淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷
数学 I
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
参考公式(1) 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．
(2) 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、 选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1. 已知集合，，则 ▲ ．
2. 复数的实部为 ▲ ．
3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生．
4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 ▲ ．
（第6题）
5. 函数的图像中，离坐标原点最近的一条对
称轴的方程为 ▲ ．
6. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的
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值为 ▲ ．
7. 等比数列的公比大于1，，
则 ▲ ．
8. 在平面直角坐标系中，直线被圆 截得的弦长为 ▲ ．
9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍．
10.已知点是函数图像上的点，直线是该函数图像在点处的切线，则 ▲ ．
（第12题）
11.设为中线的中点，为边中点，且，若，则 ▲ ．
12.已知函数的图像经过点，如右图所
示，则的最小值为 ▲ ．
13. 已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的
解集为 ▲ ．
14.已知函数是定义在上的函数，且
则函数，则在区间 上的零点
个数为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本题满分14分）
已知.
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（1）求的值；
（2）求的值.
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，
是棱上的一点.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求证∥平面.
17．（本题满分14分）
设椭圆的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，过三点的圆的圆心为.
（1）若的坐标为，求椭圆方程和圆的方程；
（2）若为圆的切线，求椭圆的离心率.
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18．（本题满分16分）
A
B
C
D
P
Q
（第18题）
O
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．
19．（本题满分16分）
若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
20．（本题满分16分）
已知数列中，，在之间插入1个数，在之间插入2个数，在
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之间插入3个数，…，在之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列.
（1）若，求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且满足为常数），
求的通项公式.
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淮海中学2016届高三年级11月考试卷
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修4-1：几何证明选讲) （本小题满分10分）
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.
求证：直线PC经过点.
B.(选修4-2：矩阵与变换) （本小题满分10分）
已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式.
C.(选修4-4：坐标系与参数方程) （本小题满分10分）
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.
（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；
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（2）求直线被圆截得的弦长.
D.(选修4-5：不等式选讲) （本小题满分10分）
已知函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.（本小题满分10分）
已知为曲线上的动点，定点，若，求动点的轨迹方程.
23.（本小题满分10分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，底面,且是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
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淮海中学2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷
参考答案与评分标准（I卷）
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分
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．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1. ； 2. -3； 3. 60； 4. ； 5.； 6. 7； 7. 4
8. 2； 9. ； 10. 2； 11. 0； 12. 4.5 ; 13. =3a（）2＞0， …………………………………………6分
故当x∈（，e）时，＞0恒成立，
故在区间（，e）上单调递增，
故在区间（，e）上没有极值点； …………………………………………10分
当a=0时，由（1）知，在区间（，e）上没有极值点；
当a＜0时，令=0解得，x=；
故=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…12分
①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，
g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令g（）=0得=0，不可能； …………………………………………14分
③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），
而g（）=g（）=+ln＞0，
又g（）＜0，
所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．…………………………………………16分
20. 解：（1）设的公差为，由题意：数列的前几项为：
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…………………………2分
为的第10项，则， ………………………………………4分
，而，
故数列的通项公式为.……………………………………6分
（2）由（为常数），
得，……①
当得：，……②
当时，， ……③
①-③得， ………………………………………8分
则，
若，则，代入④式，得，不成立； ……………………………10分
当，常数……④恒成立，又为正项等差数列，
当时，不为常数，则得，
代入②式，得. ………………………………………12分
所以等差数列的首项为，公差为，则.
设中的第项为数列中的第项，则前面共有的项，又插入了项，则：
故. ………………………………………16分
数学Ⅱ 附加题部分
21.A 证明： 连结，则． …………………………………2分
因为是圆周角，同弧上的圆心角，
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所以． ………………………5分
同理可得，，所以是的平分线． …………………………………8分
又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.
所以直线PC经过点. ………………………10分
21.B解：MN ==， …………………………………4分
即在矩阵MN变换下， ………………………………6分
， ………………………………8分
代入得：，
即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．……………………10分
21.C解：（1）由 ，得
，即.
圆的方程为. ………………………………6分
（2），
弦长. ………………………………10分
22. 解：设，则，①
又，由得， ………………………………5分
，
代入①式得，即为所求轨迹方程. ………………………………6分
23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1）证明：因为，，
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由题设知，且与是平面内的两条相交直线，
由此得⊥面，又面，故平面面.……………………………4分
（2）因
………………………………7分
（3）设平面的一个法向量为，
则，，
又，，
取，得，故，
同理可得面的一个法向量为， ………………………………8分
，
平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ………………………………10分
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