兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题
数学（文科）
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=则（CRA）B=( B )
A． B． C． D．
2.已知函数,则是( A )
最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数
最小正周期为的奇函数 最小正周期为的偶函数
3.下列说法中，正确的是（ B ）
A.命题“若，则”的否命题是假命题
B.设为两不同平面，直线，则“”是 “” 成立的充分不必要条件
C.命题“存在”的否定是“对任意”
D.已知，则“”是“”的充分不必要条件
4.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1),如果向量a＋2b与2a－b平行,
则a 与b的数量积等于( D )
A．－ B．－ C. D.
5.若，，，则( A )
A． B． C． D．
6.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( A )
A． B. － C．－ D.
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7.函数是奇函数,且在（）内是增函数,,则不等式 的解集为( D )
A． B．
C． D．
8.为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin 2x的图象( C )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
且g(3)=0.则不等式的解集是( D )
A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
10.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，
分别为与的中点，点在直线上，
且，则的最小值为( B )
11.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是(A)
（9，49） （13，49） （9，25） （3，7）
12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈，∃x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( A )
A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 9 -
13.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ________.答案：
14.若cos－sin＝，则sin＝________.答案：
15.已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，〈a，b〉＝，则|b|＝________.答案 2
16.设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________.
答案：(－1，＋∞)
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝ ，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈ ，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.
解：(1)由f(x)＝得
f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos
＝cos2－sin2－2sincos
＝cosx－sinx
＝cos(x＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π.
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.
又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，
所以x1＋x2＝－.
- 9 -
18. （本小题12分）
根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
PM2.5浓度
（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组
(0,25]
3
0.15
第二组
(25,50]
12
0.6
第三组
(50,75]
3
0.15
第四组
(75,100)
2
0.1
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为．
所以5天任取2天的情况有：，，，，，，，，共10种． ……………………4分
其中符合条件的有：
，，，，，共6种． …………6分
所以所求的概率． ……………………8分
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
（微克/立方米）．
……………………………………………10分
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分
- 9 -
19. （本小题12分）
E
P
D
C
B
A
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱,
是的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的体积.
证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O,连接OE
∴是正方形
∵ O是AC中点. 又E是PC中点，∵ OE∥PA ,
∴ ……………………6分
（Ⅱ）
……………………12分
20. （本小题12分）
己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为， 过椭圆的中心，且，。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线(斜率存在时)与椭圆交于两点，，设为椭圆与 轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）∵且过，则．
∵，∴，即．……2分
又∵，设椭圆的方程为，
将C点坐标代入得，
解得，．
- 9 -
∴椭圆的方程为． ……5分
（Ⅱ）由条件，
当时，显然；………6分
当时，设：，
，消得
由可得， ……①………8分
设，，中点，则，, ∴．………10分
由，∴，即。∴，
化简得……② ∴ 将①代入②得，。∴的范围是。
综上．………12
21. （本小题12分）
已知函数，.
（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（2）在（1）的条件下，求证：
解：(1) 时，
所以
由题 （6分）
（2）由（1）可得只需证
- 9 -
设，
令，得。 （8分）
当时，，
当时，，
所以，
所以，
22．选考题（本小题10分）
请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。
22—1.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB.
(1) 若CG=1，CD=4，求的值.
(2) 求证：FG//AC;
【解析】(Ⅰ) 由题意可得：四点共圆，
.
∽. .
又，=4. ………4分
(Ⅱ)因为为切线，为割线，，
又因为，所以．
所以，又因为，所以∽，
所以，又因为，所以，
所以． ………………………10分
22—2．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程
- 9 -
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
（I）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求的最小值．
解：（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，
即. ……………4分
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得.
由，故可设是上述方程的两根，
所以又直线过点，故结合t的几何意义得
=
所以的最小值为 ……………10分
22—3．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲
设不等式－2
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