2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试
理科数学试题
一.选择题：（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
2. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )
A． B． C． D．2
3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )
A．117 B．118 C．118．5 D．119．5
4. 已知数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．-16 B．-32 C．32 D．-64
5. 已知x＝log23－log2，y＝log0.5π，z＝0.9－1.1，则( )
A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．y＜x＜z
6. 在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 下列结论错误的是（ ）
A．命题：“若，则”的逆命题是假命题；
B．若函数可导，则是为函数极值点的必要不充分条件；
C．向量的夹角为钝角的充要条件是；
D．命题“”的否定是“”
8.执行右面的程序框图，输出的S的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
- 10 -
9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体
的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
10.偶函数满足,且在时, , ，则函数与图象交点的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11. 已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
A B C D
12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为( )
第12题
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为
14. 已知函数, 则
15. 设的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为
16. 数列{an}满足a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+mn，则=
- 10 -
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分） 己知函数,
(1) 当时，求函数的最小值和最大值；
(2) 设ABC的内角A，B，C的对应边分别为、、，且，f(C) =2，若向量与向量共线，求，的值．
18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部人中随机抽取人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
并求出：有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；
（Ⅱ）若从女生中随机抽取人调查，其中喜爱打篮球的人数为，求分布列与期望．下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：，其中)
19. （本小题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.
A
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为
- 10 -
．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围。
21. （本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）求证：必有两个极值点α和β，一个是极大值点，—个是极小值点；
（Ⅱ）设的极小值点为α，极大值点为β，，求a、b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围。
四、选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）
22、（满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知△的两条角平分线AD和CE相交于H，
，F在上，且.
(1) 证明：B,D,H,E四点共圆；
(2) 证明：平分.
23．选修4-4：坐标系与参数方程
设圆的极坐标方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆上的一点作垂直于轴的直线，设与轴交于点，向量．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点 ，求的最小值．
24．选修4-5：不等式选讲
- 10 -
已知． （Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围
- 10 -
三模理科数学答案
一． 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
B
D
A
C
C
D
B
D
D
二．填空题
13. 10 14. 15.150 16.
三．解答题
17. 解：
∵，∴，
∴，从而
则的最小值是，最大值是2
（2），则，
∵，∴， …8分 ∴，解得
∵向量与向量共线，∴，即 ①
由余弦定理得，，即 ②
由①②解得.
- 10 -
18
解：（1）列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
（2）∵K2=≈8.333＞7.879
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2．
其概率分别为P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
ξ的期望值为：Eξ=0×+1×+2×=
19. 解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=，所以
又因为面平面，
所以，
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
由（I）可知，平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量，
所以，
- 10 -
二面角的余弦值为
得，，即：E为DB的中点。
20. 1）由题意知，
。又双曲线的焦点坐标为，，
椭圆的方程为。
（2）若直线的倾斜角为，则，
当直线的倾斜角不为时，直线可设为，
，由
设，，
，，综上所述：范围为
21．
（Ⅰ）
令
有两实根不妨记为
- 10 -
极小
极大
所以，有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点
（Ⅱ），由韦达定理得
，所以
(Ⅲ)因为，所以
又因为当时，不等式恒成立且为偶函数
不妨设
，
当时，，，所以在上单调递增，所以
在上单调递增， ，所以当时成立………10分
当时得
当时所以在上单调递减，所以
在上单调递减，，与条件矛盾，同理时亦如此
综上
22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.
证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,
所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.
- 10 -
于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.
(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,
所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
23、解：（1）由已知得N是坐标（m,0）设Q
点M在圆P=2上 由P=2得
∴
Q是轨迹方程为 ………………………………………………5分
（Ⅱ）Q点的参数方程为
的最小值为………………………………12分
24、解：（I）
或
解得 或
∴不等式解为 （－1，+）………………………………5分
（II）
设则
在（－3，0]上单调递减 2
在（2，3）上 单调递增 2
∴在（－3，3）上 2
故时 不等式在（－3，3）上恒成立………………10分
- 10 -
微信/支付宝扫码支付