桂林市第十八中学13级高三第三次月考
文 科 数 学
考试时间 2015年11月07日15:00——17:00
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3．已知等差数列的首项，且是与的等比中项，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是假命题
5. 已知，且，则
A. B. C. D.
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，若的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
9．已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的函数（ ）
- 12 -
A． B．
C． D．
， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
11.如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，
若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B C． D．]
A. B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知函数在处的切线与直线平行，则实数__________.
14. 已知，若，则
15. 在边长为4的正方形ABCD内部任取一点，则满足为锐角的概率为 _________.
16. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为_________.
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
- 12 -
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
5
频数
15
3
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）由表中统计数据填写下边列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式： ，其中．
临界值表：
0.1
19.（本小题满分12分）
如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
（I）求证：平面；
（II）求三棱锥的体积．
20. （本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点到准线的距离为2。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图所示，直线与抛物线相交于,两点，为抛物线上异于,的一点，且轴，过作的垂线，垂足为,过作直线交直线BM于点,设的斜率分别为，且。
- 12 -
① 线段的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
② 求证:四点共圆.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）设函数，
①若函数有且仅有一个零点时，求的值；
②在①的条件下，若，，求的取值范围。
请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）
22.选修4－1：几何证明选讲
如图所示，为圆的直径，，为
圆的切线，，为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
23.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.
24.选修4-5：不等式选讲
已知函数的解集为
（Ⅰ）求k的值；
桂林市第十八中学高三第三次月考
文 科 数 学 答 案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．
1.答案：B
解析：有元素1，2的是，分析选项则只有B符合。
2.答案：A
- 12 -
解析：，所以。
3.答案：A
4.答案：C
解析：命题为真命题.命题为假命题，为真命题.所以C正确。
5.答案：A
6.答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，
上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。
其体积为。
7.答案：B
8.答案：C
9.答案：C
解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出
. 故选C
10.答案：D
11.答案：D
解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，
由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，
∵BD∥FG，∴,求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x。
- 12 -
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13答案：-2
14.答案：1
15.解析：如果为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为，正方形的面积为，
所以满足为锐角的概率。
16.答案：32
解析：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离
为球的半径，
AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2。
所求球的表面积为：4（2）2=32。
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
- 12 -
18.解：（1）设从高一年级男生中抽出人，则，，
∴
表2中非优秀学生共人，记测评等级为合格的人为，尚待改进的人为，
则从这人中任选人的所有可能结果为：，共种．
设事件表示“从表二的非优秀学生人中随机选取人，恰有人测评等级为合格”，
则的结果为：，共种．
∴， 故所求概率为． ………… 6分
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
（2），
∵，
所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”。………… 12分
19.解： （I）过作，垂足为，
E
A
B
D
F
M
C
因为所以四边形为矩形．
所以，又因为
- 12 -
所以，，
所以，所以；
因为平面，所以平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面． ………… 6分
（II）因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
………… 12分
20.解: （Ⅰ） ………… 3分
（Ⅱ）①设,则,
直线的方程为：…………4分
由消元整理可得：
所以 ………… 5分
可求得：
直线的方程为： 所以可求得…………6分
所以===4………… 7分
② 的中点 ………… 8分
则的中垂线方程为：
与BC的中垂线轴交点为： ………… 9分
- 12 -
所以的外接圆的方程为：
…………10分
由上可知
………… 11分
所以四点共圆. ………… 12分
21.解：（Ⅰ）当时，定义域，
，又
在处的切线方程 …………5分
（Ⅱ）①令，则
即
令， 则
令，，
，在上是减函数
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，所以当函数有且今有一个零点时，………… 8分
（Ⅱ）②当，，若只需证明
令得或，又，
- 12 -
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又g（）=-e-3+2，g（e）=2e2-3e
22.选修4－1：几何证明选讲
22.解：(I)连接是圆的两条切线，
，
,又为圆的直径，，
,,即得证，………… 5分
(II),,△∽△，
。 ………… 10分
23.解：（I）圆的参数方程为（为参数）
- 12 -
所以普通方程为 ………… 5分
圆的极坐标方程：
（II）点到直线：的距离为 △的面积
所以△面积的最大值为 ………… 10分
24.解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，故 ………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又是正实数，
由均值不等式得
当且仅当时取等号。
也即………… 10分
- 12 -
- 12 -
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