桂林市第十八中学13级高三第三次月考
理 科 数 学
考试时间 2015年11月07日15:00——17:00
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3．已知等差数列的首项，且是与的等比
中项，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知，且，则
A. B. C. D.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6. 有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有
A．26种 B．32种 C．36种 D．56种
7.已知不等式组构成平面区域(其中,是变量)，则目标函数
的最小值为（ ）
A． -3 B．3 C．-6 D． 6
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
则的取值范围是（ ）
A． [1，2] B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]
10. 已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移 （＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为，则的值不可能为（ ）
- 11 -
A． B． C． D．
11. 如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，
若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B C． D．]
12. 已知，函数.记为的从小到大的第个极值点，则数列是（ ）
A．等差数列，公差为 B．等差数列，公差为
C．等比数列，公比为 D．等比数列，公比为
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 二项式的展开式中的常数项是________.
14. 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点，则该点落在中的概率为 .
15. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面， ,则该球的表面积为_________.
16. 已知数列的前n项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为_________.
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
如图，在海岛上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远？
18.（本小题满分12分）
某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：
支持
不支持
合计
中型企业
80
40
120
小型企业
240
200
440
- 11 -
合计
320
240
560
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。记表示所发奖励的钱数，求的分布列和数学期望：
附：
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
19.（本小题满分12分）
如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。
(Ⅰ) 求证:；
(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点到准线的距离为2。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图所示，直线与抛物线相交于,两点，为抛物线上异于,的一点，且轴，过作的垂线，垂足为,过作直线交直线BM于点,设的斜率分别为，且。
① 线段的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
② 求证:四点共圆.
21．（本小题满分12分）
- 11 -
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）
22.选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆的直径，为圆的切线，为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
23.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
24.选修4-5：不等式选讲
已知函数的解集为
（Ⅰ）求k的值；
桂林市第十八中学13级高三第三次月考
理 科 数 学 答 案
一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.答案：B
解析：有元素1，2的是，分析选项则只有B符合。
2.答案：A
解析：，所以。
3.答案：A
- 11 -
4.答案：A
5.答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，
上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。
其体积为。
6.答案：36
解析：先从4名优秀学生，，，中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一所，有种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有种方案；故不同的保送方案共有种。
7.答案：C
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
由限性规划知识可求答案。
8.答案：C
解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出
. 故选C。
9.答案：D
解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），
∴可设
,,,
的取值范围是。
10.答案：B
解析： ，故，所以，即。将函数的图片向左平移（＞0）个单位后得到，因为函数的一条对称轴为。故，解得，观察可知，选B。
11.答案：D
- 11 -
解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，
由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，
∵BD∥FG，∴,求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x。
12.答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：45
解析：，则，故常数项为。
14.答案：
解析：由几何概型得，该点落在中的概率为
15.答案：32
解析：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2。
所求球的表面积为：4（2）2=32。
16.答案：4
解析：当时，得，；
当时，，两式相减得，得，
所以。
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即。
因为，所以不等式，等价于。
- 11 -
记，时，。
所以时，。
所以，所以整数的最大值为4。
17.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° ,PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)…………3分
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
…….6分
(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=
sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°.
……….9分
在△ACD中，据正弦定理得，
∴答：此时船距岛A为千米………… 12分.
18.解：（Ⅰ）K2＝≈5.657，………… 4分
因为5.657＞5.024，
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，
按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．
设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为
（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，
X的可能取值为90，130，170，210．………… 7分
P(X＝90)＝＝， P(X＝130)＝＝，
P(X＝170)＝＝， P(X＝210)＝＝， ………… 9分(每两个1分)
分布列如下：
X
90
130
170
210
- 11 -
P
………… 10分
期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180 ………… 12分
19.解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
P
A
B
C
D
M
O
x
y
z
所以,,又,,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为,所以。…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.…………6分
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分
则,,,,
由可得点的坐标为,
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,…………8分
显然平面的一个法向量为,…………9分
依题意,………… 10分
解得或(舍去), ………… 11分
所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分
20.解: （Ⅰ） ………… 3分
（Ⅱ）①设,则,
直线的方程为：…………4分
由消元整理可得：
- 11 -
所以 ………… 5分
可求得：
直线的方程为： 所以可求得…………6分
所以===4………… 7分
② 的中点 ………… 8分
则的中垂线方程为：
与BC的中垂线轴交点为： ………… 9分
所以的外接圆的方程为：
…………10分
由上可知
………… 11分
所以四点共圆. ………… 12分
- 11 -
22.解：(I)连接是圆的两条切线，
，
,又为圆的直径，
，
,
,即得证，………… 5分
(II),,
△∽△，
。 …………10分
23.解：（I）圆的参数方程为（为参数）
- 11 -
所以普通方程为
圆的极坐标方程：…………5分
（II）点到直线：的距离为 △的面积
所以△面积的最大值为………… 10分
24.解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，故 ………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又是正实数，
由均值不等式得
当且仅当时取等号。
也即………… 10分
- 11 -
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