济宁市2014-2015高二数学上学期期末试卷(文科含解析)
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资料简介
‎2014-2015学年山东省济宁市高二(上)期末数学试卷(文科) ‎ ‎ ‎ 一.选择题 ‎1.双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=± B.y=± C.y=± D.y=±‎ ‎ ‎ ‎2.“2b=a+c“是“a,b,c成等差数列”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎3.下列说法正确的是(  )‎ A.命题“若a>b,则a2>b2”的否命题是“若a<b,则a2<b2”‎ B.命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题是“若a≤b,则a2≤b2”‎ C.命题“∀∈R,cosx<1”的否命题是“∃x0∈R,cosx0≥1”‎ D.命题“∀∈R,cosx<1”的否命题是“∃x0∈R,cosx0>1”‎ ‎ ‎ ‎4.△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2﹣c2=ab,则角C为(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎ ‎ ‎5.等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎ ‎ ‎6.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值是(  )‎ A.6 B.3 C. D.1‎ ‎ ‎ ‎7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=(  )‎ A.﹣11 B.﹣8 C.5 D.11‎ ‎ ‎ ‎8.数列{an}的通项公式an=n2+n,则数列{}的前9项和为(  )‎ A. B. C. D.‎ - 15 -‎ ‎ ‎ ‎9.下列命题中正确的是(  )‎ A.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d B.若a>b>0,c<d<0则ac<bd C.若a>b>0,c<0,则>< D.若a>b>0,则a﹣a>b﹣b ‎ ‎ ‎10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且满足|PF1|=|,|OP|=|OF2|(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为(  )‎ A.3 B. C.5 D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎11.已知tanα=,则tan2α=      .‎ ‎ ‎ ‎12.△ABC中,AC=,BC=,∠B=60°,则∠A=      .‎ ‎ ‎ ‎13.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式an=      .‎ ‎ ‎ ‎14.已知抛物线C:y2=4x的焦点F,点P为抛物线C上任意一点,若点A(3,1),则|PF|+|PA|的最小值为      .‎ ‎ ‎ ‎15.已知正数a,b满足2a+b=ab,则a+2b的最小值为      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎16.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinB=bcosA.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b=1,△ABC的面积为,求a的值.‎ ‎ ‎ ‎17.已知p:∀x∈R,x2+mx﹣m+3>0;q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0,若p∧q为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,S4=30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an•2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ - 15 -‎ ‎(2)若f()=,,求cosα的值.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏,按照修建要求,中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFCD为正方形,设AB=x米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米500元,设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.‎ ‎(1)求出y关于x的函数解析式及x的取值范围;‎ ‎(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?并求出y的最小值.‎ ‎ ‎ ‎21.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆M:=1(a>b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2,离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A,B两点.‎ ‎①当直线l的斜率为1时,求线段AB的长;‎ ‎②若椭圆M上存在点P,使得以OA,OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 15 -‎ ‎2014-2015学年山东省济宁市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题 ‎1.(5分)(2014秋•济宁期末)双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=± B.y=± C.y=± D.y=±‎ 考点: 双曲线的简单性质.‎ 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析: 由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x,求出a,b即可得到渐近线方程.‎ 解答: 解:双曲线的a=3,b=4,‎ 由于渐近线方程为y=x,‎ 即为y=±x.‎ 故选A.‎ 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.“2b=a+c“是“a,b,c成等差数列”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ 专题: 简易逻辑.