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2018年春期四川省泸县二中高二期末模拟考试
数学（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 60分）
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A. B. C. D.
3．设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
4． 的焦点到渐近线的距离为
A. B. 2 C.1 D.
5．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是
A. B. C. D.
6．函数的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A. B. C. D.
8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
9．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
10．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. C. D.
11．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 90分）
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的_______________．
14．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 ．
15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）各顶点都在同一球面上，且，，若此球的表面积等于，则_______．
16．若存在两个正实数，使等式成立（其中），则实数的取值范围是__________．
三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：
城
城
城
优（个）
28
良（个）
32
30
已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；
（II）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.
18． （本小题满分12分）
已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）当时，恒成立，求的取值范围.
19． （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点．
（I）证明：平面平面；
（II）若平面，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：过点，离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
(Ⅱ)当时，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）[选修4–4：极坐标和参数方程选讲]
在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.
(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.
23．（本小题满分10分）[选修4–5：不等式选讲]
已知.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若时不等式成立，求的取值范围.
2018年春期四川省泸县二中高二期末模拟考试
数学（文科）参考答案
一．选择题
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C
7．B 8．A 9．D 10．B 11．A 12．A
二．填空题
13．6. 14． 15．2 16．
17．解：（1）由题意得，即.
∴，
∴在城中应抽取的数据个数为.
（2）由（1）知，且，，
∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，，，共8种.
其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，共3种.
∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.
18．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）
19．（1）证明：∵平面，平面，
∴．∵四边形是菱形，∴．
又∵，∴平面，
而平面，∴平面平面．
（2）连接，
∵平面，平面平面，∴．
∵是的中点，∴是的中点，
取的中点，连接，
∵四边形是菱形，，∴，又，，
∴平面，且，
故．
20.解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则：.
若时，直线的方程为，的方程为，易求得，
，此时.
若时，则直线：.
圆心到直线的距离为.
直线被圆截得的弦长为.
由，得，
故.
所以
.
当时上式等号成立.因为，
所以面积取得最大值时直线的方程应该是.
21.解：（1）由，得.
整理，得恒成立，即.
令.则.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴，即.
∴的取值范围是.
（2）由（1），当时，有，即.
要证，可证，，
即证，.
构造函数.
则.
∵当时，.∴在上单调递增.
∴在上成立，即，证得.
∴当时，成立.
构造函数.
则.
∵当时，，∴在上单调递减.
∴，即.
∴当时，成立.
综上，当时，有.
22.解：（1）由题意得直线的普通方程为：，
所以其极坐标方程为：.
由得：，所以，
所以曲线的直角坐标方程为：.
（2）由题意，，
所以，
由于，所以当时，取得最大值：.
23.（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
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