答案为：30°．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．
解答： 解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；
当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；
故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．
故填22．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
9．已知△ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为 7.5 ．
考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．
分析： 利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解答： 解：∵92+122=225=152，
∴△ABC是直角三角形，
∴最长边上的中线长=×15=7.5．
故答案为：7.5．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．
10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC= 3 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 首先根据勾股定理求出BF的长，进而求出FC的长；再次根据勾股定理，列出关于线段EF的方程，求出EF的长度，即可解决问题．
解答： 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；
由题意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，
则EC=8﹣λ；
由勾股定理得：
BF2=102﹣82=36，
∴BF=6，CF=10﹣6=4；
由勾股定理得：
λ2=42+（8﹣λ）2，
解得：λ=5，EC=8﹣5=3，
故答案为：3．
点评： 该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
11．（3分）（2014秋•泰州校级期中）已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 35 度．
考点： 角平分线的性质．
分析： 过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．
解答： 解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE=EB=EF，
又∵∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°﹣35°=55°，
∴∠CDA=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．
故答案为：35．
点评： 本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EF⊥AD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答．
12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 12 米．
考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
解答： 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．
点评： 此题很简单，只要熟知勾股定理即可解答．
13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= 5 ．
考点： 勾股定理的证明．
分析： 根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
解答： 解：∵大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
∴a+b=5（舍去负值）．
故答案是：5．
点评： 本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= 4 cm．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．
解答： 解：∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，
∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5cm，
∵AB=9cm，
∴BD=9﹣5=4cm．
故填4．
点评： 本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．
15．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E= 30 °，CE= ．
考点： 等边三角形的性质．
专题： 综合题．
分析： 由△ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；
由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为△DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．
解答： 解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE=AC=．
故答案为：30；
点评： 此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积= 或 ．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： 易证△ADE≌△CDF，△CDE≌△BCF，可得四边形CEDF面积是△ABC面积的一半，再计算△CEF的面积即可解题．
解答： 解：①E在线段AC上，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF，（SAS），
∴同理△CDE≌△BDF，
∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半，
∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，
∴△CEF的面积=CE•CF=，
∴△DEF的面积=×2×2﹣=．
②E'在AC延长线上，
∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2，
∴∠DCE'=∠DBF'=135°，
∵在△CDE'和△BDF'中，，
∴△CDE'≌△BDF'，（SAS）
∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，
∵∠CDE'+∠BDE'=90°，
∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，
∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2×=13，
∴S△E'DF'=DE'2=．
故答案为 或．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解题的关键．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．作图一：
如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积 8 ．
作图二：
如图2，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）
考点： 作图-轴对称变换．
分析： 作图一：（1）利用轴对称图形的性质得出B点关于直线AE的对称点F，△AEF即为所求；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：S四边形AECD=2×4=8；
作图二：利用轴对称图形的性质得出，直线l即为所求．
解答： 解：作图一：（1）如图1所示：△AEF即为所求；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：2×4=8；
故答案为：8；
作图二：如图2所示：直线l即为所求
点评： 此题主要考查了轴对称变换，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理求出CD、AD的长，再根据勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判断出△ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度数．
解答： 解：在Rt△BCD中，CD===12，
在Rt△ACD中，AD===16，
∴AB=AD+DB=16+9=25，
∵AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
点评： 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相应的条件是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周长为8，求BC的长；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： ①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC=BC+AC=8，即可得出答案；
②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．
解答： 解：①∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长为8，
∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，
∵AB=AC=5，
∴BC=3；
②设∠A=a°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=a°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=a°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2a°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴5a=180，
∴a=36，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
点评： 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中．
20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
解答： 证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．
考点： 作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．
专题： 作图题．
分析： 作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．
解答： 解：如图所示，点O就是建水厂的位置，
∵AC=1km，BD=3km，CD=3km，
∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，
B′E=CD=3km，
AB′===5km，
铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，
∵铺设水管的工程费用为每千米20 000元，
∴铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元．
故答案为：100 000元．
点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键．
22．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 探究型．
分析：要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．
解答： 解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
解答： 证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=DM=AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．
解答： （1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．
（1）20s后，点P与点Q之间相距 50 cm．
（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 20 秒后两点相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
考点： 勾股定理；一元一次方程的应用．
专题： 动点型．
分析： （1）在直角△BPQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；
（2）由（1）中的PQ=50得到：50=（1+1.5）t；
（3）由路程=时间×速度列出等式．
解答： 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，
∴AB==60cm．
（1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ===50（cm），即PQ=50cm；
（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为：=20（秒）；
（3）设t秒后，AP=CQ．则
t=80﹣1.5t，
解得 t=32．
答：32秒后，AP=CQ．
故答案是：（1）50 （2）20 （3）32．
点评： 本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式．
26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= 2 ；
（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；
（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．
考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 综合题．
分析： （1）易证△AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；
（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到△OBP≌△ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；
（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．
解答： 解：（1）∵点A是线段OB的垂直平分线上一点，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP=PB=×4=2．
故答案为2；
（2）证明：如图①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，
，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；
（3）延长ON、BA交于点D，如图②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D=∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到△OBP≌△ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．
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