‎ 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义进行判断即可.‎ 解答: 解:由2b=a+c得b﹣a=c﹣b,即a,b,c成等差数列,‎ 若a,b,c成等差数列,则b﹣a=c﹣b,‎ 即“2b=a+c“是“a,b,c成等差数列”的充要条件,‎ 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据等差数列的定义是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.下列说法正确的是(  )‎ A.命题“若a>b,则a2>b2”的否命题是“若a<b,则a2<b2”‎ B.命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题是“若a≤b,则a2≤b2”‎ C.命题“∀∈R,cosx<1”的否命题是“∃x0∈R,cosx0≥1”‎ D.命题“∀∈R,cosx<1”的否命题是“∃x0∈R,cosx0>1”‎ 考点: 四种命题.‎ - 15 -‎ 专题: 简易逻辑.‎ 分析: 根查否命题和逆否命题的定义即可判断 解答: 解:选项A,命题“若a>b,则a2>b2”的否命题是“若a≤b,则a2≤b2”故错误,‎ 选项B,命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题是“若a2≤b2,则a≤b”故错误,‎ 选项C,D命题“∀∈R,cosx<1”的否命题是“∃x0∈R,cosx0≥1”故C正确,D错误 故选:C 点评: 本题以命题为载体,考查否命题和逆否命题,属于基础题 ‎ ‎ ‎4.△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2﹣c2=ab,则角C为(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ 考点: 余弦定理.‎ 专题: 计算题;解三角形.‎ 分析: 利用余弦定理表示出cosC,把已知的等式代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.‎ 解答: 解:∵a2+b2﹣c2=ab,‎ ‎∴根据余弦定理得:cosC==,‎ 又∵C为三角形的内角,‎ 则∠C=30°.‎ 故选:A.‎ 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,利用了整体代入的思想,余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ 考点: 两角和与差的正切函数.‎ 专题: 三角函数的求值.‎ 分析: 利用tan45°=1和两角和的正切公式化简即可.‎ 解答: 解:==tan(45°+75°)‎ ‎=tan120°=,‎ 故选:B.‎ 点评: 本题考查两角和的正切公式,以及特殊角的正切值:“1”的代换问题,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值是(  )‎ A.6 B.3 C. D.1‎ - 15 -‎ 考点: 简单线性规划.‎ 专题: 不等式的解法及应用.‎ 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可.‎ 解答: 解:变量x,y满足约束条件,目标函数z=2x+y,‎ 画出图形:‎ 点A(1,1),zA=3,‎ B(0,1),zB=2×0+1=1‎ C(3,0),zC=2×3+0=6,‎ z在点B处有最小值:1,‎ 故选:D.‎ 点评: 本题主要考查了简单的线性规划,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解,是常用的一种方法.‎ ‎ ‎ ‎7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=(  )‎ A.﹣11 B.﹣8 C.5 D.11‎ 考点: 等比数列的性质.‎ 专题: 转化思想.‎ 分析: 由等比数列的前n项和公式,故==1+q2,由此知,应该有方程8a2+a5=0求出q的值,再代入求值,选出正确选项 解答: 解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0‎ ‎∴8a1q+a1q4=0‎ 又数列是等比数列,首项不为0‎ ‎∴8q+q4=0,又q不为零,故有q=﹣2‎ ‎∴===5‎ - 15 -‎ 故选C 点评: 本题考查等比数列的性质,解题的关键是由8a2+a5=0求出公比q的值,再由等比数列的求和公式将用q表示出来,即可求出值,本题考查了转化的思想及计算能力,‎ ‎ ‎ ‎8.数列{an}的通项公式an=n2+n,则数列{}的前9项和为(  )‎ A. B. C. D.‎ 考点: 数列的求和.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: 由an=n2+n,可得=,利用“裂项求和”即可得出.‎ 解答: 解:∵an=n2+n,‎ ‎∴=,‎ 则数列{}的前9项和=+…+‎ ‎=1﹣‎ ‎=.‎ 故选:A.‎ 点评: 本题考查了“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.下列命题中正确的是(  )‎ A.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d B.若a>b>0,c<d<0则ac<bd C.若a>b>0,c<0,则>< D.若a>b>0,则a﹣a>b﹣b 考点: 命题的真假判断与应用.‎ 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.‎ 分析: 由不等式的可乘性和可加性,即可判断A;由不等式的可乘性,以及正向不等式的可积性,即可判断B;‎ 由不等式的可乘性和反比例函数的性质,即可判断C;运用举反例的方法,比如a=1,b=,即可判断D.‎ 解答: 解:对于A.若a>b,c<d,即﹣c>﹣d,则有a﹣c>b﹣d,则A错;‎ 对于B.若a>b>0,c<d<0,则﹣c>﹣d>0,则有﹣ac>﹣bd,即ac<bd,则B对;‎ 对于C.若a>b>0,c<0,则0<<,即有>,则C错;‎ 对于D.若a>b>0,则可举a=1,b=,则a﹣a=1,b﹣b=,显然1<,则D错.‎ 故选B - 15 -‎ 点评: 本题考查不等式的性质及运用,考查反例法判断命题的真假,考查运算能力,属于基础题和易错题.‎ ‎ ‎ ‎10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且满足|PF1|=|,|OP|=|OF2|(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为(  )‎ A.3 B. C.5 D.‎ 考点: 双曲线的简单性质.