嘉兴市2016届高三数学上学期期中试题(理科含答案)
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资料简介
嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试 ‎ 高三数学(理科) 试题卷 ‎ 满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知函数是偶函数,且,则( ▲ ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知,且是的必要不充分条件,则的取值范围是( ▲ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ )‎ A.若 B.若则 C.若 D. 若 ‎4.函数的图象向左平移个单位得函数的图象,则函数的解析式是 ( ▲ ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( ▲ )‎ A.-2 B. C. D.2‎ ‎6.在所在平面上有三点,满足,‎ ‎,,则的面积与的面积比为( ▲ )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,过 - 18 -‎ 的直线与双曲线的右支交于两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则( ▲ )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设.若的图象经过两点 ‎,且存在整数n,使得成立,则 ( ▲ )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 二、填空题:本大题共7小题,9-12题:每小题6分,13-15题:每小题4分,共36分.‎ ‎9.已知全集为,集合,则 ▲ . ▲ . ▲ .‎ ‎10.已知等差数列,是数列的前项和,且满足,则数列的首项____▲___ ,通项___ ▲___.‎ ‎11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积= ▲ cm3,表面积= ▲ cm2.‎ ‎12.已知函数;(1)当时, 的值域为 ▲ , (2)若是上的减函数,则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎13.已知平面向量满足且与 则的取值范围是 _▲ . ‎ ‎14.已知实数、、满足,,则的最大值为 ▲ .‎ ‎15.三棱柱的底是边长为1的正三角形,高,在上取一点,设与面所成的二面角为,与面所成的二面角为,则的最小值是 ▲ .‎ 三、解答题(共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.(本题满分15分)‎ 在中,内角的对边分别为,且.‎ - 18 -‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,且的面积为,求.‎ ‎17.(本题满分15分)‎ B E 如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2AB,F是CD的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面CBE⊥平面CDE;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C—BE—F的余弦值.‎ A D C F ‎18. (本题满分15分)‎ 平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形ACBD面积的最大值.‎ ‎19. (本题满分15分)‎ 已知函数.‎ - 18 -‎ ‎(Ⅰ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值.‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 已知数列满足:,,‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,试求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)对于任意的正整数n,试讨论并证明与的大小关系.‎ - 18 -‎ - 18 -‎ 嘉兴一中2015学年第一学期期中考试数学理科答案 一. 选择题 ‎ DBCA BBCB 二. 填空题 ‎9.; 10.. 11., ‎ ‎12.(1) (2) 13. 14. 15. 则是三棱柱的高.过则,设AP=,BP=,,同理 - 18 -‎ ‎(当时取等号)‎ ‎16. (Ⅰ)由得,,……………2分 即,所以,或(舍去) ……………4分 因为为三角形内角,所以.…………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ 则;‎ 由,得,………………………9分 由正弦定理,有,即,,……………12分 - 18 -‎ 由三角形的面积公式,得,即,‎ 解得.………………………15分 ‎17.(1)证明:因为DE⊥平面ACD,DE平面CDE,‎ 第17题 所以平面CDE⊥平面ACD.‎ 在底面ACD中,AF⊥CD,由面面垂直的性质定理知,AF⊥平面CDE.‎ 取CE的中点M,连接BM、FM,‎ 由已知可得FM=AB且FM∥AB,则四边形FMBA为平行四边形,从而BM∥AF.‎ 所以BM⊥平面CDE.‎ 又BM平面BCE,则平面CBE⊥平面CDE.……………………………………………7分 法一:(2)过F作FN⊥CE交CE于N,过N作NH⊥BE,连接HF,‎ 则∠NHF就是二面角C—BE—F的平面角.‎ 在Rt△FNH中,NH=,FH=,‎ 所以 故二面角C—BE—F的余弦值为 - 18 -‎ ‎………………………………………………………15分 M y x z C F D A B E 法二:以F为坐标原点,FD、FA、FM所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则F(0,0,0),E(1,0,2) , B(0,,1) , C(-1,0,0),‎ 可求得面FBE的一个法向量为,‎ 平面CBE的一个法向量为,‎ 则 ‎ 故二面角C—BE—F的余弦值为.…………………………………………15分 ‎18.解:(Ⅰ)设将A、B代入得到 ,则(1)-(2)得到,由直线AB:的斜率k=-1,‎ - 18 -‎ 所以,OP的斜率为,所以,由得到,所以M得标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)若四边形的对角线,由面积公式可知,当CD最长时四边形面积最大,由直线AB:的斜率k=-1,设CD直线方程为,与椭圆方程联立得:‎ ‎ ,,‎ ‎ 则,当m=0时CD最大值为4,‎ 联立直线AB:与椭圆方程得,‎ 同理利用弦长公式,‎ - 18 -‎ ‎.‎ ‎19. 解:(1)不等式对恒成立,即(*)对恒成立,‎ ‎①当时,(*)显然成立,此时; ‎ ‎②当时,(*)可变形为,令 因为当时,,当时,,所以,故此时. ‎ 综合①②,得所求实数的取值范围是. ‎ - 18 -‎ ‎(2)因为= ‎ ‎①当时,结合图形可知在上递减,在上递增,‎ 且,经比较,此时在上的最大值为.‎ ‎②当时,结合图形可知在,上递减,‎ 在,上递增,且,,‎ - 18 -‎ 经比较,知此时在上的最大值为.‎ ‎③当时,结合图形可知在,上递减,‎ 在,上递增,且,,‎ 经比较,知此时 在上的最大值为.‎ ‎④当时,结合图形可知在,上递减,‎ - 18 -‎ 在,上递增,且, ,‎ 经比较,知此时 在上的最大值为.‎ 当时,结合图形可知在上递减,在上递增,‎ 故此时 在上的最大值为.‎ 综上所述,当时,在上的最大值为;‎ 当时, 在上的最大值为;‎ - 18 -‎ 当时, 在上的最大值为0.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)∵ ,,,,‎ ‎∴ ;;. ………………3分 ‎(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数,都有:,‎ ‎∴ .∴ 数列是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎∴ . …………………………………………………………7分 ‎(Ⅲ)对于任意的正整数,‎ 当或时,;‎ - 18 -‎ 当时,;‎ 当时,. ……………………………………8分 证明如下:‎ 首先,由可知时,;‎ 其次,对于任意的正整数,‎ 时,;‎ ‎…………………9分 时,‎ 所以,. …………………10分 - 18 -‎ 时,‎ 事实上,我们可以证明:对于任意正整数,(*)(证明见后),所以,此时,.‎ 综上可知:结论得证. …………………12分 对于任意正整数,(*)的证明如下:‎ ‎1)当()时,‎ ‎,‎ 满足(*)式。‎ ‎2)当时,,满足(*)式。‎ - 18 -‎ ‎3)当时,‎ 于是,只须证明,如此递推,可归结为1)或2)的情形,于是(*)得证.‎ ‎ …………………14分 - 18 -‎

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