扶余市第一中学2015—2016学年度上学期第一次月考试题
高三数学理科
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和答题卡,试题自己保留。满分150分,考试时间120分钟。
第I卷 (选择题60分)
注意事项
1.答题前,考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
3.在三棱锥中,已知,平面, . 若其直观图、正视图、俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( ) A. B. C. D.
4. 在某项测量中,测量结果服从正态分布,若在内取值的概率是则在内取值的概率为( ).
A. B. C. D.
5.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种 B.42种 C.48种 D.54种
6.的展开式第项与第项的二项式系数相等,则展开式中所有奇数项系数和为( ).
A. B. C. D.
7.给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题,其中为真命题的是( ) .
①若,,点,则与不共面;
② 若、是异面直线,,,且,,则;
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③ 若,,,则;
④ 若,,,,,则,
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
8.如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法,若输入
,则输出的为( ).
A. B. C. D.
9.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形, 设四点均在以为球心的某个球面上,则到平面的距离为 ( ).
A. B. C. D.
10.甲同学参加一次数学竞赛考试,已知在备选的道试题中,甲能答对其中的道试题,规定每次考试都从备选中有放回地取题,每次取一题,取三次随机进行测试,至少答对题才算合格,则合格的概率为( ) .
A. B. C. D.
11.在边长为2的正方体内部随机取一个点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )A. B. C. D.
12.正四面体外接球半径为3,过棱AB作该球的截面,则截面面积的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在试卷上的答案无效.
13. 若命题“”为假命题,则实数的取值范围是 .
14.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位:百万元).
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5,则表中t的值为________.
15.设随机变量的分布列则= .
16.设则__________.
三、解答题:共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
中秋节吃月饼是我国的传统习俗.设有两种月饼礼盒,甲礼盒中装有2个五仁月饼,2个豆沙月饼,2个黑芝麻月饼;乙礼盒中装有3个五仁月饼,3个豆沙月饼.这12个月饼外观完全相同,从中随机选取4个.
(1)设事件A “选取的4个月饼中恰有2个五仁月饼,且这2个五仁月饼选自同一个礼盒”,求事件A发生的概率;
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(2)设为选取的4个月饼中豆沙月饼的个数,求随机变量的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形,平面平面,.
(1) 求证:平面;
(2) 求与平面所成角的正切值.
19.(本小题满分12分)
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对1-4号4扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金离开比赛,还可继续挑战后面的门以获得更多奖金.(奖金金额累加)但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),是否猜对歌曲名称人数统计如图所示.
正确
错误
每扇门对应的梦想基金:(单位:元)
(1)写出列联表;判断是否有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关?
说明你的理由.(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率是,且各个问题回答正确与否互不影响.设该选手所获梦想基金总数为,求的分布列及数学期望.
20.(本小题满分12分)
在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,为线段的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
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B小区
低碳族
非低碳族
比例P
今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以据此计算出自已每天的碳排量,例如:家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数,汽车的二氧化碳排放量(千克)=油耗公升数等.某班同学利用寒假在A、B两个小区逐户进行一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”这两族的人数占各自小区的比例P的数据如下:
A小区
低碳族
非低碳族
比例P
(1)如果甲、乙来自A小区,丙、丁来自B小区,求这人中恰有人是低碳族的概率;
(2)A小区经过大力宣传,每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列,如果2周后随机地从A小区中任选25个人,记表示25个人中低碳族人数,求.
请考生从(22),(23),(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时用铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若 ,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:极坐系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,设点的极坐标为,直线过点且与极轴成角为,圆的极坐标方程为.
(1) 写出直线参数方程,并把圆的方程化为直角坐标方程;
(2) 设直线与曲线圆交于、两点,求的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(1)求证:;
⑵ 当时,求不等式的解集.
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扶余市第一中学2014—2015学年度下学期末考试
高三数学理科参考答案
1~12 BADAB DCCAD DA
13. 14. 50 15. 0.9 16. 45
17. 解:(Ⅰ)由已知有, 所以事件错误!未找到引用源。发生的概率为.
(Ⅱ)的所有可能取值为,
所以随机变量的分布列为
X
0
1
2
3
4
18.(1)证明:
因为平面平面且
所以平面;
(2)作交AB于点D,连接
因为平面所以AB,
所以所以平面
所以作交于点M,则即为所求,
在Rt中有
所以与平面所成角的正切值为.
19.解:(Ⅰ)根据所给的二维条形图得到列联表,
正确
错误
合计
20~30(岁)
10
30
40
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30~40(岁)
10
70
80
合计
20
100
120
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3