山东省济宁市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试卷 文（含解析）.doc

‎2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文科） ‎ ‎　‎ 一.选择题 ‎1．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±‎ ‎　‎ ‎2．“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”‎ B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a≤b，则a2≤b2”‎ C．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”‎ D．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”‎ ‎　‎ ‎4．△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2﹣c2=ab，则角C为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎　‎ ‎5．等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎　‎ ‎6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．6 B．3 C． D．1‎ ‎　‎ ‎7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则=（　　）‎ A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的通项公式an=n2+n，则数列{}的前9项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ - 15 -‎ ‎　‎ ‎9．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0则ac＜bd C．若a＞b＞0，c＜0，则＞＜ D．若a＞b＞0，则a﹣a＞b﹣b ‎　‎ ‎10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|PF1|=|，|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．5 D．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎11．已知tanα=，则tan2α=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．△ABC中，AC=，BC=，∠B=60°，则∠A=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．若数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．已知正数a，b满足2a+b=ab，则a+2b的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=bcosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b=1，△ABC的面积为，求a的值．‎ ‎　‎ ‎17．已知p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0；q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，S4=30．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an•2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ - 15 -‎ ‎（2）若f（）=，，求cosα的值．‎ ‎　‎ ‎20．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．‎ ‎（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；‎ ‎（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．‎ ‎　‎ ‎21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆M：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A，B两点．‎ ‎①当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；‎ ‎②若椭圆M上存在点P，使得以OA，OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 15 -‎ ‎2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题 ‎1．（5分）（2014秋•济宁期末）双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，求出a，b即可得到渐近线方程．‎ 解答： 解：双曲线的a=3，b=4，‎ 由于渐近线方程为y=x，‎ 即为y=±x．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义进行判断即可．‎ 解答： 解：由2b=a+c得b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，‎ 若a，b，c成等差数列，则b﹣a=c﹣b，‎ 即“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的充要条件，‎ 故选：C 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”‎ B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a≤b，则a2≤b2”‎ C．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”‎ D．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”‎ 考点： 四种命题．‎ - 15 -‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根查否命题和逆否命题的定义即可判断 解答： 解：选项A，命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”故错误，‎ 选项B，命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”故错误，‎ 选项C，D命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”故C正确，D错误 故选：C 点评： 本题以命题为载体，考查否命题和逆否命题，属于基础题 ‎　‎ ‎4．△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2﹣c2=ab，则角C为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 考点： 余弦定理．‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： 利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．‎ 解答： 解：∵a2+b2﹣c2=ab，‎ ‎∴根据余弦定理得：cosC==，‎ 又∵C为三角形的内角，‎ 则∠C=30°．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ 考点： 两角和与差的正切函数．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用tan45°=1和两角和的正切公式化简即可．