‎ 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析: 运用双曲线的定义,结合条件可得|PF1|=8a,|PF2|=6a,再由|OP|=|OF2|,得到∠F1PF2=90°,由勾股定理及离心率公式,计算即可得到.‎ 解答: 解:由于点P在双曲线的右支上,‎ 则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,‎ 又|PF1|=|PF2|,‎ 解得|PF1|=8a,|PF2|=6a,‎ 由于△PF1F2中,|OP|=|OF2|=|OF1|,‎ 则∠F1PF2=90°,‎ 由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,‎ 即有64a2+36a2=4c2,‎ 即有c=5a,‎ 即e==5.‎ 故选C.‎ 点评: 本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查双曲线的离心率的求法,同时考查勾股定理的运用,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎11.已知tanα=,则tan2α=  .‎ 考点: 二倍角的正切.‎ 专题: 三角函数的求值.‎ 分析: 由条件利用二倍角的正切公式,求得tan2α的值.‎ 解答: 解:∵tanα=,∴tan2α===,‎ 故答案为:‎ 点评: 本题主要考查二倍角的正切公式的应用,属于基础题.‎ - 15 -‎ ‎ ‎ ‎12.△ABC中,AC=,BC=,∠B=60°,则∠A=  .‎ 考点: 正弦定理.‎ 专题: 计算题;解三角形.‎ 分析: 由已知及正弦定理可得sinA=,又AC=>BC=,由大边对大角即可求∠A.‎ 解答: 解:∵由正弦定理可得:sinA===,‎ 又∵AC=>BC=,‎ ‎∴∠B=60°>∠A,‎ ‎∴∠A=.‎ 故答案为:.‎ 点评: 本题主要考查了正弦定理、大边对大角等知识的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式an= 2n .‎ 考点: 数列递推式.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: 由已知条件利用公式,能求出an.‎ 解答: 解:∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n,‎ ‎∴a1=S1=1+1=2,‎ an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+n)﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n,‎ 当n=1时,上式成立,‎ ‎∴an=2n.‎ 故答案为:2n.‎ 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎14.已知抛物线C:y2=4x的焦点F,点P为抛物线C上任意一点,若点A(3,1),则|PF|+|PA|的最小值为 4 .‎ 考点: 抛物线的简单性质.‎ 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ 分析: 设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得.‎ 解答: 解:抛物线C:y2=4x的准线为x=﹣1.‎ - 15 -‎ 设点P在准线上的射影为D,‎ 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,‎ 要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小.‎ 当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|最小,为3﹣(﹣1)=4.‎ 故答案为:4.‎ 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.已知正数a,b满足2a+b=ab,则a+2b的最小值为 9 .‎ 考点: 基本不等式.‎ 专题: 不等式的解法及应用.‎ 分析: 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ 解答: 解:∵正数a,b满足2a+b=ab,‎ ‎∴=1.‎ 则a+2b=(a+2b)=5+=9,当且仅当a=b=3时取等号,‎ 因此a+2b的最小值为9.‎ 点评: 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎16.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinB=bcosA.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若b=1,△ABC的面积为,求a的值.‎ 考点: 余弦定理;正弦定理.‎ 专题: 计算题;解三角形.‎ 分析: (Ⅰ)利用正弦定理化简已知条件,通过三角形内角求解A的大小即可.‎ ‎(Ⅱ)由三角形面积公式先求c的值,即可直接利用余弦定理求解.‎ 解答: 解:(Ⅰ)asinB=bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA,‎ ‎∵B是三角形内角,∴sinB≠0,‎ ‎∴可解得:tanA=,A是三角形内角,‎ ‎∴A=.‎ - 15 -‎ ‎(Ⅱ)∵b=1,S△ABC===,‎ ‎∴可解得:c=4,‎ ‎∴由余弦定理可知:a2=b2+c2﹣2bccosA…(9分)‎ ‎=1+16﹣2×1×4×=13…(11分)‎ ‎∴a=…(12分)‎ 点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.已知p:∀x∈R,x2+mx﹣m+3>0;q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0,若p∧q为真命题,求实数m的取值范围.‎ 考点: 复合命题的真假.‎ 专题: 简易逻辑.‎ 分析: 利用一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系化简命题p,q,由p∧q为真命题,则p与q都为真命题,即可得出.‎ 解答: 解:p:∀x∈R,x2+mx﹣m+3>0,则△=m2﹣4(3﹣m)<0,解得﹣6<m<2;‎ q:∃x0∈R,x02+2x0﹣m﹣1=0,则△1=4﹣4(﹣m﹣1)≥0,解得m≥﹣2.‎ 若p∧q为真命题,则p与q都为真命题,‎ ‎∴,‎ 解得﹣2≤m<2.‎ ‎∴实数m的取值范围是﹣2≤m<2.