扶余市第一中学2015—2016学年度上学期第一次月考试题
高三数学文科
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和答题卡,试题自己保留。满分150分,考试时间120分钟。
第I卷 (选择题60分)
注意事项
1.答题前,考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
3.在三棱锥中,已知,平面, . 若其直观图、正视图、俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
4. 已知命题,则“是真命题”是“为假命题”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( )
A. B. C. D.
6.两个变量与的回归模型中,分别选择了4个不同模型,计算出它们的相关指数如 下,其中拟合效果最好的模型是 ( )
A.模型1(相关指数为0.97) B.模型2(相关指数为0.89)
C.模型3(相关指数为0.56 ) D.模型4(相关指数为0.45)
7.给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题,其中为真命题的是( ) .
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①若,,点,则与不共面;
② 若、是异面直线,,,且,,则;
③ 若,,,则;
④ 若,,,,,则,
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
8.如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法,若输入
,则输出的为( ).
A. B. C. D.
9.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形, 设四点均在以为球心的某个球面上,则到平面的距离为 ( ).
A. B. C. D.
10.把等腰直角沿斜边上的高折成直二面角,则与平面所成角的正切值为( ) .
A. B. C. D.
11.在边长为2的正方体内部随机取一个点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )A. B. C. D.
12.正四面体外接球半径为3,过棱AB作该球的截面,则截面面积的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在试卷上的答案无效.
13.某班某次数学考试成绩好,中,差的学生人数之比为3:5:2,现在用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本,则应从成绩好的学生中抽取__________名学生.
14.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位:百万元).
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5,则表中t的值为________.
15.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为 .
16.若命题“”为假命题,则实数的取值范围是 .
三、解答题:共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
2015年7月16日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过20亿。某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的100名观众中随机调查了20名观众
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,已知抽到的观众年龄可分成5组:,,,,,根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。
(1)根据已知条件,补充画完整频率分布直方图,并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数;
(2)现在从年龄属于和的两组中随机抽取2人,求他们属于同一年龄组的概率.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是菱形,⊥平面,
分别为的中点.
(1)求证:
(2)证明:平面⊥平面.
19.(本小题满分12分)
如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,, 为线段的中点。
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积。
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20.(本小题满分12分)
某机械厂今年进行了五次技能考核,其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,成绩统计情况如茎叶图所示(其中a是0--9的某个整数)
(1)若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训,从成绩稳定性角度考虑,你认为谁去比较合适?
(2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析,在抽取的两次成绩中,求至少有一次成绩在(90,100]之间的概率.
21.(本小题满分12分)
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对1-4号4扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金离开比赛,还可继续挑战后面的门以获得更多奖金.(奖金金额累加)但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),是否猜对歌曲名称数统计如图所示.
正确
错误
(1) 根据二维条形图写出列联表;
(2) 是否有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关?
说明你的理由.(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
请考生从(22),(23),(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时用铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若 ,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:极坐系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中
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取相同的长度单位,设点的极坐标为,直线过点且与极轴成角为,圆的极坐标方程为.
(1) 写出直线参数方程,并把圆的方程化为直角坐标方程;
(2) 设直线与曲线圆交于B、C两点,求的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(1)求证:;
⑵ 当时,求不等式的解集.
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高三数学文科参考答案
1~12 BADAC ACCA B DA
13.6 14.50 15. 16.
17.解析:(1) 补充完成的频率分布直方图如下:
……………………3分
估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为
………………5分
……………………………………………………………………………6分
(2) 年龄属于和的分别有4人,2人,………………………8分
分别记为A1,A2,A3,A4,B1,B2
则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,………………………10分
其中,两人属于同一年龄组的有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),(B1,B2)共7种, ………………………………………………………11分
∴ 所求的概率为. ………………………………………………………12分
18.(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接
因为为的中点,所以且 ……2分
因为为菱形边的中点,
所以且…………………3分 所以且,
所以四边形是平行四边形,
所以 …………………………………5分
又因为错误!未找到引用源。平面,平面,所以直线平面
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. …6分
(Ⅱ)证明:如图,连接、,相交于点错误!未找到引用源。,
因为⊥平面,,所以⊥平面.
因为四边形是菱形 所以, ,
⊥平面 又平面,所以平面⊥平面.
19.解:(1)连接,如图,∵、分别是、的中点,四边形是矩形,
∴四边形是平行四边形,∴. …………………………2分
∵平面,平面,
∴平面.………………………… 4分
(2)连接,∵正方形的边长为,,
∴,,,
则,∴. …………………………………………6分
∵在长方体中,,,
∴平面,又平面,
∴,又,(法二:由,是中点,得)
∴平面. ………………………10分
……………………………12
20.解:(1)由已知中的茎叶图可得:甲的平均分为:(88+89+90+91+92)=90,
由甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,故乙的平均分:(84+88+89+90+a+96)=90,
解得:a=3,则==2,=17.2,
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∵甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,但>,
∴从成绩稳定性角度考虑,我认为甲去比较合适,
(2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析,共有10种不同抽取方法,
其中至少有一次成绩在(90,100]之间有 7种方法,
故至少有一次成绩在(90,100]之间的概率P=
21. 解:(1)根据所给的二维条形图得到列联表,
正确
错误
合计
20~30(岁)
10
30
40
30~40(岁)
10
70
80
合计
20
100
120
(2)根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3