‎ 解答： 解：==tan（45°+75°）‎ ‎=tan120°=，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查两角和的正切公式，以及特殊角的正切值：“1”的代换问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．6 B．3 C． D．1‎ - 15 -‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．‎ 解答： 解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，‎ 画出图形：‎ 点A（1，1），zA=3，‎ B（0，1），zB=2×0+1=1‎ C（3，0），zC=2×3+0=6，‎ z在点B处有最小值：1，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．‎ ‎　‎ ‎7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则=（　　）‎ A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11‎ 考点： 等比数列的性质．‎ 专题： 转化思想．‎ 分析： 由等比数列的前n项和公式，故==1+q2，由此知，应该有方程8a2+a5=0求出q的值，再代入求值，选出正确选项 解答： 解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0‎ ‎∴8a1q+a1q4=0‎ 又数列是等比数列，首项不为0‎ ‎∴8q+q4=0，又q不为零，故有q=﹣2‎ ‎∴===5‎ - 15 -‎ 故选C 点评： 本题考查等比数列的性质，解题的关键是由8a2+a5=0求出公比q的值，再由等比数列的求和公式将用q表示出来，即可求出值，本题考查了转化的思想及计算能力，‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的通项公式an=n2+n，则数列{}的前9项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点： 数列的求和．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由an=n2+n，可得=，利用“裂项求和”即可得出．‎ 解答： 解：∵an=n2+n，‎ ‎∴=，‎ 则数列{}的前9项和=+…+‎ ‎=1﹣‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0则ac＜bd C．若a＞b＞0，c＜0，则＞＜ D．若a＞b＞0，则a﹣a＞b﹣b 考点： 命题的真假判断与应用．‎ 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： 由不等式的可乘性和可加性，即可判断A；由不等式的可乘性，以及正向不等式的可积性，即可判断B；‎ 由不等式的可乘性和反比例函数的性质，即可判断C；运用举反例的方法，比如a=1，b=，即可判断D．‎ 解答： 解：对于A．若a＞b，c＜d，即﹣c＞﹣d，则有a﹣c＞b﹣d，则A错；‎ 对于B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd，则B对；‎ 对于C．若a＞b＞0，c＜0，则0＜＜，即有＞，则C错；‎ 对于D．若a＞b＞0，则可举a=1，b=，则a﹣a=1，b﹣b=，显然1＜，则D错．‎ 故选B - 15 -‎ 点评： 本题考查不等式的性质及运用，考查反例法判断命题的真假，考查运算能力，属于基础题和易错题．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|PF1|=|，|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．5 D．‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．‎ 解答： 解：由于点P在双曲线的右支上，‎ 则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 又|PF1|=|PF2|，‎ 解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，‎ 由于△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，‎ 则∠F1PF2=90°，‎ 由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，‎ 即有64a2+36a2=4c2，‎ 即有c=5a，‎ 即e==5．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎11．已知tanα=，则tan2α=　　．‎ 考点： 二倍角的正切．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由条件利用二倍角的正切公式，求得tan2α的值．‎ 解答： 解：∵tanα=，∴tan2α===，‎ 故答案为：‎ 点评： 本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．‎ - 15 -‎ ‎　‎ ‎12．△ABC中，AC=，BC=，∠B=60°，则∠A=　　．‎ 考点： 正弦定理．‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： 由已知及正弦定理可得sinA=，又AC=＞BC=，由大边对大角即可求∠A．‎ 解答： 解：∵由正弦定理可得：sinA===，‎ 又∵AC=＞BC=，‎ ‎∴∠B=60°＞∠A，‎ ‎∴∠A=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查了正弦定理、大边对大角等知识的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．若数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则数列{an}的通项公式an=　2n　．‎ 考点： 数列递推式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知条件利用公式，能求出an．‎ 解答： 解：∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n，‎ ‎∴a1=S1=1+1=2，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，‎ 当n=1时，上式成立，‎ ‎∴an=2n．‎ 故答案为：2n．‎ 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为　4　．‎ 考点： 抛物线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．‎ 解答： 解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．‎ - 15 -‎ 设点P在准线上的射影为D，‎ 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，‎ 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．‎ 当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4．‎ 故答案为：4．‎ 点评： 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．已知正数a，b满足2a+b=ab，则a+2b的最小值为　9　．‎ 考点： 基本不等式．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ 解答： 解：∵正数a，b满足2a+b=ab，‎ ‎∴=1．‎ 则a+2b=（a+2b）=5+=9，当且仅当a=b=3时取等号，‎ 因此a+2b的最小值为9．‎ 点评： 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=bcosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b=1，△ABC的面积为，求a的值．‎ 考点： 余弦定理；正弦定理．‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： （Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式先求c的值，即可直接利用余弦定理求解．‎ 解答： 解：（Ⅰ）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，‎ ‎∵B是三角形内角，∴sinB≠0，‎ ‎∴可解得：tanA=，A是三角形内角，‎ ‎∴A=．‎ - 15 -‎ ‎（Ⅱ）∵b=1，S△ABC===，‎ ‎∴可解得：c=4，‎ ‎∴由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccosA…（9分）‎ ‎=1+16﹣2×1×4×=13…（11分）‎ ‎∴a=…（12分）‎ 点评： 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．已知p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0；q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．‎ 考点： 复合命题的真假．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 利用一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系化简命题p，q，由p∧q为真命题，则p与q都为真命题，即可得出．‎ 解答： 解：p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0，则△=m2﹣4（3﹣m）＜0，解得﹣6＜m＜2；‎ q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，则△1=4﹣4（﹣m﹣1）≥0，解得m≥﹣2．‎ 若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，‎ ‎∴，‎ 解得﹣2≤m＜2．‎ ‎∴实数m的取值范围是﹣2≤m＜2．‎ 点评： 本题考查了一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系、复合命题的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，S4=30．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an•2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；‎ ‎（2）bn=an•2n+1=•2n+1．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．‎ 解答： 解：（1）设差数列{an}的公差为d，∵a1=4，S4=30．‎ ‎∴=30，‎ 解得d=．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=4+=．‎ - 15 -‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）bn=an•2n+1=•2n+1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=，‎ ‎+…+（7n﹣2）×2n+（7n+5）×2n+1]‎ ‎∴﹣Tn=+…+7×2n﹣（7n+5）×2n+1]‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴Tn=．‎ 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若f（）=，，求cosα的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的正周期．‎ ‎（2）利用（1）的函数关系式，对角进行恒等变形，进一步利用公式的展开式求出结果．‎ 解答： 解：（1）f（x）=x．‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以：‎ ‎（2）由（1）得：f（x）=‎ 所以：‎ - 15 -‎ 则：‎ 因为：，‎ 所以：‎ 则：‎ cosα==cos（）cos+sin（）sin ‎=‎ 点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的周期公式求函数的周期，角的恒等变化，求函数的值．属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎20．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．‎ ‎（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；‎ ‎（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．‎ 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用；不等式的实际应用．‎ 专题： 应用题；不等式的解法及应用．‎ 分析： （1）根据面积确定AD的长，利用围墙（包括EF）的修建费用均为500元每平方米，即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）根据函数的特点，满足一正二定的条件，利用基本不等式，即可确定函数的最值．‎ 解答： 解：（1）设AD=t米，则由题意得xt=2400，且t＞x，故t=＞x，可得0，…（4分）‎ 则y=500（3x+2t）=500（3x+2×），‎ 所以y关于x的函数解析式为y=1500（x+）（0）．‎ ‎（2）y=1500（x+）≥1500×2=120000，‎ 当且仅当x=，即x=40时等号成立．‎ - 15 -‎ 故当x为40米时，y最小．y的最小值为120000元．‎ 点评： 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．‎ ‎　‎ ‎21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆M：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A，B两点．‎ ‎①当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；‎ ‎②若椭圆M上存在点P，使得以OA，OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．‎ 考点： 椭圆的简单性质．‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）①设直线l：y=x﹣，代入椭圆方程，求出方程的根，即可求线段AB的长；‎ ‎②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．设直线方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合=+，则m=x1+x2，n=y1+y2，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可得到k，即可判断P的存在和直线的方程．‎ 解答： 解：（1）由题意，c=，=，‎ ‎∴a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆M的标准方程为；‎ ‎（2）①可设直线方程为y=x﹣‎ 代入椭圆方程可得5x2﹣8x+8=0‎ ‎∴x=‎ ‎∴弦AB的长为=；‎ ‎②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．‎ 设直线方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由=+，则m=x1+x2，n=y1+y2，‎ x1+x2=，x1x2=，‎ y1+y2=k（x1+x2﹣2）=k（﹣2）=，‎ - 15 -‎ 即有P（，），‎ 代入椭圆方程可得=1，‎ 解得k2=，解得k=±，‎ 故存在点P（，﹣），或（，﹣），‎ 则有直线l：y=x﹣或y=﹣x+．‎ 点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ - 15 -‎