嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试
高三数学(理科) 试题卷
满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数是偶函数,且,则( ▲ )
A. B. C. D.
2.已知,且是的必要不充分条件,则的取值范围是( ▲ )
A. B. C. D.
3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ )
A.若 B.若则
C.若 D. 若
4.函数的图象向左平移个单位得函数的图象,则函数的解析式是 ( ▲ )
A. B.
C. D.
5.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( ▲ )
A.-2 B. C. D.2
6.在所在平面上有三点,满足,
,,则的面积与的面积比为( ▲ )
A. B. C. D.
7.设双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,过
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的直线与双曲线的右支交于两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则( ▲ )
A. B. C. D.
8.设.若的图象经过两点
,且存在整数n,使得成立,则 ( ▲ )
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共7小题,9-12题:每小题6分,13-15题:每小题4分,共36分.
9.已知全集为,集合,则 ▲ . ▲ . ▲ .
10.已知等差数列,是数列的前项和,且满足,则数列的首项____▲___ ,通项___ ▲___.
11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积= ▲ cm3,表面积= ▲ cm2.
12.已知函数;(1)当时, 的值域为 ▲ , (2)若是上的减函数,则实数的取值范围是 ▲ .
13.已知平面向量满足且与 则的取值范围是 _▲ .
14.已知实数、、满足,,则的最大值为 ▲ .
15.三棱柱的底是边长为1的正三角形,高,在上取一点,设与面所成的二面角为,与面所成的二面角为,则的最小值是 ▲ .
三、解答题(共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分15分)
在中,内角的对边分别为,且.
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(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,且的面积为,求.
17.(本题满分15分)
B
E
如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2AB,F是CD的中点.
(Ⅰ)求证:平面CBE⊥平面CDE;
(Ⅱ)求二面角C—BE—F的余弦值.
A
D
C
F
18. (本题满分15分)
平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形ACBD面积的最大值.
19. (本题满分15分)
已知函数.
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(Ⅰ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值.
20.(本题满分14分)
已知数列满足:,,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,试求数列的通项公式;
(Ⅲ)对于任意的正整数n,试讨论并证明与的大小关系.
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嘉兴一中2015学年第一学期期中考试数学理科答案
一. 选择题
DBCA BBCB
二. 填空题
9.; 10.. 11.,
12.(1) (2) 13. 14. 15. 则是三棱柱的高.过则,设AP=,BP=,,同理
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(当时取等号)
16. (Ⅰ)由得,,……………2分
即,所以,或(舍去) ……………4分
因为为三角形内角,所以.…………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
则;
由,得,………………………9分
由正弦定理,有,即,,……………12分
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由三角形的面积公式,得,即,
解得.………………………15分
17.(1)证明:因为DE⊥平面ACD,DE平面CDE,
第17题
所以平面CDE⊥平面ACD.
在底面ACD中,AF⊥CD,由面面垂直的性质定理知,AF⊥平面CDE.
取CE的中点M,连接BM、FM,
由已知可得FM=AB且FM∥AB,则四边形FMBA为平行四边形,从而BM∥AF.
所以BM⊥平面CDE.
又BM平面BCE,则平面CBE⊥平面CDE.……………………………………………7分
法一:(2)过F作FN⊥CE交CE于N,过N作NH⊥BE,连接HF,
则∠NHF就是二面角C—BE—F的平面角.
在Rt△FNH中,NH=,FH=,
所以
故二面角C—BE—F的余弦值为
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………………………………………………………15分
M
y
x
z
C
F
D
A
B
E
法二:以F为坐标原点,FD、FA、FM所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则F(0,0,0),E(1,0,2) , B(0,,1) , C(-1,0,0),
可求得面FBE的一个法向量为,
平面CBE的一个法向量为,
则
故二面角C—BE—F的余弦值为.…………………………………………15分
18.解:(Ⅰ)设将A、B代入得到 ,则(1)-(2)得到,由直线AB:的斜率k=-1,
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所以,OP的斜率为,所以,由得到,所以M得标准方程为.
(Ⅱ)若四边形的对角线,由面积公式可知,当CD最长时四边形面积最大,由直线AB:的斜率k=-1,设CD直线方程为,与椭圆方程联立得:
,,
则,当m=0时CD最大值为4,
联立直线AB:与椭圆方程得,
同理利用弦长公式,
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.
19. 解:(1)不等式对恒成立,即(*)对恒成立,
①当时,(*)显然成立,此时;
②当时,(*)可变形为,令
因为当时,,当时,,所以,故此时.
综合①②,得所求实数的取值范围是.
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(2)因为=
①当时,结合图形可知在上递减,在上递增,
且,经比较,此时在上的最大值为.
②当时,结合图形可知在,上递减,
在,上递增,且,,
- 18 -
经比较,知此时在上的最大值为.
③当时,结合图形可知在,上递减,
在,上递增,且,,
经比较,知此时 在上的最大值为.
④当时,结合图形可知在,上递减,
- 18 -
在,上递增,且, ,
经比较,知此时 在上的最大值为.
当时,结合图形可知在上递减,在上递增,
故此时 在上的最大值为.
综上所述,当时,在上的最大值为;
当时, 在上的最大值为;
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当时, 在上的最大值为0.
20.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)∵ ,,,,
∴ ;;. ………………3分
(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数,都有:,
∴ .∴ 数列是以为首项,为公差的等差数列.
∴ . …………………………………………………………7分
(Ⅲ)对于任意的正整数,
当或时,;
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当时,;
当时,. ……………………………………8分
证明如下:
首先,由可知时,;
其次,对于任意的正整数,
时,;
…………………9分
时,
所以,. …………………10分
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时,
事实上,我们可以证明:对于任意正整数,(*)(证明见后),所以,此时,.
综上可知:结论得证. …………………12分
对于任意正整数,(*)的证明如下:
1)当()时,
,
满足(*)式。
2)当时,,满足(*)式。
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3)当时,
于是,只须证明,如此递推,可归结为1)或2)的情形,于是(*)得证.
…………………14分
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