北师大附属实验中学2014－2015学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(理科一卷)
班级 姓名 学号 分数
试卷说明：
1、本试卷考试时间为120分钟，总分为150分；试卷一100分，试卷二50分；
2、试卷共4页，一卷共三道大题，17道小题；二卷共两道大题，8道小题．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）
1. 已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是
A．平面 B．平面
C．平面 D．与平面相交，或平面
2．已知过点和的直线与直线平行，则的值为
A． B． C． D．
3．过点作圆的切线,则切线方程为
A． B．
C．或 D．或
4．设表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是
A．，则// B．,,则
C．,,则 D．，则
5．点与圆上任一点所连线段的中点轨迹方程是
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，,若使△ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是
A． B． C． D．
7．某正三棱柱的三视图如图所示，
其中正（主）视图是边长为的正方形，
该正三棱柱的表面积是
A．
B．
C．
D．
- 12 -
8．已知点A(0，2)，B(2，0).若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.若圆的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线对称，则圆的标准方程为_______.
10．棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为 cm .
2
3
4
11.平面截球的球面所得圆的半径为,球心到平面的距离为,则此球的表面积为 .
12.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则 .
13.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.
14．在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是_ .
三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）
15．在平面直角坐标系内有三个定点，记的外接圆为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程.
EA
DA
CA
BA
PA
A
16．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
A B
D1 C1
D C
O
A1 B1
17．在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与
- 12 -
交点，已知,.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.
2014－2015学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(理科二卷)
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填在横线上）
18．已知的展开式中的系数是10，则实数的值是________．
19. 已知正三棱锥的每个侧面是顶角为,腰长为的等腰三角形,分别是上的点,则的周长的最小值为 ．
20. 空间四边形中，若，则的取值范围是_________．
21．设点，若在圆:上存在点，使得，则的取值范围是________.
22．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 .
五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）
23．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；
（Ⅲ）证明：.
24．已知点及圆：
（Ⅰ）设过的直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
25．设圆的方程为，直线的方程为．
（Ⅰ）求关于对称的圆的方程；
- 12 -
（Ⅱ）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．
北师大实验中学2014－2015学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸
班级 姓名 学号 分数_________
一卷
一．选择题：请将正确答案的序号涂在机读卡上
二．填空题（每小题5分，共30分）
9． ； 10． ； 11． ；
12． ； 13． ； 14． ；
三．解答题
15．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系内有三个定点，记的外接圆为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程.
- 12 -
16．（本小题满分10分）
EA
DA
CA
BA
PA
A
如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
17．（本小题满分10分）
在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
- 12 -
A B
D1 C1
D C
O
A1 B1
（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.
二卷
四．填空题（每小题4分，共20分）
18． ； 19． ； 20． ；
21． ； 22． .
五．解答题
23．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.
- 12 -
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；
（Ⅲ）证明：.
北师大实验中学2014－2015学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸
班级 姓名 学号 分数_________
24．（本小题满分10分）
已知点及圆：
（Ⅰ）设过的直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
- 12 -
25．（本小题满分10分）
设圆的方程为，直线的方程为．
（Ⅰ）求关于对称的圆的方程；
（Ⅱ）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．
北师大附属实验中学
2014－2015学年度第一学期高二年级数学期中试卷参考答案
一卷
一.选择题
1-8: D B C D A D C A
二.填空题
9. ； 10.； 11.；
- 12 -
12.； 13. ； 14.
三．解答题
15. 解：（Ⅰ）设的外接圆E的圆心，半径为r(r>0). 则E为：.
由题意，得， …………………3分
解得， 所以E： …………………5分
（Ⅱ）设直线l的方程为或（舍）.
如图，设l与圆E相交于点M，N，过圆心作直线l的垂线，垂足为P，
D
y l
M
P
N
O x
所以，即，
在 Rt中，，，
所以， …………6分
又因为圆E的圆心到直线l的距离.…………………7分
所以，
解得或, …………………9分
故直线l的方程为或. …………………10分
16. 解：（Ⅰ）因为，分别为，中点，
所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面. …………………3分
（Ⅱ）连结，
因为∥，又°，
所以.
EA
DA
CA
BA
PA
A
又，为中点，
- 12 -
所以.
所以平面，
所以. …………………6分
（Ⅲ）因为平面平面，
有，
所以平面， …………………8分
所以. …………10分
17. 解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱中，底面，
A B
D1 C1
D C
O
E
M
A1 B1
所以底面.
又底面,
所以.
因为为菱形，
所以.而，
所以平面. …………3分
（Ⅱ）连接,交于点，连接.
依题意，∥,
且，,
所以为矩形.
所以∥.
又,,,
所以=，所以为平行四边形，
则∥.
又平面，平面,
所以∥平面. …………………6分
（Ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点.
分析如下：连接，则.
由于∥,故欲使，只需,从而需.
又在中，,又为中点，所以.
故点一定在线段上. …………………………8分
当时，取最小值.
在直角三角形中，,,,
所以. …………………………10分
二卷
- 12 -
四.填空题
18．； 19．； 2０． 21． 22．
五．解答题
23. 解：（I）底面，
，
，，
面. …………3分
（II）面//面，面面，面面，
//，
在中是棱的中点，
是线段的中点. …………6分
（III）三棱柱中
侧面是菱形，
由（1）可得，
，
面，
.
又分别为棱的中点，
//，
. …………10分
24. （Ⅰ），而弦心距
又，为中点
则以为直径的圆的方程为： …………4分
（Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，
- 12 -
消去，整理得．
由于直线交圆于两点，故，
即，解得． 则实数的取值范围是．…………6分
设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，而，所以．…………8分
由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． …………10分
25.解：（Ⅰ）圆C1的圆心为，设C1关于直线l对称点为C2（a，b）
则 …………2分
解得：
∴圆C2的方程为 …………………………4分
（Ⅱ）由消去m得a－2b+1=0
即圆C2的圆心在定直线x－2y+1=0上。 …………6分
设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则
…………7分
即
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有： 解之得：
所以所表示的一系列圆的公切线方程为：或…………10分
- 12 -
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