‎ 点评: 本题考查了一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系、复合命题的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,S4=30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an•2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: (1)利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;‎ ‎(2)bn=an•2n+1=•2n+1.利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.‎ 解答: 解:(1)设差数列{an}的公差为d,∵a1=4,S4=30.‎ ‎∴=30,‎ 解得d=.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=4+=.‎ - 15 -‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)bn=an•2n+1=•2n+1.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=,‎ ‎+…+(7n﹣2)×2n+(7n+5)×2n+1]‎ ‎∴﹣Tn=+…+7×2n﹣(7n+5)×2n+1]‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎∴Tn=.‎ 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f()=,,求cosα的值.‎ 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象.‎ 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.‎ 分析: (1)首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的正周期.‎ ‎(2)利用(1)的函数关系式,对角进行恒等变形,进一步利用公式的展开式求出结果.‎ 解答: 解:(1)f(x)=x.‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以:‎ ‎(2)由(1)得:f(x)=‎ 所以:‎ - 15 -‎ 则:‎ 因为:,‎ 所以:‎ 则:‎ cosα==cos()cos+sin()sin ‎=‎ 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,利用正弦型函数的周期公式求函数的周期,角的恒等变化,求函数的值.属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏,按照修建要求,中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFCD为正方形,设AB=x米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米500元,设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.‎ ‎(1)求出y关于x的函数解析式及x的取值范围;‎ ‎(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?并求出y的最小值.‎ 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用;不等式的实际应用.‎ 专题: 应用题;不等式的解法及应用.‎ 分析: (1)根据面积确定AD的长,利用围墙(包括EF)的修建费用均为500元每平方米,即可求得函数的解析式;‎ ‎(2)根据函数的特点,满足一正二定的条件,利用基本不等式,即可确定函数的最值.‎ 解答: 解:(1)设AD=t米,则由题意得xt=2400,且t>x,故t=>x,可得0,…(4分)‎ 则y=500(3x+2t)=500(3x+2×),‎ 所以y关于x的函数解析式为y=1500(x+)(0).‎ ‎(2)y=1500(x+)≥1500×2=120000,‎ 当且仅当x=,即x=40时等号成立.‎ - 15 -‎ 故当x为40米时,y最小.y的最小值为120000元.‎ 点评: 本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,确定函数模型是关键.‎ ‎ ‎ ‎21.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆M:=1(a>b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2,离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A,B两点.‎ ‎①当直线l的斜率为1时,求线段AB的长;‎ ‎②若椭圆M上存在点P,使得以OA,OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ 考点: 椭圆的简单性质.‎ 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析: (1)运用离心率公式和a,b,c的关系,可得a,b,进而得到椭圆方程;‎ ‎(2)①设直线l:y=x﹣,代入椭圆方程,求出方程的根,即可求线段AB的长;‎ ‎②假设椭圆上存在点P(m,n),使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形.设直线方程为y=k(x﹣),代入椭圆方程,运用韦达定理,结合=+,则m=x1+x2,n=y1+y2,求得P的坐标,代入椭圆方程,即可得到k,即可判断P的存在和直线的方程.‎ 解答: 解:(1)由题意,c=,=,‎ ‎∴a=2,b=1,‎ ‎∴椭圆M的标准方程为;‎ ‎(2)①可设直线方程为y=x﹣‎ 代入椭圆方程可得5x2﹣8x+8=0‎ ‎∴x=‎ ‎∴弦AB的长为=;‎ ‎②假设椭圆上存在点P(m,n),使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形.‎ 设直线方程为y=k(x﹣),代入椭圆方程,可得(1+4k2)x2﹣8k2x+12k2﹣4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由=+,则m=x1+x2,n=y1+y2,‎ x1+x2=,x1x2=,‎ y1+y2=k(x1+x2﹣2)=k(﹣2)=,‎ - 15 -‎ 即有P(,),‎ 代入椭圆方程可得=1,‎ 解得k2=,解得k=±,‎ 故存在点P(,﹣),或(,﹣),‎ 则有直线l:y=x﹣或y=﹣x+.‎ 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查离心率公式和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ - 15 -‎

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